1、hshwhch武汉大学：地球重力学课程组1地球重力学武汉大学地球物理系hshwhch武汉大学：地球重力学课程组2地球物理学地球物理学天文学物理学地质学高空物理学大气物理学固体地球物理学大地测量学海洋物理学理论地球物理学普通地球物理学应用地球物理学重力学重力学地磁学地磁学地电学地电学地热学地热学地震学地震学行星物理学岩石层物理学hshwhch武汉大学：地球重力学课程组3重力学重力学数学物理学地质学空间应用地球表面形状地球物质结构地球动力现象卫星方法物理方法几何方法重力学重力学地磁学地磁学地电学地电学地热学地热学地震学地震学行星物理学岩石层物理学hshwhch武汉大学：地球重力学课程组41. 重力
2、的发现2.重力的研究历程3.重力的预测4.重力的变化5.重力与经济生活6.重力与政治军事hshwhch武汉大学：地球重力学课程组5? 人在地球上生存? 物品不离开地面? 地球、物体不破裂? ? 跳伞、灰尘下落? hshwhch武汉大学：地球重力学课程组6? 人与重力? 地球与重力? 资源、能源?射击与重力? 空间飞行、离开地球? 潮汐、沉降与重力hshwhch武汉大学：地球重力学课程组7国际重力学组织国际重力学组织v 1892年年 成立国际大地测量协会成立国际大地测量协会v 1919年年 成立国际大地测量与地球物理联合会成立国际大地测量与地球物理联合会v 1945年年 在大地测量委员会中设在大
3、地测量委员会中设“重力测定小组重力测定小组”v 1951年年 常设国际重力委员会常设国际重力委员会v 1987年成立了大地水准面委员会年成立了大地水准面委员会v 1957年成立了地球潮汐委员会年成立了地球潮汐委员会v 国际大地测量与地球物理联合会国际大地测量与地球物理联合会IUGGv 天文与地球物理联合会天文与地球物理联合会BGIv 国际重力测量局国际重力测量局BGIhshwhch武汉大学：地球重力学课程组8国际合作计划国际合作计划v 1957-1958 国际地球物理年国际地球物理年v 60年代年代 国际地壳国际地壳-上地幔计划上地幔计划v 70年代年代 地球动力学计划地球动力学计划v 80年
4、代年代-今今 岩石圈大断面计划岩石圈大断面计划地球物理地球物理50年年hshwhch武汉大学：地球重力学课程组9（0）重力的研究历程（1）重力的基础理论（2）重力的测量方法（3）重力数据的处理方法（4）重力的应用：地球的形状、大小（5）重力的应用：能源与资源、分层与断层（6）重力的应用：板块运动、潮汐与自转（7）重力的应用：军工类、卫星类、星际类（8）重力的应用：微重力（洞穴、）hshwhch武汉大学：地球重力学课程组10第一章 重力学基础hshwhch武汉大学：地球重力学课程组11（1）引力位：性质、计算方法（2）重力位：性质、大地水准面（3）地球引力场：球谐展开与低阶系数的意义（4）正常重
5、力场：“正常”位的表示正常重力的计算公式（5）异常重力场：意义、表示真实正常异常hshwhch武汉大学：地球重力学课程组12要点：（1）概念：大地水准面、异常重力场、低阶系数的物理意义（2）公式推导：正常重力场与公式推导难点：（1）位的球谐表示方法与系数的确定（2）不同物体引力位的计算（3）正常重力场中的公式推导考点：（1）不同物体引力位的计算（2）一些基本概念与物理（数学）意义（3）重力边值问题的求解hshwhch武汉大学：地球重力学课程组131. 引力的发现hshwhch武汉大学：地球重力学课程组14思考研究hshwhch武汉大学：地球重力学课程组15艾萨克牛顿，英国著名科学家艾萨克牛顿爵
6、士，FRS（Sir Isaac Newton，1643年1月4日1727年3月31日）是一位英格兰物理学家、数学家、天文学家、自然哲学家和炼金术士。他在1687年发表的论文自然哲学的数学原理里，对万有引力和三大运动定律进行了描述。这些描述奠定了此后三个世纪里物理世界的科学观点，并成为了现代工程学的基础。他通过论证开普勒行星运动定律与他的引力理论间的一致性，展示了地面物体与天体的运动都遵循着相同的自然定律；从而消除了对太阳中心说的最后一丝疑虑，并推动了科学革命。hshwhch武汉大学：地球重力学课程组16万有引力定律万有引力定律：空间任意两个具有质空间任意两个具有质量和的质点和之间存在着量和的质
7、点和之间存在着相互（吸）引力；力的方向在两点的联线上，相互（吸）引力；力的方向在两点的联线上，力的大小与质量的积成正比，且与距离力的大小与质量的积成正比，且与距离的平方成反比；的平方成反比； mmPMl2mm lFGllhshwhch武汉大学：地球重力学课程组172mm lFGll思考思考1 1：引力的大小如何计算？方向如何（讨论）？：引力的大小如何计算？方向如何（讨论）？思考思考2 2：能用其它办法导得该公式吗？：能用其它办法导得该公式吗？hshwhch武汉大学：地球重力学课程组18hshwhch武汉大学：地球重力学课程组192. 引力与引力位hshwhch武汉大学：地球重力学课程组20多个
8、点多个点的引力相加原则：的引力相加原则：（四边形原则）2iiiiimm lFGllhshwhch武汉大学：地球重力学课程组21若存在一函数，使得该函数的梯度等于力，则该函数称为位（函数）。若存在一函数，使得该函数的梯度等于力，则该函数称为位（函数）。位函数的引入位函数的引入GmVlgrad( )FV niiinnlmGlGmlGmlGmV12211位函数位函数 引力位（函数）：引力位（函数）：hshwhch武汉大学：地球重力学课程组22引力位的计算公式dmVGGdrrSSdmVGGdrr质体的引力位质体的引力位质面的引力位质面的引力位思考：位还有哪些优缺点？hshwhch武汉大学：地球重力学课
9、程组23 所谓分层地球体是指地球的所谓分层地球体是指地球的密度仅与球的经向相关密度仅与球的经向相关 1GMrrVr当时，1111( )4( )RrGM rrrVGr rdrr当时，( ) r常用的有：大气层、地壳、岩石圈。常用的有：大气层、地壳、岩石圈。由引力位的计算公式可求得：由引力位的计算公式可求得： 练习：练习：证明上述公式；证明上述公式；画出密度函数为线性函数时位的图形。画出密度函数为线性函数时位的图形。 hshwhch武汉大学：地球重力学课程组24位函数的性质正则性：质体引力位在无穷远处满足GMrVrVrr2lim0lim0lim)(limrVrGMrVrrhshwhch武汉大学：地
10、球重力学课程组25位函数的性质连续性：质体引力位、单层引力位在全空间是连续的。 质体引力位的一阶导数在全空间是连续的；单层引力位的一阶导数在层面上是不连续的，且（“重力重力”测量数据没有意义，只能测量外表面上值，不能测量表面上的值，内表面上的值？）测量数据没有意义，只能测量外表面上值，不能测量表面上的值，内表面上的值？）GMrVrVrr2lim0lim0lim)(limrVrGMrVrrGsVsV4內外正则性：hshwhch武汉大学：地球重力学课程组26位函数的性质调和性：质体引力位的二阶导数在质体表面是不连续的。 上式称为拉普拉斯方程拉普拉斯方程，也称为调和方程调和方程，它在地球外部满足；满
11、足调和方程的函数称为调和函数调和函数，也称为谐函数。下式称为泊松方程泊松方程，它在地球内部满足。2222220VVVVxyz4VG 练习：证明引力位在物体内部满足泊松方程。练习：证明引力位在物体内部满足泊松方程。hshwhch武汉大学：地球重力学课程组27 拉普拉斯拉普拉斯(1749-1827)o拉普拉斯(Laplace,Pierre-Simon，marquisde)，法国著名数学家和天文学家，拉普拉斯是天体力学的主要奠基人，是天体演化学的创立者之一，是分析概率论的创始人，是应用数学的先躯。o拉普拉斯用数学方法证明了行星的轨道大小只有周期性变化，这就是著名拉普拉斯的定理。他发表的天文学、数学和
12、物理学的论文有270多篇，专著合计有4006多页。其中最有代表性的专著有天体力学、宇宙体系论和概率分析理论。1796年，他发表宇宙体系论。因研究太阳系稳定性的动力学问题被誉为法国的牛顿和天体力学之父。o拉普拉斯在数学和物理学方面也有重要贡献，以他的名字命名的拉普拉斯变换和拉普拉斯方程，在科学技术的各个领域有着广泛的应用。补充说明：1，拉普拉斯曾任拿破仑的老师，所以和拿破仑结下不解之缘。2，拉普拉斯在数学上是个大师，在政治上是个小人物，墙头草，总是效忠于得势的一边，被人看不起，拿破仑曾讥笑他把无穷小量的精神带到内阁里。 hshwhch武汉大学：地球重力学课程组28泊松泊松 数学家泊松（Poiss
13、on, Simeon-Denis）（17811840）法国数学家。1781 年6月21日生于法国卢瓦雷省的皮蒂维耶，1840年4月25日卒于法国索镇。1798年入巴黎综合工科学校深造。在毕业时，因优秀的研究论文而被指定为讲师。受到P.-S.拉普拉斯、J.-L.拉格朗日的赏识。1800年毕业后留校任教，1802年任副教授,1806年接替J.-B.-J.傅里叶任该校教授。1808年任法国经度局天文学家,1809年任巴黎理学院力学教授。1812年当选为巴黎科学院院士。在数学中以他的姓名命名的有：泊松定理、泊松公式、泊松方程、泊松分布、泊松过程、泊松积分、泊松级数、泊松变换、泊松代数、泊松比、泊松流、
14、泊松核、泊松括号、泊松稳定性、泊松积分表示、泊松求和法等.。泊松的主要著作还有毛细管作用新理论和热学的数学理论等。hshwhch武汉大学：地球重力学课程组29位函数的边界条件第一类边界条件第一类边界条件 也称狄利克雷条件。即位在边界上是已知的连续函数fuS狄利克雷狄利克雷（18051859）Dirichlet，Peter Gustav Lejeune德国数学家。对数论、数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一。1805年2月13日生于迪伦，1859年5月5日卒于格丁根。o在分析学方面，1837年他提出函数是x与y之间的一种对应关系的现代观点。o在数论方面， 1837年，他构造了狄利
15、克雷级数。18381839年，他得到确定二次型类数的公式。1846年，使用抽屉原理。阐明代数数域中单位数的阿贝尔群的结构。o在数学物理方面，他对椭球体产生的引力、球在不可压缩流体中的运动、由太阳系稳定性导出的一般稳定性等课题都有重要论著。1850年发表了有关位势理论的文章，论及著名的第一边界值问题，现称狄利克雷问题。hshwhch武汉大学：地球重力学课程组30第二类边界条件第二类边界条件 也称为诺依曼条件。即位的法向导数在边界上为已知函数约翰约翰冯冯诺依曼诺依曼 （ John Von Nouma，19031957），美藉匈牙利人，1903年12月28日生于匈牙利的布达佩斯。1957年2月8日，
16、在华盛顿去世，终年54岁。o1931年他成为美国普林斯顿大学的第一批终身教授，那时，他还不到30岁。1933年转到该校的高级研究所，成为最初六位教授之一，并在那里工作了一生 冯诺依曼是普林斯顿大学、宾夕法尼亚大学、哈佛大学、伊斯坦堡大学、马里兰大学、哥伦比亚大学和慕尼黑高等技术学院等校的荣誉博士他是美国国家科学院、秘鲁国立自然科学院和意大利国立林且学院等院的院士 1954年他任美国原子能委员会委员；1951年至1953年任美国数学会主席o他被西方人誉为计算机之父；而在经济学方面，他也有突破性成就，被誉为“博弈论之父”；在物理领域，冯诺依曼在30年代撰写的量子力学的数学基础已经被证明对原子物理学
17、的发展有极其重要的价值；在化学方面也有相当的造诣，曾获苏黎世高等技术学院化学系大学学位。与同为犹太人的哈耶克一样，他无愧是上世纪最伟大的全才之一。fnuShshwhch武汉大学：地球重力学课程组31第三类边界条件第三类边界条件 也称为混合条件，在测量上也称为司托克斯条件funuS其中、为常数并且。 022注意：另外，附加条件是指有界性质、周期性质、连续性质、注意：另外，附加条件是指有界性质、周期性质、连续性质、衔接条件、正则性质等等，它们在某些情况下对问题的求解将带衔接条件、正则性质等等，它们在某些情况下对问题的求解将带来帮助；这些条件有时直接给出表达式，有时被默认存在；在重来帮助；这些条件有
18、时直接给出表达式，有时被默认存在；在重力学中，一般情况下前面三个性质总认为应该被满足力学中，一般情况下前面三个性质总认为应该被满足。适定性适定性；即如果边值问题存在唯一的、稳定的解，则称该边值问题是适定的。hshwhch武汉大学：地球重力学课程组32数学物理方程结果回顾数学物理方程结果回顾3.引力位的数学表示hshwhch武汉大学：地球重力学课程组33格林公式积分表示方法外部第一边值问题Svuu v v u duvdSnn 2234RRrVf dl泊松积分公式V0VVlimV0Srfnhshwhch武汉大学：地球重力学课程组34 o格林格林，G(Green，George)1793年6月或7月生
19、于英国诺丁汉郡；1841年5月31日卒于诺丁汉郡 o1793年7月14日，英国诺丁汉郡圣玛丽教堂的命名登记簿上增加了当地面包师G格林(Green)与其妻莎拉(Sarah)新生男婴的名字与父亲同名的乔治格林的具体生日不详，据命名日估计应在当年6月1日与7月14日之间格林8岁时曾就读于R古达克尔(Goodacare)私立学校o正当一条更加宽广的科学道路在格林面前豁然展现之时，这位磨坊工出身的数学家却因积劳成疾，不得不回家乡休养，于1841年5月31日在诺丁汉病故o格林生前长期与磨坊领班W史密斯(Smith)的女儿简(Jane)同居，但始终未正式结婚最初可能是由于他父亲反对这门婚事，后来则因剑桥冈维
20、尔-凯厄斯学院院委资格只授予单身汉，格林为了事业只好放弃正式结婚的打算格林去世后，简被承认为其合法遗孀，人们都称她为“格林夫人”，他们生有两个儿子、五个女儿o格林短促的一生，共发表过10篇数学论文，这些原始著作数量不大，却包含了影响19世纪数学物理发展的宝贵思想hshwhch武汉大学：地球重力学课程组35直接积分法：用牛顿引力位的公式计算；已知物体的形状、物质的密度分布边值问题方法：如用泊松公式计算；已知物体的形状为球（园）、边界上观测值近似计算问题谈条件：适定性（问题有唯一的稳定解）已知地球内部的密度分布几乎是不可能的，已知边界上值相对容易一点。hshwhch武汉大学：地球重力学课程组36
21、球谐表示方法球体引力位的问题球体引力位的问题地球外部位的球谐展开地球外部位的球谐展开 100( , )( , )nnnm nmnm nmnmRVCRDSr V0VVlimV0Srfn系数待求系数待求hshwhch武汉大学：地球重力学课程组37 球谐表示方法（思路）其中其中地球表面位的球谐展开地球表面位的球谐展开地球外部位的球谐展开地球外部位的球谐展开 100( , )( , )nnnm nmnm nmnmRVCRDSr 00),(),(),(nnmnmnmnmnmSBRAf111111111( ,)( ,)41( ,)( ,)4nmnmnmnmAfRdBfSd 可求得系数的关系式，再求得外部位
22、（泊松公式）。可求得系数的关系式，再求得外部位（泊松公式）。hshwhch武汉大学：地球重力学课程组38 球谐表示方法（思考）引力位的练习引力位的练习V0V9limV0r单位球面问题思考问题思考地球表面不是球面，怎么办？地球表面不是球面，怎么办？地球表面上的引力位能直接测量得到吗？地球表面上的引力位能直接测量得到吗？hshwhch武汉大学：地球重力学课程组39趣事：16651666年的牛顿16651666年，在瘟疫席卷英国的十八个月里，当时在剑桥大学读书的牛顿因大学被迫关闭，回到了故乡英国东部林肯郡格兰汉镇附近的沃尔斯索普村，此时牛顿23岁。在这时期，牛顿发明了微积分，发现了白光的组成，开始了
23、引力的研究。后人评价，牛顿在23岁时完成了他一生的工作。下节内容提要重力位、正常重力与重力异常hshwhch武汉大学：地球重力学课程组404.地球的离心力hshwhch武汉大学：地球重力学课程组41离心力离心力： 产生的原因：地球的旋转。计算公式：离心力位离心力位：)0,(22yxZ22222211()sin22xyrhshwhch武汉大学：地球重力学课程组42离心力位离心力位：离心力位不是正则函数。22222211()sin22xyr离心力位的性质离心力位的性质 离心力位在全空间是连续的。离心力位在空间中任一点不调和。22limr问题思考：回顾并比较引力位的性质问题思考：回顾并比较引力位的性
24、质hshwhch武汉大学：地球重力学课程组435. 地球的重力hshwhch武汉大学：地球重力学课程组44 重力是引力与离心力的合力。重力是引力与离心力的合力。重力位在全空间是连续函数，重力位在全空间是连续函数，2221()2WVGdxyl重力位是引力位与离心力位之和。 gFZ( , , )WW x y z它既不是正则函数又不是调函数。它既不是正则函数又不是调函数。 hshwhch武汉大学：地球重力学课程组45 重力位内部问题重力位内部问题重力位既不是正则函数又不是调函数重力位既不是正则函数又不是调函数 242SBfWGW 重力位外部问题重力位外部问题22limrSBWWgW坏事！数学物理方程
25、知识不可用。不正则的数学物理方程问题能求解吗？方程右端项中含地球密度函数，能已知吗？怎么办？hshwhch武汉大学：地球重力学课程组46 内部问题内部问题引力位为正则调和函数引力位为正则调和函数重力位既不是正则函数又不是调函数重力位既不是正则函数又不是调函数242SBfWGW 外部问题外部问题22limrSBWWgW重力问题不能求解，引力问题能求解吗？方程右端项中均含地球密度函数未知函数0lim0rSVFVVB4SBVVFG hshwhch武汉大学：地球重力学课程组47重力与引力：由于离心力很小，常用引力近似代替重力；重力与引力：由于离心力很小，常用引力近似代替重力；i)i)当研究点较远时，可
26、能引力小而离心力大当研究点较远时，可能引力小而离心力大, ,ii)ii)若某一点不旋转，引力与重力相等。若某一点不旋转，引力与重力相等。重力的单位用重力加速度的单位：重力的单位用重力加速度的单位：“每秒每秒厘米每秒每秒厘米”伽。伽。（为纪念天文学家伽里略而确定）伽、毫伽、微伽（为纪念天文学家伽里略而确定）伽、毫伽、微伽 当质量为单位质量，重力与重力加速度是“相等”的。因此在重力学中常常混淆重力与重力加速度的区别。 mamgaghshwhch武汉大学：地球重力学课程组48 o 万有引力常数万有引力常数G ，o 地球自转角速度地球自转角速度； o 地球的平均半径地球的平均半径R；o 地球的平均密度
27、地球的平均密度，地壳的平均密度，地壳的平均密度0 ，o 在地球表面上，重力值在地球表面上，重力值g约在约在 978 至至 983 伽之间；伽之间；o 赤道上离心力的最大值与重力的最大值之比约为赤道上离心力的最大值与重力的最大值之比约为1/300问题思考：自己归纳重力位的性质问题思考：自己归纳重力位的性质hshwhch武汉大学：地球重力学课程组49 任务之一：重力场分布任务之一：重力场分布主要应用于未知重力场的研究、空间科学（轨道）主要应用于未知重力场的研究、空间科学（轨道）任务之三：地球的结构任务之三：地球的结构任务之二：地球的形状任务之二：地球的形状主要用于地球物理勘探主要用于地球物理勘探主
28、要用于大地测量学、海洋学主要用于大地测量学、海洋学地球：外部、表面、内部地球：外部、表面、内部hshwhch武汉大学：地球重力学课程组506.大地水准面hshwhch武汉大学：地球重力学课程组51水准面定义o等位面等位面：位等于常数的曲面称为等位面。o水准面水准面：重力位为常数的曲面为重力等位面，亦称之为重力水准面，或简称为水准面。不同的常数得到不同的水准面。o大地水准面大地水准面：在诸多重力水准面中，有一个十分重要的水准面被称之为大地水准面大地水准面。即大地水准面为与静止的平均海水面相重合与静止的平均海水面相重合的重力等位面重力等位面。o几何意义几何意义：若在某曲面上重力位处处相等，则有：o
29、物理意义：物理意义：在任一个重力等位面上， 每一点的法线（即垂线）就是重力方向,所以物体沿重力等位面运动,重力不做功。水准面的意义水准面的意义( , , )WC hshwhch武汉大学：地球重力学课程组52大地水准面地球表面NSOa ab大地水准面大地水准面地球的自然表面地球的自然表面规则椭球面规则椭球面规则球面规则球面hshwhch武汉大学：地球重力学课程组53相邻水准面的相邻水准面的性质：o水准面的封闭性水准面的封闭性：水准面是一个封闭曲面。在一般情况下，地球的重力位水准：水准面是一个封闭曲面。在一般情况下，地球的重力位水准面是一个封闭的几何曲面。严格说来该曲面难以用一个理想的数学表达式来
30、描述。面是一个封闭的几何曲面。严格说来该曲面难以用一个理想的数学表达式来描述。o重力线重力线：通过某一点且与各水准面垂直的线段不一定是直线，该线段在测量上：通过某一点且与各水准面垂直的线段不一定是直线，该线段在测量上称为垂线。在地球重力场中的重力线是垂直穿过各重力等位面的空间曲线。重力称为垂线。在地球重力场中的重力线是垂直穿过各重力等位面的空间曲线。重力场中某一点的重力方向就是这点重力线的切线方向。场中某一点的重力方向就是这点重力线的切线方向。o：两相邻水准面之间的重力位差处处相等处处相等，这种位差就是一水准面上各点的重力值与其至相邻水准面的垂直距离的乘积。o：同一水准面上各点的重力值一般从赤
31、道向两极增大，因而这些点至相邻水准面的垂直距离由赤道向两极逐渐减小，也就是相邻两水准面之间互不平行互不平行。o：又由于地球内部质量分布不规则，致使任意两相邻水准面之间互不平行；又由于重力位是坐标的单值函数，所以两相邻水准面互不相交、不相交、互不相切不相切。其它性质cosWWWdWdxdydzW dsg dsgdsxyz hshwhch武汉大学：地球重力学课程组54相邻水准面的相邻水准面的性质：水往低处流？大地水准面的作用地球表面誰离地心最远？珠峰吗？高程高？低？hshwhch武汉大学：地球重力学课程组557.重力学中的研究问题 hshwhch武汉大学：地球重力学课程组56重力位与格林公式重力位
32、与格林公式21422SdgVdSWdSWllnl 2122SgdWWdSln ll 重力g、旋转角速度（离心力位） 、物体的形状S均已知。上式为一个关于重力位W的“第二类积分方程”。（有解）取取v为重力位为重力位W，内部，表面代入得，内部，表面代入得 、整理得整理得 外部格林第三公式外部格林第三公式 112SvvdvdSvll nn l 242WG Wgn ( , , )WW gShshwhch武汉大学：地球重力学课程组57重力位与格林公式重力位与格林公式2122SgdWWdSlnll 上式表明外部重力位W有解。并且由重力g、旋转角速度（离心力位） 、物体的形状S确定。特例特例、若S曲面又是等
33、位面，即在它上面重力位为常数，此时公式表明：若已知物体的形状公式表明：若已知物体的形状S S、旋转角速度、旋转角速度、表面上的重、表面上的重力值力值g g，则物体外部的重力位可唯一确定。（若积分方程有唯一解），则物体外部的重力位可唯一确定。（若积分方程有唯一解）222SgdWdSll (,)WWgS( ,)WW gS说明说明：原结论在莫洛金斯基理论中用到，特例在斯托克司理论中用到。原结论在莫洛金斯基理论中用到，特例在斯托克司理论中用到。hshwhch武汉大学：地球重力学课程组58所谓斯托克司定理斯托克司定理，是英国物理学家斯托克司1849年提出的，即：若已知一个水准面和它若已知一个水准面和它内
34、部所包含的物质的总质量，内部所包含的物质的总质量，以及该物体绕某一固定轴的旋以及该物体绕某一固定轴的旋律角速度，则该水准面上及律角速度，则该水准面上及水准面外所有点的重力位都水准面外所有点的重力位都可唯一确定，并且不需要知道可唯一确定，并且不需要知道物体内的质量分布情况物体内的质量分布情况。斯托克司定理斯托克司定理 ( , ,)WW SMSMWhshwhch武汉大学：地球重力学课程组59斯托克司定理的说明斯托克司定理的说明斯托克司问题斯托克司问题 斯托克司问题斯托克司问题，其实可称为斯托克司定理的逆。它可表述为：已知水准面上的重力和该面上的重力位（或地球的总质量），以及地球的自转角速度；需求定
35、水准面的形状和该水准面外部的重力位。斯托克司问题也就是斯托克司以前没有解决的问题，这是大地重力学要解决的问题。(, , )(, , )SS WgS MgSMWg物体表面S又是等位面物体外面没有质量与内部结构无关hshwhch武汉大学：地球重力学课程组60重力正演问题重力正演问题重力正反演问题重力正反演问题 由地球（表面）实测重力异常及其导数的数值大小、空间分布和变化规律，定性和定量推断地下客观存在的异常地质结构、构造和地质体的形状、产状及剩余密度分布。 反演问题的数学定义为：由观测面上重力异常分布，在给定物体边界位置函数的条件下，求解物体的密度分布函数；由观测面上重力异常分布，在给定物体密度函
36、数的条件下，求解物体的边界位置函数；由观测面上重力 分布，在给定特殊约束（如设物体密度均匀、形态规则）条件下，求解物体密度参数和几何参数。在地球物理（重力）勘探的理论研究中，根据已知的、具有剩余质量的地质体的形状、产状和剩余密度分布（或其它物性数据），通过理论的计算、模拟计算或模型实验等方法，研究它们所引起的及其各阶导数场的数值大小、空间分布和变化规律。 统称为（重力）正演问题。重力反演问题重力反演问题hshwhch武汉大学：地球重力学课程组61地球：重力与密度关系地球：重力与密度关系重力正反演问题重力正反演问题 地表（引）重力异常与地下密度异常的关系为积分形式正演问题：由已知密度异常和物体形
37、状参数V，求定重力异常g。32222()()()() Vz d d dgGxyz 反演问题：由已知密度异常g，求定物体的形状参数V或密度异常。附：二度体问题公式22()2()()Sz d dgGxz hshwhch武汉大学：地球重力学课程组628.地球引力位的不同展开hshwhch武汉大学：地球重力学课程组63 不同球谐表示方法引力位的问题引力位的问题地球外部位的球谐展开地球外部位的球谐展开 100( , )( , )nnnm nmnm nmnmRVCRDSr V0VVlimV0Srfn系数待求系数待求hshwhch武汉大学：地球重力学课程组64dmVGl外部引力位可写为不同的级数形式外部引力
38、位可写为不同的级数形式 1001( , )( , )nnmnmnmnmnnmVA RB Sr 形式一：形式一：00( , )( , )nnnmnmnmnmnmGMaVC RD Srr 形式二：形式二：101( , )( , )nnnmnmnmnmnmGMaVJ RK Srr 形式三：形式三：级数形式便于分析问题，如近似形式、频谱特性等等：级数形式便于分析问题，如近似形式、频谱特性等等hshwhch武汉大学：地球重力学课程组65低阶低阶0,01C1,11,11,00001(,)(,)3CDCxyza2,22,12,123(,)( ,)15DDCF D Ea M结论结论：地球引力位的零阶项与地球的
39、总质量相关，地球引力位的一阶项与地：地球引力位的零阶项与地球的总质量相关，地球引力位的一阶项与地球的质心坐标相关，地球引力位的二阶项与地球的惯性积（矩）相关球的质心坐标相关，地球引力位的二阶项与地球的惯性积（矩）相关。 引力位的三个一阶系数引力位的三个一阶系数与地球的质心相关与地球的质心相关 、引力位的二阶系数引力位的二阶系数与地球的转动惯量（轴）相关与地球的转动惯量（轴）相关 引力位的引力位的O阶系数阶系数与地球的质量相关与地球的质量相关 00( , )( , )nnnmnmnmnmnmGMaVC RD Srr hshwhch武汉大学：地球重力学课程组66基本思路基本思路8. “正常”椭球的
40、正常重力hshwhch武汉大学：地球重力学课程组67StokesStokes定理定理：知水：知水准面和它所包含准面和它所包含的总质量，旋律的总质量，旋律角速度，则水准角速度，则水准面上及外的位都面上及外的位都可唯一确定可唯一确定。理论依据与要求理论依据与要求可能性：可能性：由司托克斯定理，地球表面及其外部的重力位可用来唯一确定。地球内部构造：地球内部构造：根据司托克斯定理，地球内部构造对地球表面和外部的重力场不产生影响。真实性：真实性：应尽量尽量不改变地球外部的重力和重力位；应尽量不改变大地水准面的形状。正常重力场正常重力场 正常重力场是真实地球重力场的正常重力场是真实地球重力场的“近似近似”
41、，但它是可用，但它是可用“简单简单”数学公式表数学公式表示示 正常椭球正常椭球（StokesStokes定理中的等位面）定理中的等位面）正常椭球是真实地球的正常椭球是真实地球的“近似近似”，但它是可用，但它是可用“简单简单”数学公式表示，且表面数学公式表示，且表面为等位面为等位面 SMW“正常”椭球的原因hshwhch武汉大学：地球重力学课程组68技术要求技术要求不改变地球重力场的总质量和旋转角速度。不改变地球重力场的总质量和旋转角速度。取真实地球的实际参数（、）。取真实地球的实际参数（、）。椭球体表面为水准面，且外部没有物质存在。椭球体表面为水准面，且外部没有物质存在。椭球取真实地球的近似参
42、数（长短半轴、）椭球取真实地球的近似参数（长短半轴、）O阶项与阶项与1阶项的处理。阶项的处理。（“质量相等质量相等”，“质心重合质心重合”）为了计算简便为了计算简便将地球划分为和不规则形状两部分：将地球划分为和不规则形状两部分：规则部分为规则部分为“正常正常”部分，不规则部分为部分，不规则部分为“异常异常”部分部分为了适应为了适应斯托克司斯托克司定理定理MabNSOa ab “正常”椭球的要求hshwhch武汉大学：地球重力学课程组69 问题的解问题的解正常椭球体产生的外部引力位正常椭球体产生的外部引力位是调和正则的，是调和正则的，即即 2220001sin2lim0SuVVUaV 00)(c
43、os)sincos()()(nnmnmnmnmnmnmPmBmAEbiQEuiQV)(sin)()(31)()()31(2222200220PEbiQEuiQaEbiQEuiQaUV椭球是旋转对称的，故引力位与经度无关 在正常椭球面上 0,UUbu0mhshwhch武汉大学：地球重力学课程组70 简化后的解简化后的解正常重力位 用地球总质量来替代正常椭球面上的重力位离心力位 )(sin)()(31)()()31(2222200220PEbiQEuiQaEbiQEuiQaUV2222222sin)(21)(21Euyx222222221cos)()(21)()(31tanbquqaEuabquq
44、auEEGMU)(sin)()(31tantan)31(22211220PbquqabEuEaUV四个参数 hshwhch武汉大学：地球重力学课程组71 常用椭球坐标下的形式常用椭球坐标下的形式与经度无关径向分量部分 此值较小 ,(,)xyzxyzUUU (,)u 222222122222221sincossincossincos()sincosbabauauEuauEu22222sincos()sincosuuEu310UH正常重力为正常重力位的梯度正常重力为正常重力位的梯度hshwhch武汉大学：地球重力学课程组72 索密里安公式索密里安公式 正常椭球面上的正常重力索密里安索密里安2202
45、222sincossincosbababa式中：为极点与赤道上的正常重力值 ,ab地理纬度hshwhch武汉大学：地球重力学课程组73简化公式一24012(1sinsin)aff2201(1sinsin 2 )a简化公式二hshwhch武汉大学：地球重力学课程组74较为著名的国际椭球 最新的国际椭球hshwhch武汉大学：地球重力学课程组75 形式一22223112sinhfmfhhaa22223513sin2aahfmfmhhaa 形式二hshwhch武汉大学：地球重力学课程组76例1 求武汉（求武汉（030）的正常重力值）的正常重力值 例2 求珠峰顶处（求珠峰顶处（030）的正常重力值）的
46、正常重力值 hshwhch武汉大学：地球重力学课程组779.重力异常hshwhch武汉大学：地球重力学课程组78扰动场扰动场将空间中同一点处的真实地球重力场与正常重力场的差称为“扰动”场重力扰动重力扰动空间中同一点处的地球重力向量向量与正常重力向量向量的差称为重力扰动。它仍是一个向量。扰动重力扰动重力空间中同一点处的地球重力值值与正常重力值值的差值称为扰动重力。它是一个数（标）量。广泛用于地球外部重力场的研究扰动场hshwhch武汉大学：地球重力学课程组79残差场残差场将空间中一点处的地球重力场与该区域的平均近似地球重力场的差异称为“残差”场。平均近似：该地区的经验值平均近似：该地区的经验值剩
47、余重力剩余重力空间中某点处的重力值值与该区域的平均近似重力值值的差异值称为剩余重力，也称为重力残差，甚至也称为重力异常。广泛用于地球内部重力问题的研究广泛用于地球内部重力问题的研究。残差场hshwhch武汉大学：地球重力学课程组80异常场异常场将空间中一点处的地球重力场与它的对应点处的正常重力场的差称为“异常”场。对应点：设为空间中一点，通过该点必存在一个重力等位面，记该面的对应点：设为空间中一点，通过该点必存在一个重力等位面，记该面的重力位为；在空间中寻找一点使得该点的正常重力位。这样重力位为；在空间中寻找一点使得该点的正常重力位。这样的点是唯一的，点称为点的的点是唯一的，点称为点的“对应点
48、对应点”。重力异常重力异常空间中一点处的地球重力值值与它的对应点处的正常重力值值的差值称为重力异常。广泛用于地球形状的研究。在很多地方狭义地称重力异常为大地水准面上一点与它在椭球面上对应点处的正常重力值的差值。PWPQPQWUQP“重力异常重力异常”有时泛指以上三种意义：重力异常、扰动重力、有时泛指以上三种意义：重力异常、扰动重力、剩余重力，也泛指重力扰动。即指重力（相对某一值）的差异。剩余重力，也泛指重力扰动。即指重力（相对某一值）的差异。异常场hshwhch武汉大学：地球重力学课程组81残差重力异常为残差重力异常为0 0阶阶“剩余剩余重力重力扰动扰动”，“扰动扰动”重力异常为重力异常为1
49、1阶阶“重力重力扰动扰动”；“异常异常”重力异常为重力异常为1 1阶阶“重力异常重力异常”。设：设：f=f0+f1+f2+f3+取：取：0f= f-f0=f1+f2+f3+ 1f= f-f0-f1=f2+f3+ 2f= f-f0-f1-f2=f3+则：它们均为截断误差。级别不一样。则：它们均为截断误差。级别不一样。又：又：Df=f-g0则：它也是一种（则：它也是一种（截断）误差。称它为差值。截断）误差。称它为差值。重力异常谈重力异常谈hshwhch武汉大学：地球重力学课程组82、科学方法趣谈科学方法趣谈集思广益法的广泛应用集思广益法的广泛应用爱因斯坦与爱因斯坦与“奥林匹亚科学院奥林匹亚科学院”
50、请完善这些故事请完善这些故事卢瑟福与他的午餐聚会卢瑟福与他的午餐聚会哥本哈根的讨论会哥本哈根的讨论会维纳的科学讨论会维纳的科学讨论会hshwhch武汉大学：地球重力学课程组83对不同（对不同（3种）类型的边界条件，写出上述三种展开形式中系种）类型的边界条件，写出上述三种展开形式中系数的计算公式。并讨论它们之间的关系。数的计算公式。并讨论它们之间的关系。（单号学生完成） 、思考与练习思考与练习编写计算的程序。编写计算的程序。计算计算n为身份证前两位，为身份证前两位，m为学号末两位，为学号末两位，x1/2时的值。时的值。（语言不限，双号学生完成） ,( )n mPxhshwhch武汉大学：地球重力
