1、第第2章章 安全科学基础理论安全科学基础理论 1.集合的并、交、补运算集合的并、交、补运算为直观起见，用文氏图文氏图(Venn Diagram)表示。 (1) 集合的并仍为集合集合的并仍为集合,图（a），阴影集合C=AB， 集合C为集合A和B的并，或C为A和B的和，符号为，可称并，也可称加，中文表示或的意思（即A和B至少发生一个）。集合的并集合的并 (2) 集合的交集合的交 仍为集合仍为集合, 图（b），阴影集合C=AB，集合集合C为集合为集合A和和B的交的交，或C为A和B的积积，符号，可称交，也可称乘，中文表示与、且的意思（即A和B必须同时发生）。 图 集合的交集合的交 (3) 集合的补集合
2、的补 也是集合图（c），阴影集合，集合集合C 为集合为集合B的补的补，或C为B的对立集合，符号“”, “ ”也可“”，可称 “补”，也可称非，中文表示“不是”之意。 CBB图 集合的补集合的补AAAAAAABBAABBACBACBA)()(CBACBA)()()()()(CABACBA)()()(CABACBADBCBDACADCBA)()(BBABABAAABAA或)()(BABBABAABAAABAA）（或）（ABABABAB子事件子事件和事件和事件积事件积事件互斥事件互斥事件AAASAB对立事件差事件nmAW/)(nm 0qAQ)()(AQ0)(, 1)(QSQPAP)(nmPAP/)(
3、1)(0AP1）（SP0）（P基本事件总数中所包含的基本事件数）（AnmAP/NCBAqqqq,iNAiNCBANCBAqqqqqq),(),(NCBAi)1 (1)1 ()1)(1)(1 (1()iNAiNcBANCBAqqqqqq),(NCBAiNCBAqqqq,NCBANCBAqqqqq)()(/)(/)A BABABABqqqqqqqABqq /BAqq /mififmNN1mififmmNNNNF100/)(),(tFFtNNmffmtdttftF0)()( tt越小，分得越细，则越小，分得越细，则右图中的折线就越趋近右图中的折线就越趋近于一条曲线，该曲线就于一条曲线，该曲线就是失效
4、率和时间的曲线是失效率和时间的曲线F F（t t）：）：dttdNNtff)(1)(0tftffdtdttdNNtdNNNtNtF00000)(1)(1)()(1)()(0dttftF)()()()()(1)(1)(1)()()(1)()()()()(0000tdtdRtfdttfdttftFtRtFtRNtNtRNtNtNNtNtRttffss对上式两端求导可得( ) t01( )lim(/)ttP tTtt Ttt 反映反映t 时刻失效的时刻失效的速率速率，故也称为，故也称为瞬时失效率瞬时失效率。 )(t()(/)()P tTttP tTtt TtP Tt 由条件概率由条件概率00()(
5、)lim()()( )( )1 lim( )( )ttP tTtttP TttF ttF tdF tR ttdtR t dttdNtNtfs)()(1)(0)(1)(NtNtRfdttNtdRNts)()()(0dttdRtRtNtNtRs)()(1)()()(0又)(ln0)(ln)()(1)()(00tRttRdttdRtRtdttt积分对上式从t0dtttetR0)()(,)()(时常数当ttetR)()()()()()()()(1)(tRtftdttdRtfdttdRtRt失效率的估计值失效率的估计值 ( ) t 不论产品是否可修复，产品失效率的估计值不论产品是否可修复，产品失效率的估
6、计值均可由下式求得：均可由下式求得： 例例1:1: 对对100个某种产品进行寿命试验，在个某种产品进行寿命试验，在t=100h以前没有失效，而在以前没有失效，而在100105h之间有之间有1个个失效，到失效，到1000h前共有前共有51个失效，个失效，10001005h失失效效1个，分别求出个，分别求出t=100和和t=1000h时，产品的失时，产品的失效率和失效概率密度。效率和失效概率密度。 ttntnttntnttntsfsff)()()()()()(据题意有： 解：（1）求产品在100h时的失效率 和失效概率密度 。)100()100(f5(h)100-105 , 1)100( , 10
7、0)100( , 100tnnnfsh/%2 .0511001 )100()100()100(tnnsf(100)111(100)0.2% / h1005fnfnt据题意有(1000)1(1000)0.4%/h(1000)49 5fsnnt （2）求产品在1000h时的失效率 和失效概率密度 。)1000()1000(f5(h)1000-1005 , 1)1000( , 4951100)1000( , 100tnnnfs 由上例计算结果可见，从失效概率观点看，由上例计算结果可见，从失效概率观点看，在在 t = 100 和和 t = 1000h处，单位时间内处，单位时间内失效频失效频率是相同（率
8、是相同（0.2%0.2%）的，而从失效率观点看，的，而从失效率观点看，1000h处的失效率比处的失效率比100h处的处的失效率加大一倍失效率加大一倍（0.4%0.4%），后者更灵敏地反映出，后者更灵敏地反映出产品失效的变产品失效的变化速度化速度。 h/%2 . 0511001 )1000(1)1000(tnnff1)(lim0)(lim)()(0tMtMtTPtMttD:式表示维修度的密度函数用下dttdMtm)()( ) ( ),:tttt d t 在时间内修复的概率为 则维修率)()(1ln)()(11)(1)()(tdtMddttdMtMtMtmt)(tMttdtetM0)()(1)()
9、(ttetM1)(000000( )( )( )( )( )( )0lim( )0,lim( )0( )ttE xtf t dttdF ttdR ttR tR t dttR tR tR t dt 可以证明又有所以有指数分布指数分布 在可靠性理论中，指数分布是在可靠性理论中，指数分布是最基本、最基本、最常用的分布，适合于失效率为常数的情最常用的分布，适合于失效率为常数的情况况。 指数分布指数分布不但在电子元器件偶然失效不但在电子元器件偶然失效期普遍使用，而且在复杂系统和整机方面期普遍使用，而且在复杂系统和整机方面以及机械技术的可靠性领域也得到使用。以及机械技术的可靠性领域也得到使用。1.失效概率
10、密度函数 f（t）( )tf te(0)t 式中 指数分布的失效率，为一常数常数。 2.累积失效概率函数 F（t） 累积失效概率函数F（t）的图形如图111所示。 )0(1 )()( 0 tedtedttftFtttt3.可靠度函数R（t） ( )1( )tR tF te (0)t 可靠度函数R（t）的图形如图1-12所示。 4.失效率函数( ) t( ) t 常数失效率函数的图形如图113所示。5. 平均寿命（MTTF或MTBF） )(0dttR1 0 dtet 因此，当产品寿命服从指数分布时，其平均寿命与失效率 互为倒数互为倒数。)(tAMTTRMTBFMTBFtA )(MTTRMTBFMTTRq11qMTTRMTBF q11,12000.005q1tqe qtteqt
