1、本节主要内容 4.4 椭球面上的弧长计算椭球面上的弧长计算 1.子午线弧长计算公式子午线弧长计算公式 2.由子午弧长求大地纬度由子午弧长求大地纬度 3.平行圈弧长公式平行圈弧长公式 4.子午线弧长和平行圈弧长变化的比较子午线弧长和平行圈弧长变化的比较 4.5 大地线大地线 1.相对法截线相对法截线 2.大地线的定义和性质大地线的定义和性质 3.大地线的微分方程和克莱劳方程大地线的微分方程和克莱劳方程 4.4 椭球面上的弧长计算椭球面上的弧长计算 1.子午线弧长计算公式子午线弧长计算公式将克拉索夫斯基椭球元素代入将克拉索夫斯基椭球元素代入:将将1975年国际椭球元素代入：年国际椭球元素代入：说明
2、：说明： B=90o代入，一个象限内约为代入，一个象限内约为10000km 地球周长约为地球周长约为40000kmBBBdBBeeadBWeaMdBXMdBdx0232220320)sin1 ()1 ()1 (BBBBXo6sin022. 04sin828.162sin480.16036861.111134BBBBXo6sin022. 04sin833.162sin528.16038005.111133OBP1P2dxdBMPP子午线弧长计算公式特点子午线弧长计算公式特点 子午线弧长计算公式是不可积分的，只能以级数子午线弧长计算公式是不可积分的，只能以级数展开才能计算。展开才能计算。 子午线弧
3、长计算公式有三个公式，是级数按正弦子午线弧长计算公式有三个公式，是级数按正弦和余弦展开的结果。和余弦展开的结果。 子午线弧长计算公式中的系数特点子午线弧长计算公式中的系数特点32)1 (WeaMBecVcM222cos18642086420mmmmmaaaaa、以以2个数量级变小？个数量级变小？ 子午线弧长计算公式与对应椭球对应，不同的子午线弧长计算公式与对应椭球对应，不同的椭球有不同的公式。椭球有不同的公式。计算子午线弧长的意义：计算子午线弧长的意义： 大地测量正算和反算。大地测量正算和反算。 高斯反算。高斯反算。 每秒纬度变化，引起子午线弧长的变化约每秒纬度变化，引起子午线弧长的变化约30
4、米。米。子午线弧长公式用到子午线弧长公式用到SIN6B弧长精度为弧长精度为1毫米，用毫米，用到到SIN8B弧长精度为弧长精度为0.01毫米毫米子午线上纬度为子午线上纬度为 ， 间的弧长间的弧长 弧长较短（弧长较短（ 40km）2.由子午弧长求大地纬度由子午弧长求大地纬度 在高斯投影坐标反算公式中要用到。包括迭代解法和直接解在高斯投影坐标反算公式中要用到。包括迭代解法和直接解法两种方法。法两种方法。 迭代解法（以克拉索夫斯基椭球为例）迭代解法（以克拉索夫斯基椭球为例） 2211XBXB12XXX )(21221BBMXMBBBmmm，计算由1B2B8611.111134/1XBf8611.111
5、134/)(1ififBFXBififififBBBBF6sin0220. 04sin8281.162sin4803.16036)(ififBB1直到直到 为止为止 直接解法（以直接解法（以1975年国际椭球为例）年国际椭球为例）3.平行圈弧长公式（大地线微分方程要用）平行圈弧长公式（大地线微分方程要用） 说明：纬度不同，相同的经差平行圈弧长不同。说明：纬度不同，相同的经差平行圈弧长不同。4.子午线弧长和平行圈弧长变化的比较子午线弧长和平行圈弧长变化的比较 子午圈弧长：子午圈弧长：B ，单位纬度差的子午线弧长，单位纬度差的子午线弧长 平行圈弧长：平行圈弧长： B ，单位经度差的平行圈弧长，单位
6、经度差的平行圈弧长 lBNSLLlBWaBNxrcoscoscos126sin10447. 74sin10701007. 32sin10518828475. 2963fB133.6367452/X（弧度）4.5大地线 相对法截线 大地线定义 大地线性质特点 大地线微分方程 4.5 大地线大地线 1.相对法截线相对法截线 首先证明：首先证明： 和和 不重合不重合 由由 ，得，得 若若 若若A、B两点不在同一子午圈上，也不在同一平行圈上时，两点有两条法两点不在同一子午圈上，也不在同一平行圈上时，两点有两条法截线。截线。 说明：说明：相对法截线相对法截线 A照准照准B：AaB叫叫A点的正法截线，点的
7、正法截线，B点的反法截线；点的反法截线； B照准照准A：BbA叫叫B点的正法截线，点的正法截线，A点的反法截线。点的反法截线。 相对法截线的位置相对法截线的位置 BbA比比AaB偏上。偏上。anbn222121sinsinBeNOnBeNOnba2211sinsinBnQOnBnQOnbbaa2NeQn baOnOnBB，21，abOnOnBB12OABabQ1Q2nanbB1B2正反法截线的位置如课本图正反法截线的位置如课本图4-18所示所示 当当A、B两点位于同一子午圈或平行圈时，正反法截线合两点位于同一子午圈或平行圈时，正反法截线合 二为一。二为一。 椭球面上椭球面上A、B、C三点构不成
8、三角形。（三点构不成三角形。（产生了矛盾产生了矛盾）2.大地线的定义和性质大地线的定义和性质 定义：椭球面上两点间的最短程曲线叫大地线。定义：椭球面上两点间的最短程曲线叫大地线。 性质：性质： 说明：说明： 其长度与法截线长度其长度与法截线长度 相差为百万分之一毫米；相差为百万分之一毫米； 地面观测值归算成大地线的地面观测值归算成大地线的 方向，距离。方向，距离。 大地线是一条空间曲线；大地线是一条空间曲线； 大地线惟一，位于相对法截线之间。大地线惟一，位于相对法截线之间。31ABBAC大地线性质1. 大地线是椭球面上两点最短距离；2. 大地线方向靠近正法截线。形状为拉长的S，方向占相对法截线
9、夹角的三分之一。3.大地线的微分方程和克莱劳方程大地线的微分方程和克莱劳方程dSBNAdLAdSdLBNcossinsincosdSMAdBAdSdBMcoscospp1AdAdSdLp2ANp3900-B-dB 大地线的微分方程大地线的微分方程 描述描述p到到p1时，时，dS与与 dA、dL、 dB之间的关系之间的关系 在微分直角三角形在微分直角三角形pp2p1中中在球面直角三角形在球面直角三角形p1p3N中，中， dA，dL，dB均为微分量，即均为微分量，即 )sin(sinsin)90(90sinsin)90cos(dBBdLdAdBBdLdAooo即dSBNABdLdABdBBdLdL
10、dAdAtansinsinsin)sin(sinsin大地线微分方程dSMAdBcosdSBNAdLcossindSBNAdAtansin克莱劳方程克莱劳方程BNBdBMAAAdBMBNBAdAcossincossincoscossinsindBBMdrBNrsin,cosrdrdAAcot 克莱劳定理：克莱劳定理： 在旋转椭球面上，大地线各点的平行圈半径与大地线在在旋转椭球面上，大地线各点的平行圈半径与大地线在 该点的大地方位角的正弦的乘积等于常数。该点的大地方位角的正弦的乘积等于常数。说明：说明： CArCrAsinlnlnsinlnC也叫大地线常数也叫大地线常数00AAarBo，0sin AaC oA900090sinrrCo小结 子午线弧长，平行圈弧长。子午线弧长，平行圈弧长。 大地线的定义和性质。大地线的定义和性质。 相对法截线的概念。相对法截线的概念。 了解大地线微分方程和克莱劳定理。了解大地线微分方程和克莱劳定理。作业与思考 简述大地线的定义和性质。简述大地线的定义和性质。 相对法截线的概念。相对法截线的概念。 子午线弧长计算公式。子午线弧长计算公式。
