1、数学物理方法柱函数柱函数n柱函数的基本性质n贝塞尔方程本征值问题n转动对称柱面问题n一般柱面问题n本章小结柱函数的基本性质nm 阶柱函数n定义： 分类： m 阶贝塞尔函数 m 阶诺伊曼函数 m 阶汉克尔函数的特解贝塞尔方程0)(222ymxxyyx 022) 1(!) 1()(kmkxkmmkkxJmxxJmxxJxNmmmsin)(cos)()()()()(xNixJxHmmm柱函数的基本性质n柱函数的图象n贝塞尔函数n诺伊曼函数n柱函数的性质n对称性 对整数阶柱函数有 Zm(-x) =(-1)m Zm(x)n渐近性质n零点分布n递推公式贝塞尔函数的图象诺伊曼函数的图象柱函数的渐近性质x 0
2、 时的行为：mxmmxmxmmxNxNxJxJ)()(,ln)()()(, 1)(2)!1(02202!100 x 时的行为：)(exp)();(exp)();sin()();cos()(41212412124121241212mxixHmxixHmxxNmxxJxmxmxmxm柱函数的零点分布n由渐近公式，在 x 较大时由图象：m 阶贝塞尔函数有无限多个正零点)(1)()(3)(2)(10mnmnmmmxxxxx)()(0)cos(4121)(2141214121mnxnmxmxmn相邻阶贝塞尔函数的正零点交替出现 )1(1)(1)2(1)1(1)0(10mmxxxxx第一个正零点的大小随着
3、贝塞尔函数的阶数增加)(3)1(2)(2)1(1)(10mmmmmxxxxx柱函数的递推公式)()()()(11xZxxZxxZxxZxmmmmmmmm基本递推公式推论二11/mmmmmmZxmZZZxmZZ推论一1111/22mmmmmmZZxmZZZZ递推公式的证明 022) 1(!) 1()(kmkxkmmkkxJ )() 1(!) 1(/ )(20221kkmkkmmxmkkxxJ 121221) 1(!) 1(2kkmkkxmkkk 12112211) 1()!1() 1(kkmkkxmkk1kl mmllmllxxmll/) 11(!) 1(1201221mmxxJ/ )(1递推公
4、式的应用11011111xZxZZxZxZxxZZxZxmmmmkkkkmmmmdxJxxxdxJxmmmnmn111dxJxmnJxmnmn111)1(dxxJxxdxJxnn110dxJxnJxnn111)1(dxJxnJxnJxnnn022011)1()1(cJxdxJxmmmm1递推公式的应用dxxJJxJxdxJx002130342dxJxmnJxdxJxmnmnmn111)1(10 xJdxxJdxJxnJxnJxdxJxnnnn0220110)1()1(例题 1例题 201JdxJ例题 4例题 3dxxJJxdxJx002122例题 5dxJxJdxxJ1122cJxdxJxmm
5、mm1贝塞尔方程的本征值问题n转动对称柱面问题的分解n一般本征值问题n本征值问题n本征值和本征函数n正交性和完备性n典型本征值问题n有界和第一类边界条件n有界和第二类边界条件n两边第一类边界条件转动对称柱面问题的分解uaut22022TkaTimeRtTu)()(imtefu)(|0)exp(22takATnn)()(nmnnmnkNDkJCR1)()(nimnneRtTu1)()(nnnRAf0) (22RkRRm一般本征值问题n本征值问题：刘型边界条件斯kbxyxymxyyx0, 0222刘型边界条件斯0)(22RkRRm令 x = k , y(x) = R(), 问题化为：本征值和本征函
6、数n泛定方程的通解为：)()()(xBNxAJxymm根据边界条件可以得出本征值：本征函数为：00,/)(00)()(mmnmnnkknbk义能够得到非零解，则定如果个正数；为非零解条件确定的第, 3 , 2 , 10),/()/()()()()(，nbNDbJCxyRmnmnmnmnnn正交性和完备性2,0)()()(mnlnlnbNdxPR模正交性dRNnbmn)()(202完备性)()(1nnnRff广义傅立叶系数为dRfNfnbmnn)()()(102有界和第一类边界条件n本征值问题为：本征值和本征函数为：, 3 , 2 , 1),/()()()(,/)()()(nbxJxyRnxJx
7、bxkmnmnnmmnmnn个正根；的第为0|,0)(22bmRbRkRR正交性和模：)()()()()()(2122122,0mnmmnmnlnlnbxJbNNdxPR有界和第一类边界条件dRfNfnbmnn)()()(102)/()()()(11bxJfRffmnmnnnnn完备性：广义傅立叶系数：xdxxJkxfNkmnbkmnnn)()/()(1022xdxxJxbxfNxbmxmnmnmnmn)()/()()()(0)(22)(2有界和第一类边界条件dRcNfnbmnn)()()(102)/()()()(11bxJfRfcmnmnnnnn)()(12ccRNnmn例1：把函数 f =
8、 (-c)在0,b 区间用m阶贝塞尔函数展开。)()/()(21221)(mnmmnmxJbbcxcJ有界和第一类边界条件dRNfnmbmnn)()(102)/()()(11bxJfRfmnmnnnnnmxdxxJxNxbmxmmnmmnmmn)()()()(022)(2例2：把函数 f = m 在0,b 区间用m阶贝塞尔函数展开。)(2)(1)(mnmmnmxJxb)(01122)(2)()()(mnxmmmnmmnmxJxNxbbxxmn/)(有界和第一类边界条件例3：把函数 f = 2 在0,b 区间用0阶贝塞尔函数展开。)/()()0(0112bxJfRfnnnnnndRNfnbnn)
9、()(12020dxxJxNxbnxnn)()()(003204)0(4)0()0(010213)0(212214)0(442)()(nxnnxJJxJxxJbxb102130342xJJxJxdxJx)(4)()()(2)0(1)0(3)0()0(214)0(2nnnnnxJxxxJxb有界和第二类边界条件n本征值问题为：本征值和本征函数为：0, 3 , 2 , 1 , 0),/()()(0;, 3 , 2 , 1),/()()(,)( ,/)1(0)0(0)0(0)()1()0()()(xnbJxyRmnbJxyRxnxJbknnnmnmnnnnmmnmnn；特例：个正根的第为0| ,0)
10、(22bmRbRkRR正交性和模：)(/)()(/)/(1)()()()()0(2022120)(22)(22122,0nnmnmmnmnmnlnlnbJbNJmbNNdPR有界和第二类边界条件dRcNfnbmnn)()()(102)/()()()1(000bxJfRfcnnnnnn)()(12ccRNnmn例1：把函数 f = (-c)在0,b 区间用0阶贝塞尔函数展开。)()/()1(20221)1(0nnxJbbcxcJ)1()0(10)()( nnxxJxJ有界和第二类边界条件dRNfnbnn)(1)(1020)/()(1)1(000bxJfRfnnnnnndxxJxNxbnxnn)(
11、)()(00202)1(2)1(例2：把函数 f = 1 在0,b 区间用0阶贝塞尔函数展开。0)1(01202)1(2)()()(nxnnxxJNxbbxxn/)1(1dRNfb)(1)(1002000dJbb11)0(1020221两边第一类边界条件n本征值问题为：代入边界条件：0)()()()(BAkbNkbJkaNkaJmmmm0|,0)(22bamRRbaRkRR)()()(kBNkAJRmm通解为：非零解条件：0)()()()(kbNkbJkaNkaJmmmm转动对称柱面问题n轴对称柱面问题 ( m = 0 时的特例 )n热传导问题n波动问题n稳定问题n转动对称柱面问题n热传导问题
12、n波动问题n稳定问题轴对称热传导问题)(0122nnnkJAb由初始条件得：例题 1dkJbNAnbnn)()()(1022020根据完备性：半径为b的无限长圆柱体，柱面上温度为零，初始温度分布为 f = b2 2，确定柱内温度 u 的变化。22022|, 0|,bfuubuautbt定解问题为：10022)()()exp(nnnnnnnkNDkJCtkaAu相应的半通解为定解问题有轴对称性，1)0(022/),()exp(, 0),(), 0(nnnnnnbxkkJtkaAutbutu半通解化为有界，解：以圆柱体的对称轴为 z 轴，建立柱坐标。轴对称热传导问题)(002nnnkJAA由初始条
13、件得：例题 2dkJANAnbnn)()(102020根据完备性：半径为b的无限长圆柱体，柱面上绝热，初始温度分布为 f = A2 ，确定柱内温度 u 的变化。2022|,0|,Afuubuautbt定解问题为：00022)()()exp(nnnnnnnkNDkJCtkaAu相应的半通解为定解问题有轴对称性，0)1(022/),()exp(, 0),(), 0(nnnnnnbxkkJtkaAutbutu半通解化为有界，解：以圆柱体的对称轴为 z 轴，建立柱坐标。轴对称波动问题)(0)(010122nnnnnnnkJakBkJAb由初始条件得：例题 3dkJbNABnbnnn)()()(1, 0
14、022020根据完备性：半径为b的圆形膜，边缘固定，初始形状是旋转抛物面 f = b2 2，初始速度为零，求膜的振动情况。0|,|,0|,022022tttbttubuubuau定解问题为：100)()()sincos(nnnnnnnnnkNDkJCtakBtakAu相应的半通解为定解问题有轴对称性，1)0(0/),()sincos(,0),(),0(nnnnnnnnbxkkJtakBtakAutbutu半通解化为有界，解：以圆形膜的中心为原点，建立极坐标。轴对称波动问题)()()(00101nnnnnnnkJakBckJA由初始条件得：例题 4dkJcNakBAnbnnnn)()()(1,
15、00020根据完备性：半径为b的圆形膜，边缘固定，初始位移为零，初始速度为 f = ( - c)，求膜的振动情况。)(|, 0|, 0|,0022cuuubuautttbtt定解问题为：100)()()sincos(nnnnnnnnnkNDkJCtakBtakAu相应的半通解为定解问题有轴对称性，1)0(0/),()sincos(,0),(),0(nnnnnnnnbxkkJtakBtakAutbutu半通解化为有界，解：以圆形膜的中心为原点，建立极坐标。轴对称稳定问题0)(001nnnnAkJA由下底条件得：例题 5dkJNLkBnbnnn)()(sinh102020根据完备性：半径为b，高为
16、L的圆柱体，下底和侧面都保持零度，上底的温度分布为2，求柱内的稳恒温度分布。202|, 0|, 0|0, 0LzzbzzuuuLzbuu定解问题为：100)()()sinhcosh(nnnnnnnnnkNDkJCzkBzkAu相应的半通解为定解问题有轴对称性，1)0(0/),()sinhcosh(,0),(),0(nnnnnnnnbxkkJzkBzkAuzbuzu半通解化为有界，)()sinh(012nnnnkJLkB由上底条件得：解：以圆柱体的对称轴为 z 轴，下底中心为原点，建立柱坐标。轴对称稳定问题)()sinh()()sinh(01201nnnnnnnnkJLkBBkJLkAA由上下底
17、条件得：例题 6nnbnnnBdkAJNLkA,)()(sinh10020根据完备性：半径为b，高为L的圆柱体，侧面电势保持为零，上底的电势为A，下底的电势分布为B2，求柱内的电势分布。AuBuuLzbuuLzzbzz|,|, 0|0, 0202定解问题为：100)()()(sinhsinhnnnnnnnnnkNDkJCzLkBzkAu相应的半通解为定解问题有轴对称性，1)0(0/),()(sinhsinh,0),(),0(nnnnnnnnbxkkJzLkBzkAuzbuzu半通解化为有界，解：以圆柱体的对称轴为 z 轴，下底中心为原点，建立柱坐标。转动对称热传导问题)(11nnnkJAA由初
18、始条件得：例题 7dkJANAnbnn)()(11021根据完备性：半径为b的无限长圆柱体，柱面上温度为零，初始温度分布为 f = A cos，确定柱内温度 u 的变化。cos|, 0|,022Auubuautbt定解问题为：cos)()()exp(11122nnnnnnnkNDkJCtkaAu，相应的半通解为定解问题有转动对称性1)1(122/,cos)()exp(, 0),(), 0(nnnnnnbxkkJtkaAutbutu半通解化为有界，解：以圆柱体的对称轴为 z 轴，建立柱坐标。转动对称波动问题)(0)(21212nnnnnnnkJakBkJA由初始条件得：例题 8dkJNABnbn
19、nn)()(1, 022022根据完备性：半径为b的圆形膜，边缘固定，初始形状是 2sin2，初始速度为零，求膜的振动情况。0|,2sin|,0|,022022tttbttubuubuau）（定解问题为：2sin)()()sincos(122nnnnnnnnnkNDkJCtakBtakAu，相应的半通解为定解问题有转动对称性1)2(2/,2sin)()sincos(,0),(),0(nnnnnnnnbxkkJtakBtakAutbutu半通解化为有界，解：以圆形膜的中心为原点，建立极坐标。转动对称稳定问题)()sinh()()sinh(01111nnnnnnnnkJLkBAkJLkA由上下底条
20、件得：例题 9dkJANLkBAnbnnnn)()(sinh101021，根据完备性：半径为b，高为L的圆柱体，侧面和上底保持零度，下底的温度分布为Asin，求柱内的稳恒温度分布。0|,sin|, 0|0, 002LzzbzzuAuuLzbuu定解问题为：sin)()()(sinhsinh111nnnnnnnnnkNDkJCzLkBzkAu，相应的半通解为定解问题有转动对称性1)1(1/,sin)()(sinhsinh,0),(),0(nnnnnnnnbxkkJzLkBzkAuzbuzu半通解化为有界，解：以圆柱体的对称轴为 z 轴，下底中心为原点，建立柱坐标。一般柱面问题n思路n先把非对称的
21、条件分解为三角函数;n含三角函数的条件求出对称柱面解;n再对所得对称柱面解进行叠加。n一般热传导问题n一般波动问题n一般稳定问题一般热传导问题半径为b的无限长圆柱体，柱面上温度为零，初始温度分布为 f (, )，确定柱内温度 u 的变化。),(|, 0|,022fuubuautbt定解问题为：bxkimkJtkaAumnmnnmnmmnnmm/)exp()()exp(|)(|)(1)(2)(2,定解问题的半通解为解：以圆柱体的对称轴为 z 轴，建立柱坐标。一般波动问题半径为b的圆形膜，边缘固定，初始形状是 f (, )，初始速度为零，求膜的振动情况。0|),|, 0|,0022tttbttuf
22、uubuau（定解问题为：bxkimkJtakBtakAumnmnnmnmmnnmmnnmm/)exp()()sincos(|)(|)(1)()(,)(,定解问题的半通解为解：以圆形膜的中心为原点，建立极坐标。一般稳定问题解：以圆柱体的对称轴为 z 轴，下底中心为原点，建立柱坐标。0|),(|0|0, 002LzzbzzufuuLzbuu定解问题为：bxkimkJzLkBzkAumnmnnmnmmnnmmnnmm/)exp()()(sinhsinh|)(|)(1)()(,)(,问题的半通解为半径为b，高为L的圆柱体，侧面和上底保持零度，下底的温度分布为 f ( , )，求柱内的稳恒温度分布。本章小结n一般柱面问题可以分解为对称柱面问题的叠加；n对称柱面问题可以分离出贝塞尔方程的本征问题;n贝塞尔本征问题本征函数为柱函数，本征值由有界或齐次边界条件确定;n典型的柱函数有贝塞尔函数和诺伊曼函数，它们的对称性质、递推性质、渐近性质和零点分布等对于柱面问题的求解有重要作用。
