1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 2 讲 二元一次不等式 (组 )与简单的线性规划问题 1 已知点 ( 3， 1)和点 (4， 6)在直线 3x 2y a 0 的两侧 ， 则 a 的取值范围为_ 解析：根据题意知 ( 9 2 a)(12 12 a) 0， 即 (a 7)( a 24) 0， 解得 7 a 24. 答案： ( 7， 24) 2 已知实数对 (x， y)满足?x 2，y 1，x y0 ，则 2x y 取最小值时的最优解是 _ 解析：约束条件表示的可行域如图中阴影三角形 ， 令 z 2x y， y 2x z， 作初始直线 l0： y 2x， 作与 l0平行的直线 l， 则直线经过
2、点 (1， 1)时 ， (2x y)min 3. 答案： (1， 1) 3 (2018 常州质检 )若 x， y 满足约束条件?x 2y 20 ，x y 10 ，2x y 40 ，z x 2y， 则 z 的取值范围是 _ 解析：作出不等式组表示的平面区域 ， 如图 由图可知当 z x 2y 过点 A 时 ， z 取得最大值； 当 z x 2y 过点 B 时 ， z 取得最小值 ， 由?x y 1 0，2x y 4 0 解得 B(1， 2)， 则 zmin 1 22 3， =【 ;精品教育资源文库 】 = 由?x 2y 2 0，2x y 4 0 解得 A(2， 0)， 则 zmax 2 20 2
3、， 故 z x 2y 的取值范围是 3， 2 答案： 3， 2 4 设变量 x， y 满足约束条件?x 2y2 ，2x y4 ，4x y 1，则目标函数 z 3x y 的取值范围是_ 解析：不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示 ， 目标函数的几何意义是直线在 y轴上截距的相反数 ， 其最大值在点 A(2， 0)处取得 ， 最小值在点 B? ?12， 3 处取得 ， 即最大值为 6， 最小值为 32. 答案： ? ? 32， 6 5 若非负变量 x， y 满足约束条件?x y 1，x 2y4 ， 则 x y 的最大值为 _ 解析：画出可行域是如图所示的四边形 OABC 的边界及内部 ， 令 z
4、 x y， 易知当直线 y x z 经过点 C(4， 0)时 ， 直线在 y 轴上截距最大 ， 目标函数 z 取得最大值 ， 即 zmax 4. 答案： 4 6 (2018 泰州模拟 )已知实数 x， y 满足?x y 40 ，2x y 10 ，x 4y 40 ，则 z |x| |y 3|的取值范围是 _ 解析：由条件可知 ， 点 (x， y)在由顶点 (1， 3)、 (4， 0)、 (0， 1)组成的三角形区域内 ， 从而 x0 ， y 3， 故 z x y 3， 取?x 4，y 0， 得 zmax 7， 取 ?x 1，y 3， 得 zmin 1， 从而 z1 ，7 答案： 1， 7 =【
5、;精品教育资源文库 】 = 7 设 D 为不等式组?x0 ，2x y0 ，x y 30所表示的平面区域 ， 则区域 D 上的点与点 (1， 0)之间的距离的最小值为 _ 解析：作出可行 域 ， 如图中阴影部分所示 ， 则根据图形可知 ，点 B(1， 0)到直线 2x y 0 的距离最小 ， d |2 1 0|22 1 2 55 ， 故最小距离为 2 55 . 答案： 2 55 8 已知 O 为坐标原点 ， A(1， 2)， 点 P 的坐标 (x， y)满足约束条件?x |y|1 ，x 0， 则 zOA OP 的最大值为 _ 解析：如图作可 行域 ， z OA OP x 2y， 显然在 B(0，
6、 1)处 zmax 2. 答案： 2 9 (2018 云南省师大附中模拟 )设实数 x， y 满足?x y 20 ，x 2y 50 ，y 20 ，则 z yx xy的取值范围是 _ 解析：由 于 yx表示可行域内的点 (x， y)与原点 (0， 0)的连线的斜率 ，如图 ， 求出可行域的顶点坐标 A(3， 1)， B(1， 2)， C(4， 2)， 则 kOA 13，kOB 2， kOC 12， 可见 yx ? ?13， 2 ， 令 yx t， 则 z t 1t在 ? ?13， 2 上单调递增 ， 所以 z ? ? 83， 32 . 答案： ? ? 83， 32 10 某公司生产甲、乙两种桶装
7、产品已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、 B 原料=【 ;精品教育资源文库 】 = 2 千克；生产乙产品 1 桶需耗 A 原 料 2 千克 ， B 原料 1 千克每桶甲产品的利润是 300 元 ，每桶乙产品的利润是 400 元公司在生产这两种产品的计划中 ， 要求每天消耗 A、 B 原料都不超过 12 千克通过合理安排生产计划 ， 从每天生产的甲、乙两种产品中 ， 公司可获得的最大利润是 _ 解析：设每天分别生产甲产品 x 桶 ， 乙产品 y 桶 ， 相应的利润为 z 元 ， 则?x 2y12 ，2x y12 ，x， y N，z 300x 400y， 在坐标平面内画出该不等式组表示
8、的平面区域及直线 300x 400y 0，平移该直线 ， 当平移到经过该平面区域内的点 A(4， 4)时 ， 相应直线在 y 轴上的截距达到最大 ， 此时 z 300x 400y 取得最大值 ， 最大值是 z 3004 4004 2 800， 即该公司可获得的最大利润是 2 800 元 答案： 2 800 元 11 若 x， y 满足约束条件?x y1 ，x y 1，2x y2.(1)求目标函数 z 12x y 12的最值； (2)若目标函数 z ax 2y 仅在点 (1， 0)处取得最小值 ， 求 a 的取值范围 解： (1)作出可行域如图中阴影部分所示 ， 可求得 A(3， 4)， B(0
9、， 1)， C(1， 0) 平移初始直线 12x y 12 0， 过 A(3， 4)时 ， z 取最小值2， 过 C(1， 0)时 ， z 取最大值 1. 所以 z 的最大值为 1， 最小值为 2. (2)直线 ax 2y z 仅在点 (1， 0)处取得最小值 ， 由图象可知 10， b0)的最大值为 M， 且 M 的取值范围是 1， 2， 则点 P(a， b)所组成的平面区域的面积是 _ 解析：作 出约束条件 ?x 0y 02x y2表示的平面区域如图 1 中阴影部分所示 (三角形 OAB 及其内部 ) 将目标函数 z ax by(a0， b0)化为直线方程的形式为 y abxzb， =【
10、;精品教育资源文库 】 = 若 ab 2， 当直线 y abx zb经过点 A(1， 0)时 ， z ax by(a0， b0)取得最大值M a1 ， 2， 由?a0b0 ab 2a1 ， 2得点 P(a， b)所组成的平面区域如图 2 中阴影部分所示 ， 此时点 P(a， b)所组成的平面区域的面积为 34. 若 ab 2， 当直线 y abx zb经过点 B(0， 2)时 ， z ax by(a0， b0)取得最大值 M 2b1 ， 2， 由?a0b0 ab 22b1 ， 2得点 P(a， b)所组成的平面区域如图 3 中阴影部分所示 ， 此时点 P(a， b)所组成的平面区域的面积为 3
11、4. 综上 ， 点 P(a， b)所组成 的平面区域的面积为 32. 答案： 32 5 在直角坐标系 xOy 中 ， 已知点 A(1， 1)， B(2， 3)， C(3， 2)， 点 P(x， y)在 ABC 三边围成的区域 (含边界 )上 (1)若 PA PB PC 0， 求 |OP |； (2)设 OP mAB nAC (m， n R)， 用 x， y 表示 m n， 并求 m n 的最大值 解： (1)法一：因为 PA PB PC 0， 又 PA PB PC (1 x， 1 y) (2 x， 3 y) (3 x， 2 y) (6 3x， 6 3y)， 所以=【 ;精品教育资源文库 】 =
12、 ?6 3x 0，6 3y 0， 解得 ?x 2，y 2， 即 OP (2， 2)， 故 |OP | 2 2. 法二：因为 PA PB PC 0， 则 (OA OP ) (OB OP ) (OC OP ) 0， 所以 OP 13(OA OB OC ) (2， 2)， 所以 |OP | 2 2. (2) 因为 OP mAB nAC ， 所以 (x， y) (m 2n， 2m n)， 所以?x m 2n，y 2m n， 两式相减得 ， m n y x. 令 y x t， 由图知 ， 当直线 y x t 过点 B(2， 3)时 ， t 取得最大值 1， 故 m n 的最大值为 1. 6 设函数 f(
13、 ) 3sin cos ， 其中 ， 角 的顶点与坐标原点重合 ， 始边与 x轴非负半轴重合 ， 终边经 过点 P(x， y)， 且 0 . (1)若点 P 的坐标为 ? ?12， 32 ， 求 f( )的值； (2)若点 P(x， y)为平面区域 ：?x y1 ，x 1，y 1上的一个动点 ， 试确定角 的取值范围 ，并求函数 f( )的最小值和最大值 解： (1)由点 P 的坐标和三角函数的定义 ， 可得 sin 32 ， cos 12. 于是 f( ) 3sin cos 3 32 12 2. (2)作出平面区域 (即三角区域 ABC)如图所示 ， 其中 A(1， 0)， B(1，1)， C(0， 1)， 由图可知 0 2. 又 f( ) 3sin cos 2sin? ? 6 ， 且 6 6 23 ，=【 ;精品教育资源文库 】 = 故当 6 2 ， 即 3 时 ， f( )取得最大值 ， 且最大值等于 2； 当 6 6 ， 即 0 时 ， f( )取得最小值 ， 且最小值等于 1.
