1、指数函数与对数函数指数函数与对数函数的关系的关系问题问题1：指数函数指数函数y=ax与对数函数与对数函数y=loga x(a0,a1)有什么关系有什么关系?对应法则互逆对应法则互逆y=axx=loga yy=loga x指数换对数指数换对数交换交换x,y指数函数指数函数y=ax与对数函数与对数函数x=loga y(a0,a1)有什么关系有什么关系?函数函数 自 变 量自 变 量 因 变 量因 变 量 定 义 域定 义 域 值域值域y=axxyR(0,+)x=loga yyx(0,+)R称这两个函数互为称这两个函数互为反函数反函数对应法则互逆对应法则互逆指 数 函 数指 数 函 数 y = ax
2、是 对 数 函 数是 对 数 函 数x=loga y(a0,a1)的的反函数反函数指数函数指数函数y=ax(a0,a1)对数函数对数函数y=logax(a0,a1)反函数xy0 xy2 xy2log xy xy0 xy)21( xy21log xy xy0 xy2 xy2log xy10 xy10log xy xy0 xy)21( xy21log xy)101( xy101log xy 观察在同一坐标系内函数观察在同一坐标系内函数y=log2x与函数与函数y=2x的的图像图像,分析它们之间的关系分析它们之间的关系.函数函数y=log2x的图像与的图像与函数函数y=2x的图像关于的图像关于直 线
3、直 线 y = x 对 称对 称(1,0)(0,1)Oxyy=log2xy=2xy=xP(a,b)Q(a,b)函数函数y=f(x)的图像和的图像和它的反函数的图像它的反函数的图像关于直线关于直线y=x对称对称 1当一个函数是一一映射时，可以把这个当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数量，我们称这两个函数互为反函数互为反函数。 2对数函数对数函数y=loga x与指数函数与指数函数y=ax互为反互为反函数，函数，图象关于直线图象关
4、于直线y=x对称对称。 3 函数函数yf(x)的反函数通常用的反函数通常用yf1(x) 表表示。示。注意：注意：yf 1(x) 读作：读作：“f逆逆x”表示反函数，不是表示反函数，不是-1次幂（倒数）次幂（倒数）的意思的意思例例1 写出下列对数函数的反函数写出下列对数函数的反函数:(1)y =lgx; .log231xy 解解 (1)对数函数对数函数y=lgx,它的底数是它的底数是它的反函数是指数函数它的反函数是指数函数10y=10 x(2)对数函数对数函数,log31xy 它的底数是它的底数是31它的反函数是指数函数它的反函数是指数函数.31xy例例2 写出下列指数函数的反函数写出下列指数函
5、数的反函数:(1)y=5x .322xy解解(1)指数函数指数函数y=5x,它的底数是它的底数是5它的反函数是对数函数它的反函数是对数函数 y=log5x;(2)指数函数指数函数 ,它的底数是它的底数是 ,它的反函数是对数函数它的反函数是对数函数 xy32log32xy32练习练习1.说出下列各组函数之间的关系说出下列各组函数之间的关系:(1)y=10 x和和y=lgx；(2)y=2x和和y=log2x;(3)y=ex和和y=lnx.互为反函数互为反函数,定义域和值域互换定义域和值域互换,对应法则互逆对应法则互逆练习练习2.写出下列对数函数的反函数写出下列对数函数的反函数:(1)y=log2.
6、5x; (2)y=logx; 3log.13yx3.写出下列指数函数的反函数写出下列指数函数的反函数:(1)y=4x; (2)y=1.4x; .23xy(1)y=2.5x(2)y=x xy313(1)y=log4x(2)y=log1.4x xy2log3例例3求函数求函数32（RR）反函数，并在同）反函数，并在同一直角坐标系中作出函数及其反函数的图象。一直角坐标系中作出函数及其反函数的图象。解：由解：由32（RR ）得）得32所以所以21（R）的反函数是）的反函数是（RR ）32经过两点（经过两点（0，2），）， （2/3，0）32 经过两点（经过两点（2，0），）， （0 ，2/3 ）320
7、 xy3232想一想：函数想一想：函数32的图象和它的反函数的图象和它的反函数 32 的图象之间有什么关系？的图象之间有什么关系？求函数反函数的步骤求函数反函数的步骤:3 求原函数的值域求原函数的值域1 反解反解2 x与与y互换互换4 写出反函数及它的定义域写出反函数及它的定义域 bf(a)af1(b)点（b,a）在反函数yf1(x) 的图像上点（a,b）在函数yf(x)的图像上(1,0)(0,1)Oxyy=log2xy=2xy=xP(b,a)Q(a,b)结论结论: 例例44函数函数f(x)loga (x1)(a0且且a1)的反函数的图象的反函数的图象经过点经过点(1, 4)，求，求a的值的值
8、.解解:依题意依题意,得得) 14(log1a. 3, 13log:a即abf(a)af1(b)点（点（b,a）在反函数）在反函数yf1(x) 的图像上的图像上点（点（a,b）在函数）在函数yf(x)的图像上的图像上215124f xxxf 例 ：已知函数（ ）（）求出 （ ）的值。21 4525.xxxx 解：令 ，解之得：又，bf(a)af1(b)点（点（b,a）在反函数）在反函数yf1(x) 的图像上的图像上点（点（a,b）在函数）在函数yf(x)的图像上的图像上理论迁移理论迁移 例例4 4 已知函数已知函数 . .（1 1）求函数）求函数f(xf(x) )的定义域和值域；的定义域和值域；（2 2）求证函数）求证函数y=f(xy=f(x) )的图象关于直线的图象关于直线 y=xy=x对称对称. . 2( )log (12 )xf x 小结小结反函数的概念反函数的概念定义域和值域互换定义域和值域互换对应法则互逆对应法则互逆图像关于直线图像关于直线y=x对称对称指数函数指数函数y=ax(a0,a1)与与对数函数对数函数y=logax(a0,a1)互为反函数互为反函数作业作业课本第课本第106106页练习页练习 A A组组B B组组
