1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 3 讲 基本不等式 1 已知 f(x) x 1x 2(x 0)， 则 f(x)的最大值为 _ 解析：因为 x 0， 所以 f(x) ? ?（ x） 1（ x） 2 2 2 4， 当且仅当x 1 x， 即 x 1 时取等号 答案： 4 2 若 a， b R， 且 ab0， 则下列不等式中 ， 恒成立的是 _(填序号 ) a2 b22ab； a b2 ab； 1a 1b 2ab； ba ab 2. 解析：因为 a2 b2 2ab (a b)2 0， 所 以错误 对于 、 ， 当 a0， 所以 ba ab 2 ba ab 2. 答案： 3 已知函数 f(x) 4
2、x ax(x0， a0)在 x 3 时取得最小值 ， 则 a _ 解析： f(x) 4x ax 2 4x ax 4 a， 当且仅当 4x ax， 即 a 4x2时取等号 ， 则由题意知 a 43 2 36. 答案： 36 4 (2018 江苏省高考名校联考 (一 )已知实数 x， y 满足 xy 6 x 9y， 且 y(1 ， ) ， 则 (x 3)(y 1)的最小值为 _ 解析：由条件知 x 9y 6y 1 ， 则 (x 3)(y 1) （ 12y 9）（ y 1）y 1 12(y 1) 6y 127.又 y(1 ， ) ， 所以 y 1(0 ， ) ， 故 (x 3)(y 1) 12(y
3、1) 6y 1 2712 2 27， 当且仅当 y 1 22 时取等号 答案： 27 12 2 5 某车间分批生产某种产品 ， 每批产品的生产准备费用为 800 元 ， 若每批生 产 x 件 ，=【 ;精品教育资源文库 】 = 则平均仓储时间为 x8天 ， 且每件产品每天的仓储费用为 1 元为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小 ， 每批应 生产产品 _件 解析：若每批生产 x 件产品 ， 则每件产品的生产准备费用是 800x 元 ， 仓储费用是 x8元 ， 总的费用是 800x x8 2 800x x8 20， 当且仅当 800x x8， 即 x 80 时取等号 答案： 80 6
4、 (2018 浙江省七校模拟 )已知实数 x0， y0， lg 2x lg 8y lg 2， 则 1x 1y的最小值是 _ 解析：由已知 ， 得 lg(2x 8y) lg 2， 所以 2x 8y 2， 即 2x 23y 2， 即 x 3y 1， 所以 1x 1y ? ?1x 1y (x 3y) 4 3yx xy 4 2 3， 当且仅当 x 3y 时 ， 等号成立 答案： 4 2 3 7 不等式 x2 x0， y0， 且 2x 8y xy 0， 求 (1)xy 的最小值； (2)x y 的最小值 解： (1)由 2x 8y xy 0， 得 8x 2y 1， 又 x0， y0， 则 1 8x 2y
5、 2 8x 2y 8xy. 得 xy64 ， 当且仅当 x 16， y 4 时 ， 等号成立 所以 xy 的最小值为 64. (2)由 2x 8y xy 0， 得 8x 2y 1， 则 x y ? ?8x 2y (x y) =【 ;精品教育资源文库 】 = 10 2xy 8yx 10 2 2xy 8yx 18. 当且仅当 x 12 且 y 6 时等号成立 ， 所以 x y 的最 小值为 18. 12 某工厂去年某产品的年产量为 100 万只 ， 每只产品的销售价为 10 元 ， 固定成本为8 元今年 ， 工厂第一次投入 100 万元 (科技成本 )， 并计划以后每年比上一年多投入 100 万元
6、 (科技成本 )，预计产量年递增 10万只 ， 第 n次投入后 ， 每只产品的固定成本为 g(n) kn 1(k0， k 为常数 ， n Z 且 n0) ， 若产品销售价保持不变 ， 第 n 次投入后的年利润为 f(n)万元 (1)求 k 的值 ， 并求出 f(n)的表达式； (2)问从今年算起第几年年利润最高？最高年利润为多少万元？ 解： (1)因 为 g(n) kn 1， 由已知得 g(0) 8， 所以 k 8， 所以 f(n) (100 10n)? ?10 8n 1 100n(n Z 且 n 0) (2)f(n) (100 10n)? ?10 8n 1 100n 1 000 80? ?n
7、 10n 1 1 000 80? ?n 1 9n 1 1 000 802 9 520， 当且仅当 n 1 9n 1， 即 n 8 时取等号 ， 所以第 8 年工厂的年利润最高 ， 且最高为 520 万元 1 设 a0， b0， 且不等式 1a 1b ka b 0 恒成立 ， 则实数 k 的最小值为 _ 解析：由 1a 1b ka b 0得 k （ a b）2ab ， 而（ a b） 2ab baab 24( a b时取等号 )，所以 （ a b）2ab 4， 因此要使 k （ a b） 2ab 恒成立 ， 应有 k 4， 即实数 k 的最小值为 4. 答案： 4 =【 ;精品教育资源文库 】
8、= 2 设正实数 x， y， z 满足 x2 3xy 4y2 z 0， 则当 xyz 取得最大值时 ， 2x 1y 2z的最大值为 _ 解析：由已知得 z x2 3xy 4y2， (*) 则 xyz xyx2 3xy 4y2 1xy4yx 3 1， 当且仅当 x 2y 时取等号 ， 把 x 2y 代入 (*)式 ，得 z 2y2， 所以 2x 1y 2z 1y 1y 1y2 ? ?1y 12 11. 答案： 1 3 某公司租地建仓库 ， 每月土地占用费 y1与仓库到车站的距离成反比 ， 而每月库存货物的运费 y2 与仓库到车站的距离成正比 ， 如果在距车站 10 公里处建仓库 ， 这两项费用
9、y1和 y2分别为 2 万元和 8 万元 ， 那么要使这两项费用之和最小 ， 仓库应建在离车站 _公里处 解析：设 x 为仓库与车站的距离 ， 由已知 y1 20x ， y2 0.8x.费用之和 y y1 y2 0.8x 20x 2 0.8x 20x 8， 当且仅当 0.8x 20x ， 即 x 5 时 “ ” 成立 答案： 5 4 (2018 扬州调研 )设 OA (1， 2)， OB (a， 1)， OC ( b， 0)(a0， b0， O 为坐标原点 )， 若 A， B， C 三点共线 ， 则 2a 1b的最小值是 _ 解析：因为 AB OB OA (a 1， 1)， AC OC OA
10、( b 1， 2)， 若 A， B， C 三点共线 ， 则有 AB AC ， 所以 (a 1)2 1( b 1) 0， 所以 2a b 1， 又 a0， b0， 所以 2a 1b ? ?2a 1b (2a b) 5 2ba 2ab 5 2 2ba 2ab 9， 当且仅当?2ba 2ab ，2a b 1，即 a b 13时等号成立 =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案： 9 5 (2018 常州调研 )某学校为了支持生物课程基 地研究植物生长 ， 计划利用学校空地建造一间室内面积为 900 m2 的矩形温室 ， 在温室内划出三块全等的矩形区域 ， 分别种植三种植物 ， 相邻矩形区域之间间隔 1
11、 m， 三块矩形区域的前、后与内墙各保留 1 m 宽的通道 ，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留 3 m 宽的通道 ， 如图设矩形 温室的室内长为 x(m)， 三块种植植物的矩形区域的总面积为 S(m2) (1)求 S 关于 x 的函数关系式； (2)求 S 的最大值 解： (1)由题设 ， 得 S (x 8)? ?900x 2 2x 7 200x 916， x (8， 450) (2)因为 8x450， 所以 2x 7 200x 2 2x 7 200x 240， 当且仅当 x 60 时等号成立 从而 S676. 所以当矩形温室的室内长为 60 m 时 ， 三块种植植物的矩形区域的总面
12、积最大 ， 最大为676 m2. 6 (2018 江苏省高考名校联考 (三 ) 为更好地进行天象观测和天文学研究 ， 某研究所计划要建造一个天文台 ， 其整体轮廓如图所示 (长度单位：米 )， 其中下 部为圆柱体 ， 上部为半球体 (1)若天文台的高度为 15 米 ， 且 h 4r， 求天 文台的体积； (2)若天文台的体积为 7043 立方米 ， 假设墙的厚度忽略不计 ， 建造该天文台的费用仅和表面积有关已知圆柱体部分每平方米的建造费用为 3 万元 ， 半球体部分每平方米的建造费用为 152 万元 ， 设该天文台的总建造费用为 y 万元 求 y 关于 r 的函数表达式； 问：当 r 为何值时
13、 ， 天文台的总建造费用最少？ 解： (1)因为天文台的高度为 15 米 ， 且 h 4r， 所以 4r r 15， r 3， h 12， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以该 天文台的体积 V 12 43 r3 r2h 12 43 33 32 12 126 (立方米 ) (2) 因为天文台的体积为 7043 立方米 ， 所以 12 43 r3 r2h 7043 ， 解得 h 704 2r33r2 ， r 23 44， 所以 y 2 rh 3 2 r2 152 6 r 704 2r33r2 15 r2 1 408 11r3r (0 r23 44) 由 得 y 1 408 11r3r ?704r 704r 11r2 3 704r 704r 11 r2 16 3 11 11 11 176 ， 当且仅当 r 4 时等号成立 所以当 r 4 时 ， 天文台的总 建造费用最少 ， 且最少建造费用为 176 万元
