1、Accurate Multi-nomial Interest Rate Tree for Hull-White Term structural Model 研 究 生: 顏妤芳指導教授: 王克陸 博士 戴天時 博士利率結構型商品近年來蓬勃發展，任何商品推出之後的成敗，主要關鍵在於其價格的訂定是否合理，而評價方式是否夠精確更會影響評價出來的結果。 本論文將於評價方法做更精確的改良。將以Hull-White短利模型為基礎，建造一個更為精確的多元利率樹。 前言大 綱簡介Hull-White 利率模型造樹方法 - 樹狀結構法評價誤差 - Hull-White造三元樹方法 (存在樹狀圖兩種誤差:分配誤差
2、與非線性誤差) - Andricopoulos (2002)求面積法解決分配誤差 (存在非線性誤差) - 新的造樹方法解決非線性誤差 (目標: 使得兩種誤差極小化)評價bond option 以及Cap實證分析與敏感度分析 Hull-White 利率模型 即為使得利率過程符合期間結構的時間函數. Hull-White零息債劵在t的價格，以短期利率表示為 22a210,0,1,a2attftftet ( )a ( )dr ttr tdtdW t t ,exp,P t TA t TB t T r t1,a T teB t Ta22230,log,0,11.0,4a T tatPTA t TB t
3、TfteePta樹狀結構法評價誤差分配性誤差(distribution error) - 樹狀圖以離散型分配去近似連續型分配 非線性誤差(Non-linearity Error) - 履約價格附近的payoff ( )( ),dR ttaR tdtdW t、Hull-White造三元樹方法造三元樹方法 利率變動離散過程為: 期間結構時間函數先設為零，造出一個平行對稱樹 : 每期調整(t) 使得樹狀圖符合期間結構，即造出H-W樹 *( )( ),dR taRt dtdW t *RR(t)= R*(t)+ (t)*RR(1)(2)(3)(0)第二階段:校正三元樹結構每一期調整移動的值不相同，但同一
4、期是一樣的，利率結構沒有改變。假設市場資料零息利率 (如右表)， =1。 為i年到期 Zero rate求每期的平移項 Maturity (year)Zero Rate123AB CDEFGHI1Z2Z3ZiZ01 = tZteei01Zt校正三元樹結構1, ,expmjm kmkQQq k jk Rt ,11,lnln where expmmmmnj R tm jmjnmnmm jmjnQePtPQj Rt 111-(+ R)1-1-(- R)1: , B: e: , C: e: , D: eA:BRCDR點短利點的債券價格點短利點的債券價格點短利點的債券價格點上的期初價格為AB CDEFG
5、HIJohn Hull 整理的一般式 :11112-(+ R)-(- R)Z2123(e+Pe+Pe) e=eZP即可求得12 -R2 -2R2 +R01 +R1 -R122 +2RHull-White trinomial tree二、結合二、結合Hull-White模型與求面積模型與求面積法法減少分配性誤差將三元樹延伸為多元樹為了使得樹狀結構的 ，能符合商品頻率 特性，故固定 增加樹枝數目來減少誤差假設評價商品為cap，其頻率為每季，則希 望樹狀結構圖所表達的節點利率即為三個月 短利。tt 方法和H-W建造三元樹相同，皆由對稱樹平移，差別再於三元樹變為多元樹，且以求常態分配的面積來決定每個樹
6、枝上的機率求面積法 解決分配誤差應用求面積法建構多元樹 ，b為樹枝個樹 *2R N(-a(jR)t , t)*i,j,maxi,ji,jR=R+q =R+5 t*i,j,mini,ji,jR=R-q =R-5 t*i,ji,j,max+i,jR-Rn =R*i,ji,j,min-i,jR-Rn =R5tR=(1)/2b應用求面積法建構多元樹 利用Simpsons rule求算 12np ,p ,.,p+i,j+i,j(n +0.5)R*1(n -0.5)R+i,ji,ji,jpF(R )Rf(n +0.5)R)+4f(n R)+f(n -0.5)R)6+i,j+i,j(n -0.5)R*2(n
7、 -1.5)RpF(R )-i,j-i,j(n +0.5)R*n(n -0.5)RpF(R )求算節點求算節點(i,j)的分枝機率的分枝機率利用辛普森積分法求算節點利用辛普森積分法求算節點(i,j)的的1p,2pnp目標 : 減少分配誤差外，解決非線性誤差問題。與H-W造樹差異 : 每期節點高度不一定相同。方法: 以樹狀圖節點和邊界條件(或是所想要fit的點)重合，調整的參數為每期樹枝間高度，而每個樹枝上的機率由求面積法求得，如此即可解決非線性誤差問題。 三、新的造樹方法三、新的造樹方法 造樹方法三步驟造樹方法三步驟建構隨著期間結構路徑的多元利率樹建構隨著期間結構路徑的多元利率樹 求面積法建構
8、Hull-White多元樹的兩階段 造樹方法決定出每期平移項 。給定限制條件調整每期利率間隔高度給定限制條件調整每期利率間隔高度 使得樹狀結構圖的節點與限制條件重合 求每個節點樹枝上的機率求每個節點樹枝上的機率 以求面積法常態分配面積求機率。步驟一：步驟一：建構隨著期間結構路徑的多元樹建構隨著期間結構路徑的多元樹 由於之前的造樹方法中，先定好 再推得每期平移項 ，而新數值方法是在得知每期平移項 之後，再根據 和給定限制條件的間距來決定如何調整每期利率間隔高度 ，如此產生兩難問題。RR(1)(2)(3)(0)1, ,expmjm kmkQQq k jk Rt ,11,lnln where exp
9、mmmmnj R tm jmjnmnmm jmjnQePtPQj Rt 因為我們發現了，調整利率間隔高度並不會影響 ，只影響機率變動，如下表為H-W三元樹調整 對 的影響：Del t a R0. 017321 0. 016321 0. 015321 0. 014321 0. 013321 0. 012321Pu=Pd0. 166667 0. 187717 0. 213022 0. 243811 0. 281792 0. 329392pm0. 666667 0. 624567 0. 573957 0. 512378 0. 436416 0. 341216Al pha0. 052050. 0520
10、50. 052050. 052050. 052050. 052051R1表(3.1) 為H-W三元樹第一期調整 對 以及機率的影響，模型參數a=0.1， =0.01， =1，第一、二年到期零息利率分別為0.03824，0.04512。Rt以公式來探討利率間隔高度 對於每期平移項 的影響 兩邊同取ln11112-(+ R)-(- R)2 Z123(Pe+Pe+Pe) e=etttZtt 121-2 Z+- RR123e(Pe+P +Pe)=ett Zttt 2112 Z+- RR123ee=(Pe+P +Pe)t Ztttt 212 Z+1- RR123e=-ln(Pe+P +Pe)t Zttt
11、t - RR1211231=2Z+ln Pe+P +PettZt R(3.1)若(3.1)式以泰勒展開式 取代，得(3.2)式如下：機率為對稱即 ，且 代入(3.2)式得： (3.3)式子(3.3)以泰勒展開式 展開得 (3.4)若 變動0.001， 即變動0.000001，再乘以機率以及 ，很明顯地 值對於 的影響微乎其微。2211()2xexxo x 222222121123111=2Z+ln P (1R+R( R )+P +P (1R+R( R )22Zttottot 13PPln(1)( )xxo xR2Rt21P Rt11231PPP22212111=2Z+ln 1+PR+ ()Zt
12、oRt22212111=2Z+P R( R )Ztot以同樣方式推得第二期平移項同樣地，多元利率樹的間隔高度 變動對於 的影響幾乎為零，以下期數依此類推。若樹枝數目增加又使得 變更小，故調整每期利率間隔高度確實是可行的。 12222311,11=3Z+R( R )ZtQteotRR 給定一限制條件K，為了使得樹狀結構圖的節點與K重合，調整每期利率間隔高度見下圖說明。 步驟二：步驟二：調整每期利率間隔高度調整每期利率間隔高度222225,2Ktnwhere RandRKRn 上高斯t=0t=1t=2t=3t=4t=554321KRR10 以五元樹舉例：1R2R以求面積法常態分配面積求機率。步驟三
13、：步驟三：求每個節點樹枝上的機率求每個節點樹枝上的機率 評價Bond option考慮如圖商品，於兩年後執行一年期零息債券的Bond option，期間間隔為三個月一期，履約價格為0.96元。評價方法為 =0.25，K= 0.96，展開n=12的多元利率樹，由到期日n=12時的利率節點為1，折現至一年期n=8時，判斷債券價格減掉履約價格是否大於零，即n=8報酬為 ( 債券價格 - 履約價格 )+ 往前折現至期初即可算出期初理論價格。債券到期選擇權到期時間 0 1y 2y 3y一年t評價Bond option找出所對應的利率 = 0.032258建造一個fit 的利率樹KrKrn=8n=12KZ
14、CBKrn=12n=8評價Cap考慮一個利率上限為2.77%的三年期Cap，給付頻率為每季。評價方法： =0.25， =固定利率2.77%，展開n=12的多元利率樹，每季報酬為 ( 市場利率 - 利率上限) 由最後一期報酬往前一季折現再加上當季報酬，再往前一季折現等方式求出期初理論價格。 tKr實證分析與敏感度分析建構零息利率曲線利率調整項實證分析與敏感度分析校正Hull-White模型參數(a、)利用市場cap報價cap可視為一組上限買權caplets的投資組合 L ：本金 ：上限水準 ：介於 到 之間，在時間 觀察到的利率水準 (k=1,2,n) ：為在為 到 的遠期利率 caplet會於
15、時間 支付 的報酬，假設 服從指數常態分配，則可藉由Blacks模型得到上限買權於時間零的價值為 ，ktcapKkrktk+1tkkcapL max(r -k,0)kk+1k =t-tkk+1k1cap2L P(0,t)F N(d )-KN(d )2kcapkk1kklnF /K+ t /2d =t2kcapkk21kkkklnF /K- t /2d =d -ttk+1tkrkFkt1kt實證分析與敏感度分析cap可視為一組以零息債劵為標的的歐式賣權之投資組合實證分析與敏感度分析利用Hull-White模型評價零息債劵歐式選擇權賣權在時間零的價值為 pLP(0,T)N(-h+ )-LP(0,s
16、)N(-h)-2aT-a(s-T)ppp1-e =1-ea2a1LP(0,s)h=ln+P(0,T)K2實證分析與敏感度分析校正Hull-White模型參數(a、) 其中 為Blacks模型算出的市場cap價格， 為Hull-White模型算出的cap價格 最小SSE為4.7894e-007， 得(a ,) =(0.011072 , 0.0046369) 4n2kikia,a,k=1 i=1min SSE=min (U -V )kiUkiV 實證結果設面額為1元整，展開七元利率樹。bond option價格為0.01488元， (公式解為0.014895元) 有付息2%的bond option
17、價格為0.033668元。 Cap價格為0.0084489元 。實證分析與敏感度分析實證分析與敏感度分析( (一一) ) 波動度以及利率回歸速度波動度以及利率回歸速度a a對價格的影響一對價格的影響一實證分析與敏感度分析( (二二) ) 波動度以及利率回歸速度波動度以及利率回歸速度a a對價格的影響二對價格的影響二實證分析與敏感度分析( (三三) ) 樹狀結構樹枝數目對價格的影響樹狀結構樹枝數目對價格的影響 實證分析與敏感度分析( (四四) ) Coupon對對bond option價格的影響價格的影響 實證分析與敏感度分析(五五)利率上限變動對三個月利率上限變動對三個月Cap價格的影響價格的影響本文結合Hull-White模型和求面積法，創造一個新的數值方法，除了以求面積法減少使用三元樹近似常態分配時所發生的分配誤差外，新的造樹方法減少了非線性誤差。本論文模型，僅能處理單一利率標的商品，至於涉及兩個以上利率連結商品如CMS等在執行上有難處。建議可增加限制條件，給定上下界線兩個限制條件來調整利率間隔高度，或使用不同的利率模型來處理。結論與建議 Thanks for your listening !
