1、第第7 7讲讲 权与定权的常用方法权与定权的常用方法主讲人：李海峰主讲人：李海峰v 提纲：v 一、权的概念v 二、测量中定权的常用方法v 三、协因数与协因数阵v 四、协因数及权倒数传播定律v 在一组不等精度的观测中，由于观测值的精度不同，观测值的可靠性也不一样，观测精度高的可靠程度大，观测精度低的可靠程度小。这样我们在进行数据处理的时候就不能等同对待，即为了区别观测值精度的高低，确定各自所占的比重，就必须引入权的概念。下面我先看一个例子。v 设对一个已知角A（无误差，A=302536）进行两次不等精度观测，其观测值A1=302534， A2=302542，它们的中误差分别为2.0和4.0。求该
2、角的最或是值及其中误差。v(1)将上述两个不等精度观测值的可靠程度等同看待，用算术平均值作为最可靠值并评定精度，则有:v v(2)按照A1: A2=4:1的比例进行数据处理,则有：222221541413825302422530342530221 AAAAAA222221541413825302422530342530221 AAAAAA42 . 2 A6 .3525305421AAA22222 . 3251251621AAA97 . 1 Av (3)按照A1:A2=10:1的比例进行数据处理,则有：v 对比三种数据处理方法可知，第二种求得的最或是值最理想，精度最高。由此说明，如果观测值的观测
3、精度不同，在做数据处理时，不能将观测值等同看待，而是精度高的所占比例较大，精度低的所占比例较小，并且二者的比例也必须适当。22224 . 3121112110021AAA7 .342530111021AAA58 . 1 Av 衡量不同精度观测值在进行数据处理时所占的分量的轻重测量上称为权,定义式 Pi代表第i个观测值的权 v 为比例常数可以任意选取，但比例不变。v 上例中4:1的比例就是按照权之比确定的。v 就定义式而言，当Pi=1时， 也就是说 是权为1的观测值的中误差，在测量中权为1的观测值称为单位权观测值，其中误差就是单位权中误差， 的真正含义就是单位权中误差。尽管 是任选的，但一经选定
4、就有其具体含义。即它是其它观测值用来对比的精度标准。精度高于它的，权大于1，反之则小于1，而精度与之相等的，则权必为1。在同一个问题中只能选取一个。220iiP0i0000C是1测站的观测高差的权；C是单位权观测高差的测站数；站站ihni站C0ihnCPi2201是1C高差的公里数；kmkmihSikmC0ihSCPi2201v 说明：即使取不同的C值，但权之间的比例保持不变。),.,3 , 2 , 1(2niSCPiiv 3、同精度观测值算术平均值的权v 设同精度独立观测值L1,L2, ,Ln,它们分别是N1,N2, ,Nn次观测值的平均值。设每次观测中误差是 ，则Li的中误差为 令 ,则由
5、权的定义可得 iiNc0cNPiiv 1、协因数v 由权的定义可知权与观测值的方差成反比，设有观测值Li和Lj，它们的方差分别为 令v 称Qii、Qjj为观测值Li和Lj的协因数或权倒数； Qij为观测值Li和Lj的互协因数。v 不难理解， 有类似的作用，也可作为比较观测值精度高低的一种指标。协因数与方差成正比；互协因数有正负之分，绝对值越大相关性越大。ij22协方差为、ji2020220211ijijjjjjiiiiQPQPQ、jjjiiPPQQ、与、iv 2、协因数阵v 当有一组观测值L1,L2,Ln构成观测向量 ,每个观测值均有自己的协因数，任意两个观测值之间存在互协因数，于是我们定义协
6、因数阵(QLL)如下1nLnnLLQQQQ0000002211nnnnnnLLQQQQQQQQQQ212222111211观测值相互独立 v 3、权阵v 协因数可以表示观测向量的相对精度，但平差过程中经常用其逆矩阵参与运算，定义协因数的逆矩阵为权阵，表示如下v 对单个观测值而言，权和协因数互为倒数，对观测向量而言互为逆矩阵，注意权阵主对角线上的元素并不一定是对应观测值的权，这要分两种情况：若观测值相互独立则主对角线的各个元素代表观测值的权，若不独立需通过协因数阵来求权。 nnnnnnnnnnnnPPPPPPPPPQQQQQQQQQQP21222211121112122221112111v 【例
7、7-2】v 已知观测向量L的权阵为 ,试求观测向量L的协因数阵及观测值L1、L2的权。 v 解：因为观测向量L的协因数阵为权阵的逆矩阵，所以L的协因数阵为v v 所以L1、L2的协因数为Q11=Q22=1/3v L1、L2的权为P1=P2=34004P31616131422411PQ4224P思考思考P P=?=?v1、协因数传播定律v由于任意观测向量的协方差总是等于单位权方差因子乘以该向量的协因数阵，因此可以方便的由协方差传播定律推导出协因数传播定律即KXZ 函数向量TXXZZKKDD2020TXXZZKKDDTXXZZKKQQv2、权倒数传播定律v设有一观测值的函数 ,各观测值误差相互独立对其求全微分得： =v应用协因数传播律： v上式即为权倒数传播定律，注意： 权倒数传播定律成立的条件，观测值之间相互独立是必要前提。).,(21nXXXfZ，nndXXfdXXfdZ0101)(.)(11nnZdKnnZTXXZZpkpkpkPKKQQ1.1112222121v【例7-3】v 已知独立观测值Li的权为Pi(i=1,2,n),求加权平均值v 的权Px。v解：v 由权倒数传播定律得 PQPXXX1 PPLX nnLPPLPPLPPPPLX2211 PPPPPPPPPPPPPPPQnnnXXX111112212222221221v谢 谢！
