1、 如果在静止的空气里，点燃一个火炬，并且燃料源源不断地供给，可以发现周围的气体会做强烈的湍流流动，同时这些气流的湍流流动会促使火焰愈烧愈旺。上述过程涉及流动、传热、传质和化学反应。提出问题：湍流对那些过程有影响？哪些因素又反过来影响湍流？一个例子一、湍流及其数学描述一、湍流及其数学描述1、湍流流动的特征 流体实验表明，当Reynolds数小于某一临界值时，流动是平滑的，相邻的流体层彼此有序地流动，这种流动称为层流（laminar flow）。当 Reynolds数大于临界值时，会出现一系列复杂的变化，最终导致流动特征的本质变化，流动呈无序的混乱状态。这时，即使是边界条件保持不变，流动也是不稳定
2、的，速度、压力、温度等流动特性都随机变化，这种状态称为湍流（turbulent flow）.湍流流动的两个例子湍流流动的两个例子Larger Structures Smaller Structuresn观测表明，湍流带有旋转流动结构，这就是湍流涡（turbulent eddies），简称涡（eddy）。n从物理结构上看，可以把湍流看成是由各种不同尺寸的涡叠合而成的流动，这些涡的大小和旋转轴的方向分布是随机的。n大尺度的涡主要是由流动的边界条件所决定，其尺寸可以与流场的大小相比拟，它主要受惯性影响而存在，是引起低频脉动的原因；n小尺度的涡主要是由粘性力所决定的，其尺寸可能只是流场尺度的千分之一量
3、级，是引起高频脉动的原因。湍流涡的特点湍流涡的特点涡的生成与耗散涡的生成与耗散n大尺寸的涡不断地从主流中获得能量，通过涡间相互作用，能量逐渐向小尺寸的涡传递。n最后由于流体粘性的作用，小尺度的涡就不断消失，机械能就耗散为流体的热能。n同时由于边界的作用，扰动及速度梯度的作用，新的涡又不断产生，构成了湍流运动。n对某些简单的均匀时均流场，如果湍流脉动是均匀的、各向同性的，可以用经典的统计理论进行分析。n但实际上，湍流是不均匀的。湍流是流体力学中的难题湍流是流体力学中的难题湍流的作用湍流的作用n由于湍流的存在，速度脉动量在流线方向的分量和垂直于流线方向的分量之间建立了关联量，它代表着一种横向交换通
4、量，也可以认为是由于湍流流动引起的一种附加剪切应力影响动量的输运过程。n湍流的存在使传热和传质通量提高。n由于湍流会促进这些基本过程，因此对某些物理现象就会产生强烈的影响，如，脉动过程的消衰、均相化学反应率的增加以及液滴蒸发的强化。n某些因素会影响湍流的形成。如，当湍流定性尺度和脉动强度非常小时，流体的粘度会直接影响当地的湍流度。n当马赫（Mach）数达到5以上时，密度的脉动量与当地的湍流有密切的关系。n强烈的化学反应、气流的旋转流动、颗粒的存在以及浮力或电磁场的作用，都会影响当地的湍流结构。外界因素对湍流的影响外界因素对湍流的影响2、湍流的基本方程、湍流的基本方程无论湍流运动多么复杂，非稳态
5、的连续方程和N-S方程对于湍流的瞬时运动仍然是适用的。在此，考虑不可压流动，使用笛卡尔坐标系，速度矢量在x、y和z方向的分量分别为u、v和w，写出湍流瞬时控制方程如下：0div u1div( u)div(grad )upuvutx 1div( u)div(grad )vpvvvty 1div( u)div(grad )wpwvwtz (1)(2a)(2b)(2c)定义时均量定义时均量为了考察脉动的影响，目前广泛采用的是时间平均法，即把湍流运动看做由两个流动叠加而成，一是时间平均流动，二是瞬时脉动流动。这样，将脉动分离出来，便于处理和进一步探讨。现在，引入Reynolds平均法，任一变量的时间平
6、均定义为：ttttttd)(1(3)这里，上标“”代表对时间的平均值。如果用上标“、”代表脉动值，物理量的瞬时值、时均值 及脉动值之间的关系如下：时均量与脉动量的关系时均量与脉动量的关系(4)现在用平均值和脉动值之和代替流动变量，即：; ; ; ; pppwwwvvvuuuuuu(5)将（5）代入瞬时状态下的连续性方程（1）和动量方程（2），并对时间取平均，得到湍流时均流动的控制方程如下：湍流时均流动的控制方程湍流时均流动的控制方程0div uzwuyvuxuuvxputu)grad(div1)u(div2zwvyvxvuvvypvtv)grad(div1)u(div2zwywvxwuwvzp
7、wtw2)grad(div1)u(div(6)(7a)(7b)(7c)时均输运方程的统一形式时均输运方程的统一形式Szwyvxut)grad(div)u(div(8)n以上是假设流体密度为常数；n但是在实际流动中，密度可能是变化的。nBradshaw等指出，细微的密度变动并不对流动造成明显的影响n在此，忽略密度脉动的影响，但考虑平均密度的变化，写出可压湍流平均流动的控制方程如下n注意，为方便起见，除脉动值的时均值外，下式中去掉了表示时均值的上划线符号“”，如 用表示密度脉动的影响密度脉动的影响时均形式的连续方程0)u(divt时均形式的N-S方程，又称 Reynolds时均N-S方程（简称RA
8、NS）wvuSzwywvxwuzpwwtwSzwvyvxvuypvvtvSzwuyvuxuxpuutu)()grad(div)u(div) ()grad(div)u(div) ()grad(div)u(div222（9）（10）湍流输运方程组湍流输运方程组标量的时均输运方程Szwyvxutgraddiv)u(div)(（11）湍流输运方程组湍流输运方程组张量形式的时均输运方程张量形式的时均输运方程SuxxxutSuuxuxxpuuxutuxtjjjjjijijijijiiiii0（12）（13）（14）二、湍流的数值模拟方法简介二、湍流的数值模拟方法简介1、三维湍流数值模拟方法的分类n湍流数值
9、模拟方法可以分为直接数值模拟方法和非直接数值模拟方法。n所谓直接数值模拟方法是指求解瞬时湍流控制方程。n非直接数值模拟方法就是不直接计算湍流的脉动特性，而是设法对湍流做某种程度的近似和简化处理，例如前面提到的时均性质的 Reynolds方法就是其中的一种典型方法。n根据依赖所采用的近似和简化方法不同，非直接数值模拟方法分为大涡模拟、统计平均法和Reynolds平均法。2、直接数值模拟（、直接数值模拟（DNS）简介）简介n直接数值模拟方法就是直接用瞬时的N-S方程对湍流进行计算，其最大的好处是无需对湍流流动做任何简化或近似，理论上能得到相对准确的计算结果。n但是，DNS要求网格划分的非常细，对计
10、算机内存空间及计算速度要求非常高，目前还无法用于真正意义上的工程计算。3、大涡模拟（、大涡模拟（LES）简介）简介由于就目前的计算能力而言，能够采用的计算网格的最小尺度仍然比最小涡的尺度要大许多。因此，目前只能放弃对全尺度范围上涡运动的模拟，而只将比网格尺度大的湍流运动通过N-S方程直接计算出来，对于小尺度涡对大尺度运动的影响则通过建立模型来模拟，从而形成了大涡模拟法（LES）。LES方法的基本思想方法的基本思想用瞬时的N-S方程直接模拟湍流中的大尺度涡，不直接模拟小尺度的涡，而小涡对大涡的影响通过近似的模型来考虑。LES方法对计算机内存及CPU速度要求仍然很高，但是低于DNS法。4、Reyn
11、olds平均法（平均法（RANS）简介）简介n虽然瞬时N-S方程可以描述湍流，但是N-S方程的非线性使得用解析方法精确描写三维时间相关的全部细节极端困难。从工程应用的观点来看，重要的是湍流所引起的平均流场的变化，是整体效果。nReynolds平均法的核心不是直接求解瞬时的N-S方程，而是想办法求解时均化的Reynolds方程，这样不仅可以避免DNS方法计算量大的问题，而且能够满足工程实践应用要求。 nReynolds平均法是目前使用最广的湍流数值模拟方法。Reynolds时均法分类时均法分类根据Reynolds应力作出的假定或处理的方式不同，目前常用的湍流模型有两类： Reynolds应力模型
12、和涡粘模型。1）Reynolds应力模型Reynolds应力模型包括Reynolds应力方程模型 代数应力方程模型2）涡粘模型在涡粘模型中，不直接处理Reynolds应力项，而是引入湍流粘度（turbulent viscosity），或称湍流系数（eddy viscosity），然后把湍流应力表示成湍流粘度的函数，这个计算的关键在于确定这种湍流粘度。Reynolds时均法分类时均法分类鲍瑟内斯克鲍瑟内斯克(Boussinesq)模型模型n最早的湍流数学模型，一百多年前提出的n针对二维边界层问题n把因湍流引起的、由脉动速度相关联的剪切应力，模仿层流中以时间平均速度的梯度来表达，即建立了tttuu
13、u vvyy ijiitijjitjixukxuxuuu32（15） 这里， 为湍流粘度， 为时均速度， 是“Kronecker delta”符号（ ），k为湍流动能（turbulent kinetic energy）：tiuij0; 1ijijjiji时，当时，当22221uvuk（16）Reynolds应力与平均速度梯度的关系应力与平均速度梯度的关系Boussinesq形式形式n在各向同性的前提下模仿层流输运，引入标量的各向同性湍流粘性（涡粘性）系数概念2()3jijiTijijssTjsTjyjTjpTjTjxxYYgYDxxTTqc Txx n湍流动力粘度t和湍流运动粘度t与层流中的和
14、不同，后者是物性参数，由物质的分子决定的，而前者由流动特性所决定，依赖于流场中各点的湍流状态nBoussinesq并没有直接建立起求解t和t的公式，但从式（15）中可以看出，t或t正比于速度的一种值湍流粘度的特点湍流粘度的特点ijiitijjitjixukxuxuuu32（15）Reynolds时均方程组通用形式时均方程组通用形式n通用变量对各方程分别为1，vi，Ys，cpT等，e/为输运系数，为湍流Prandtl数或Schimidt数，et ( +t)为有效粘性系数，t或t称为湍流粘性或涡流粘性系数，S为各方程源项。n在各向同性假定的前提下，按照Boussinesq形式，湍流模型或湍流封闭的
15、任务可归结为寻求t或t的表达式或者其输运方程()()()jjjjStxxx nBoussinesq建立起式（15）后，关键问题变成如何求得t值，引导出各种求t的数学模型。n这些模型分为两大类：n早期提出的代数方程模型只能解释某些简单的流动模型普朗特于1925年提出的混合长度模型和冯卡门于1930年提出的相似律假设模型n微分方程模型数学模型数学模型零方程模型 一方程模型两方程模型 所谓的涡粘模型，就是把t 与湍流时均参数联系起来的关系式。依据确定t的微分方程的数量的多少，涡粘模型包括： 目前两方程模型在工程中使用最为广泛，最基本的两方程模型就是标准k-模型，即分别引入关于湍流动能k和湍流耗散率的
16、方程。此外，还有各种改进的k-模型，其中比较著名的是RNG k-模型和Realizable k-模型。零方程模型零方程模型所谓零方程模型就是不使用微分方程，而是用代数关系式，把湍流粘度与时均值联系起来的模型，它只用湍流的时均连续方程和Reynolds方程组成方程组，把方程组中的Reynolds应力用平均速度场的局部速度梯度来表示。 ijijijijiiiiiSuuxuxxpuuxutuxt0（12）（13）混合长度模型的出发点混合长度模型的出发点 零方程中最著名的是Prandtl提出的混合长度模型（mixing length model）。 该模型由两个类比的简单物理设想出发的。2 1/21;
17、()3Tmmcull混合长度1)层流粘性与湍流粘性的类比2)时均运动与脉动的量纲对比21 / 221 / 2)/)(mmuulyuuly脉 动 速 度脉 动 尺 度时 均 速 度时 均 尺 度（边 界 层 问 题 ）混合长度模型的出发点混合长度模型的出发点由以上两个类比，混合长度模型的湍流封闭代数表达式（边界层问题中）22Tmmuuulu vlyyy 直接用平均量梯度代数表达式来模拟Reynolds时均方程组中未知的应力或热流、物质流关联项。lm由实验或直观判断加以确定。混合长度模型的特点混合长度模型的特点T120.40.08540()lcmcmTlwccyylkykyylkkyyuuy粘性次
18、层厚度湍流边界层厚度取决于为垂直于壁面的距离例子：对边界层流动例子：对边界层流动对自由射流有：平面淹没射流圆淹没射流其中x为沿流动方向，b为射流宽度。lm与横向距离y或r无关对充分发展管流有其中R为管半径，y为距管壁距离0.090.018mlbx0.0750.015mlbx240.140.08(1)0.16(1)mlyyRRR例子：自由射流、充分发展管流例子：自由射流、充分发展管流Von Karman给出公式220.4muulyy对浮力流动，如为稳定分层（Ri0），则有 其中011Rimmll 2Ri()gyuy Ri 称为梯度Richardson数，为浮力梯度与速度梯度之比，lm0为无浮力时
19、混合长度。17例子：浮力流例子：浮力流对不稳定分层（Ri 0），则有 其中2=14浮力或Ri越大则lm越小或湍流粘性越小，即浮力消弱湍流湍流Prandtl数T或Schmidt数Y，由经验来确定1420(1)mmlRil0.50.70.85TYTYTY平面自由射流圆自由射流近壁边界层例子：浮力流例子：浮力流在浮力流中，浮力对T的影响可表达为1.50.50(13.33Ri)(1 10Ri)TT其中T0为无浮力时的湍流Prandtl数上式意味着浮力越大（Ri越大）则T越大或T及DT越小浮力的增大使湍流导热或湍流扩散减弱的程度比使湍流粘性减弱的程度更厉害例子：浮力流例子：浮力流优点：直观、简单，无须附
20、加湍流特性的微分方程适用于简单流动，如射流、边界层、管流、喷管流动等。另外，研究历史较长，积累了很多经验。缺点1：在 处必然是湍流粘性T为零，或剪力、热流、扩散流均为零与实际不符0uy通道内中心线处T按该理论为零栅网后方均匀流场中的T按该理论为零实际上，均不为零混合长度模型的优缺点混合长度模型的优缺点混合长度模型相当于湍流能量达到局部平衡，即湍流的产生等于湍流的耗散，亦即认为湍流的对流（上游影响）和扩散（断面上的混合）均为零。缺点2：只有简单流动中才能给出lm的表达式。对复杂流动如拐弯或台阶后方有回流的流动，就很难给出lm的规律。混合长度模型的优缺点混合长度模型的优缺点湍流动能方程模型（单方程
21、模型）湍流动能方程模型（单方程模型）n为了使Reynolds方程组封闭，对其中的关联项 等表征湍流特性的量继续写输运方程，其中的第一个就是Reynolds应力输运方程n周培源先生在四十年代提出的n推导应力输运方程的出发点是瞬态的N-S方程和时均Reynolds方程ijv v 推导方法推导方法1n写出瞬时速度分量vi及vj的NS方程n将vj乘以vi的NS方程与vi 乘以vj的NS方程相加，得到vi vj的方程n对上述方程进行Reynolds展开，取时平均，得到 的方程n将时均速度 乘以 的Reynolds方程与 乘以 的Reynolds方程相加，得到 的方程n上述两者相减，便得到 的方程ijv
22、vjvivivjvijvvijv v 推导方法推导方法2n将瞬时速度vi的NS方程与时平均速度 的Reynolds方程相减，得到 的方程n用类似办法得到 方程n将vj乘以vi的方程与vi 乘以vj的方程相加，再取时平均，便得到 的方程ivivjvijv v N-S方程方程右端浮力项按Boussinesq近似应为gi，此处用体膨胀系数 ()()ikikiikikpgTtxxx 1Tnik为粘性应力张量，由广义牛顿定律给出n瞬时速度分量vj的N-S方程2()3iklikikkilxxx()()ikjkjjkjkpgTtxxx vivj的输运方程的输运方程n将vj乘以vi的NS方程与vi 乘以vj的
23、NS方程相加，得到vi vj的方程()()()()()ijkijjikijjkikjiijjikkpptxxxTggxx 对上式进行Reynolds展开，即代入 取时平均，并考虑iiijjjppp0 ijijij kijkijjkikjikikijj ()()jjikjikikkkkxxx ()()iijkijkjkkkkxxx ()()()jiijjiijijjiTggTgggTgT ()()()jijijiijijijppppppxxxxxx ()()()()jijijiijijijppppppxxxxxx jkjkjkikikikijijijkkkkkkxxxxxx222222()()2
24、jkjikiijijkkkkkkjiijkkjiijkkkxxxxxxxxxxx 时均速度 乘以 的Reynolds方程加 乘以 的Reynolds方程，得到 的输运方程由 的输运方程减去 的输运方程，可得 到Reynolds应力 输运方程的精确形式注意：其中这些项可以被消去jvivivjvijv vijv vijv vijv v ()(),(),(),(),(),ijkijjikkijkjiijjkikjijiijkkv vv v vvv vtxtvv vT v gv gtppvvvvxxxx ，左端第一、第二项分别为随时间变化率及平均运动的对流，右端依次为湍流及分子扩散项、剪力产生项、浮力
25、产生项、粘性耗散项及压力应变项()()()()()()()2 ()()ijkijkijkjikiikijkkjiijijjikkjjiikkjitxppxxgTgTxxpxxxx Reynolds应力诸分量中三个法向应力分量之和的一半称为湍流动能，即由上述Reynolds应力输运方程的一般形式，当取i=j，并忽略其中压力应变项，可得到湍流动能k的守恒方程的精确形式：222211222ijiuvwk 22()()()2()kikkkkkiiiiikkkkkkptxxxgTxx 上式中左端两项分别为湍流动能随时间变化率及平均运动造成的湍流动能对流； 右端第一项为各方向脉动，压强脉动及分子运动造成的
26、湍流动能的输运，即湍流动能的湍流扩散再加上其分子扩散； 右端第二项为湍流应力与平均速度梯度作用造成的湍流产生，即平均动能和湍能间的转化； 右端第三项为浮力造成的湍能产生（或销毁），即湍能与重力位能间的转化，或自然对流对湍流的影响； 右端最后一项为湍能的粘性耗散n湍流脉动是一种能量，是总体动能（时均动能加脉动动能）的一部分n服从一般输运定理或守恒定理有对流、扩散、产生及耗散n有学者提出由求解湍流特性（包括湍能）的微分方程来确定湍流粘性，规定112212TTTk lc k lck l或者n所谓湍能方程模型或单方程模型封闭法，就是首先用模拟法封闭k方程，然后再由代数式给定l，从而使Reynolds时
27、均方程组封闭nk方程右端的二阶及三阶关联项未知精确形式的k方程不封闭n需用模拟假设使三阶关联项降阶，并使二阶关联项表达为平均量的函数 基本思路受分子输运及混合长度模型的启发，用梯度模拟 取应力正比于速度梯度，质量流正比于浓度梯度，热流正比于温度梯度 扩散项 剪力产生项 浮力产生项2()2ieTkkkkkkkkkpxxx()ikiiikTkikkxxxx TiikTkTgTgx 对耗散项由量纲分析，取而因此有耗散项：22()iTkkxl312222Tkkkk llll32kl322()iDDkkcclx 模拟后的模拟后的k方程方程其中已经广为应用的k方程，l仍需由经验式给定32()()()kkb
28、DkkkkkkkkGGcxxxl12()TTikikTkikTbkTkck lGxxxTGgx 边界层中湍能方程及其简化边界层中湍能方程及其简化无浮力的平面二维边界层流动，k方程可化为如果忽略非定常项、对流及扩散，取局部平衡关系，即令产生项等于耗散项，则有322()()()()()eDkkukukkckltxyyyy322()TDuckly由定义可知则可以写或由此得到 或上两个式子就是混合长度模型的表达式混合长度模型是单方程模型的极端情况，或其简化形式（忽视对流与扩散）12()TTuck ly及312222222()DTDckuck lc ckyl111222()Ducckck ly31222
29、TDuccly111222Dukc c ly对单方程模型的评价对单方程模型的评价n单方程模型克服了混合长度模型的不足，考虑了湍能经历效应（对流）及混合效应（扩散）n但是要用单方程模型封闭，必须预先给定l的代数表达式单方程模型单方程模型在零方程模型中，湍流粘度 和混合长度lm都把Reynolds应力和当地平均速度梯度相联系，是一种局部平衡的概念，忽略了对流和扩散的影响。为了弥补混合长度假定的局限性，在使用湍流时均连续方程（12）和Reynolds方程（13）的基础上，再建立一个湍流动能k的输运方程，而 表示成k的函数，从而可使方程封闭。这里，湍流动能k的输运方程可写为：ttlkCxuxuxuxk
30、xxkutkDjiijjitjktiii23（17）方程中各项依次为瞬态项、对流项、扩散项、产生项、耗散项。由Kolmogorov-Prandtl表达式，有：l kCt（18）其中，k，CD， C为经验常数，多数文献建议：k=1， C=0.09。而 CD 的取值在不同的文献中结果不同，从0.08到0.38不等。但这个问题在后面要介绍的双方程模型中不存在。l为湍流脉动的长度比尺，依据经验公式或实验确定。 式（17）、（18）构成单方程模型，单方程模型考虑到湍流的对流输运和扩散输运，因此比零方程模型更加合理。但是，一方程模型中如何确定长度比尺l仍为不易解决的问题，因此很难得到推广应用。单方程模型中
31、的湍流粘度单方程模型中的湍流粘度标准标准k- 两方程模型两方程模型标准k-模型是在上面介绍的单方程模型的基础上，新引入一个关于湍流耗散率的方程后形成的。该模型是目前使用最广泛的湍流模型。k 双方程模型双方程模型n湍流由各种不同尺寸的涡团所构成n大涡团是脉动能量的主要携带者含能涡团n小涡团为耗散涡团n湍流涡团尺度是可以输运的量n各种涡团的输运及其间相互作用，涡团尺度在流场中也有对流、扩散、产生（小涡团的耗散生产大涡团）及耗散（大涡团拉伸成小涡团） 湍流尺度l的输运方程 推广言之，对湍流粘性T=c k1/2l Spalding和Launder曾总结出一个广义的第二参量z=kmln，一般形式的z方程
32、：()()()eklkklklllStxxx()()()eTTkTkkkStxxx ()()()ekzkkzkzzzStxxx不同学者推荐的不同的不同学者推荐的不同的z符号z=kmln提出者双方程fk1/2/l俄国学者k-fk3/2/l周培源Harlow-Nukayamak-llRodi,Spaldingk-lklklNg, Spaldingk-klwk/l2Spaldingk-w其中k-双方程模型的应用及经受的检验最为普遍标准标准k- 模型的定义模型的定义在关于湍动能k的方程的基础上，再引入一个关于湍动耗散率的方程，便形成了k-两方程模型，称为标准k-模型（standard k- model
33、）。在模型中，表示湍动耗散率（turbulent dissipation rate）的被定义为：kikixuxu（19）湍动粘度 可表示成k和的函数，即：t2kCt其中，C为经验常数。原始的原始的 方程方程 与推导k方程类似 设湍流各向同性，忽略某些各向异性部分，得到输运方程的原始形式，或有条件地称为的精确方程 左端第一，第二项分别为时间变化率及对流，右端第一、第二、第三、第四项分别为湍流扩散、分子扩散、产生项（涡旋拉伸）及粘性耗散项2(N-S2(Reynoldskkkkkkxxxx方程）方程）22()()()()22()kkkkkkjikikijkjtxxxxxxxxx 封闭后的封闭后的 方
34、程方程n对扩散项采用梯度模拟n由一般概念出发，设的产生和耗散正比于k的产生和耗散n由量纲分析n方程的源项可模拟为n方程Tkkx kkSSGkSSk12()kScGck12()()()()kkkkkcGctxxxk 在标准k-模型中， k和是两个基本未知量，与之相对应的输运方程为：kMbkjktjiiSYGGxkxxkutk（20）SkCGCGkCxxxutbkjtjii2231)(（21）其中，Gk是由于平均速度梯度引起的湍动能k的产生项，Gb是由于浮力引起的湍动能k的产生项，YM代表可压湍流中脉动扩张的贡献，C1、C2和C3为经验常数，k和分别是与湍动能k和耗散率对应的Prandtl数，Sk
35、和S是用户定义的源项。标准标准k- 模型模型Gk是由于平均速度梯度引起的湍动能k的产生项，由下式计算：jiijjitkxuxuxuG（22）Gb是由于浮力引起的湍动能k的产生项，对于不可压流体， Gb=0。对于可压流体，有：ittibxTgGPr（23）标准标准k- 模型中的有关公式模型中的有关公式Prt是湍动Prandtl数，在该模型中可取Prt=0.85，gi是重力加速度在第i方向的分量，是热膨胀系数，可由可压流体的状态方程求出，其定义为：T1（24）YM代表可压湍流中脉动扩张的贡献，对于不可压流体，YM=0。对于可压流体，有：22tMMY（25）其中，Mt是湍流Mach数，RTaaakM
36、t是声速，;/2标准标准k- 模型中的有关公式模型中的有关公式 在标准的k-模型中，根据Launder等的推荐值及后来的实验验证，模型常数 的取值为：、kCCC213 . 10 . 109. 092. 144. 121，kCCC（26） 对于可压缩流体的流动计算中与浮力相关的系数C3，当主流方向与重力方向平行时，有C3=1，当主流方向与重力方向垂直时，有C3=0。标准标准k- 模型中的系数模型中的系数根据以上分析，当流体为不可压，且不考虑用户自定义源项时，0000SSYGkMbkjktjiiGxkxxkutkkGGkCxxxutkjtjii221（27）（28）这时，标准k-模型变为：采用标准
37、k-模型求解流动及换热问题时，控制方程包括连续性方程、动量方程、能量方程、k方程、方程与式（20）。若不考虑热交换的单纯流场计算问题，则不需要包含能量方程。如考虑传质或者有化学变化的情况，则应再加入组分方程。这些方程都可以表示为下面通用形式：Szzyyxxzyvxut（29）若用散度符号，上式记为：Stgraddivudiv（30）标准标准k- 模型的控制方程组模型的控制方程组方程扩散系数源项S连续100 x-动量uy-动量vz-动量w湍动能k耗散率能量TS按实际问题而定teffteffteffkttTtPrueffeffeffSxwzxvyxuxxp)()()(veffeffeffSywzy
38、vyyuxyp)()()(weffeffeffSzwzzvyzuxzp)()()(kG)(21CGCkk标准标准k- 模型的控制方程组模型的控制方程组在将各变量的控制方程都写成式（30）所示的统一形式后，控制方程的离散化及求解方法可以得到统一，不同变量的区别仅在于扩散系数、广义源项及初值、边界条件这三方面。标准标准k- 模型的解法模型的解法1）模型中的有关系数，主要根据一些特殊条件下的试验结果而确定的，在不同的文献讨论不同的问题时，这些值可能有出入。在数值计算的过程中，针对特定的问题，参考相关文献，寻求更合理的取值。标准标准k- 模型的适用性模型的适用性2）上述k- 模型，是针对湍流发展非常充
39、分的湍流流动来建立的，是一种针对高Re数的湍流计算模型，而当Re数较低时，例如，在近壁区内的流动，湍流发展并不充分，湍流的脉动影响可能不如分子粘性的影响大，在更贴近壁面的底层内，流动可能处于层流状态。因此，对Re数较低的流动使用上面建立的k-模型进行计算，就会出现问题。这时，必须采用特殊的处理方式，以解决近壁区内的流动计算及低Re数时的流动问题。使用上面的k-模型可能就会出现问题。常用解决方法有壁面函数法和低Re数的k-模型。标准标准k- 模型的适用性模型的适用性3） 标准k-模型比零方程模型和一方程模型有了很大改进，但是对于强旋流、弯曲壁面流动或弯曲流线流动时，会产生一定失真。原因是在标准k
40、-模型中，对于Reynolds应力的各个分量，假定粘度系数t是相同的，即假定t是各向同性的标量。而在弯曲流线的情况下，湍流是各向异性的，t应该是各向异性的张量。标准标准k- 模型的适用性模型的适用性在RNG k-模型中，通过在大尺度运动和修正后的粘度项体现小尺度的影响，而使这些小尺度运动有系统地从控制方程中去除。所得到的k方程和方程，与标准k-模型非常相似：kCGkCxxxutGxkxxkutkkjeffjjikjeffkiii22*1)()()()(（31）（32）RNG k- 模型模型012. 0,377. 4)(21)2(68. 1,42. 11)/1 (39. 1,0845. 002/
41、12130112jjjijiijijktteffxuxuEkEECCCCCkC其中，（33）RNG k- 模型中的系数模型中的系数RNG k-模型主要变化是：1）通过修正湍动粘度，考虑了平均流动中的旋转及旋流流动情况；2）在方程中增加了一项，从而反映了主流的时均应变率Eij，这样， RNG k-模型中产生项不仅与流动情况有关，而且在同一问题中也还是空间坐标的函数。 从而， RNG k-模型可以更好处理高应变率及流线弯曲程度较大的流动。RNG k- 模型与标准模型与标准k- 模型的比较模型的比较 需要注意的是，RNG k-模型仍针对充分发展的湍流是有效的，是高Re数的湍流计算模型，而对近壁区内的
42、流动及Re数较低的流动，必须使用下面将要介绍的壁面函数法或低Re数的k-模型来模拟。 此外，需要说明一点，在FLUENT手册中，将RNG k-模型所引入的反映主流的时均应变率Eij的一项，归入了方程中的C2系数中，且表达式多了一个系数C，而不像这里归入C1系数。这两种处理方式实质上是一样的。RNG k- 模型模型 标准k-模型对时均应变率特别大的情况，有可能导致负的正压力。为使流动符合湍流的物理定律，需要对正应力进行某种数学约束。为保证这种约束的实现，认为湍流粘度计算式中的系数C不应是常数，而应与应变率联系起来。从而，提出了Realizable k-模型。这里， Realizable有“可实现
43、”的意思。Realizble k- 模型模型kjktjiiGxkxxkutkvkCECxxxutjtjii221（34）（35）ijjiijijijkxuxuEkEECC212)5,43. 0max(9 . 12 . 10 . 12112，其中，（36）Realizble k- 模型形式模型形式式中，与 C按下式计算：/102kUAACkCSt（37）（38）Realizble k- 模型中的系数模型中的系数vkCECxxxutjtjii221kijkijijkijkijijijijijijjiijijijkjjkijsEEUxuxuEEEEEEWWAA2)(21)()6(cos31cos60
44、.42/110（39）其中，Realizble k- 模型中的系数模型中的系数 上面的 是从角速度k为参考系中观察到的时均转动速率张量，显然对无旋转的流场，上式中 计算式根号中的第二项为零，这一项是专门用以表示旋转影响的，也是本模型的特点之一。ijU Realizble k- 模型中的系数模型中的系数2ijijijijijijkkijijijkkUE E n湍流粘度计算公式发生了变化，引入了与旋转和曲率有关的内容。n方程发生了很大变化，方程中的产生项不再包含有k方程中的产生项Gk，这样，现在的形式更好地表示了光谱的能量转换。n方程中的倒数第二项不具有任何奇异性，即使k值很小或为零，分母也不会为
45、零。这与标准k-模型和RNG k-有很大区别。Realizble k- 模型与标准模型与标准k- 模型模型 Realizable k-模型已被有效地用于各种不同类型的流动模拟，包括旋转均匀剪切流、包含有射流和混合流的自由流动、管道内流动、边界层流动，以及带有分离的流动等。Realizble k- 模型适用性模型适用性在近壁区使用在近壁区使用k- 模型的问题模型的问题k-模型都是高Re数的湍流模型，可是，在近壁区内的流动，Re数较低，湍流发展并不充分，湍流的脉动影响不如分子粘性的影响大，湍流应力几乎不起作用，这样在这个区域内就不能使用前面的k-模型就行计算，必须采用特殊的处理方式。下面介绍：壁面
46、函数法和低Re数k-模型。一是不对粘性影响比较明显的区域（粘性底层和过渡层）进行求解，而是用一组半经验公式（即壁面函数）将壁面上的物理量与湍流核心区内的相应物理量联系起来，这就是壁面函数法。另一种途径是采用低Re数k-模型来求解粘性影响比较明显的区域（粘性底层和过渡层），这时要求在壁面划分比较细密的网格。越靠近壁面，网格越细。这两种方法都可与标准k-模型和RNG k- 模型等配合，成功地解决近壁区及低Re数情况下的流动计算问题。解决这个问题有两个途径解决这个问题有两个途径 壁面函数法（wall functions）实际是一组半经验公式，用于将壁面上的物理量与湍流核心区内待求的未知量直接联系起来
47、。它必须与高Re数k-模型配合使用。 壁面函数法的基本思想是：对于湍流核心区的流动使用k-模型求解，而在壁面区不进行求解，直接使用半经验公式将壁面上的物理量与湍流核心区内的求解变量联系起来。这样，不需要对壁面区内的流动进行求解，就可直接得到与壁面相邻控制体积的节点变量值。壁面函数法壁面函数法在壁面区，流体运动受壁面流动条件的影响比较明显，壁面区可分为三个子层：1）粘性底层2）过渡层3）对数律层近壁区流动特点近壁区流动特点粘性底层是一个紧贴固体壁面的极薄层，其中粘性力在动量、热量及质量交换中起主导作用，湍流切应力可以忽略，所以流动几乎是层流流动，平行于壁面的速度分量沿壁面法线方向为线性分布。过渡
48、层处于粘性底层的外面，其中粘性力与湍流切应力的作用相当，流动状态比较复杂，很难用一个公式或定律来描述。由于过渡层厚度极小，所以在工程计算中通常不明显划出，归入对数律层。对数律层处于最外层，其中粘性力的影响不明显，湍流切应力占主要地位，流动处于充分发展的湍流状态，流速分布接近对数律。三层的特点三层的特点 为了用公式描述粘性底层和对数律层内的流动，引入如下无量钢参数，分别表示速度和距离：wvyuyyuuu（40）（41）其中，u是流体的时均速度，u是壁面摩擦速度 ，w是壁面切应力，y是到壁面的距离。 21/wu 公式描述公式描述 当 时，所对应的区域是粘性底层，这时速度沿壁面法线方向呈线性分布，即
49、：5y yu 当 时，流动处于对数律层，这时速度沿壁面法线方向呈对数律分布，即：30060yEyByuln1ln1其中，为Karman常数，B和E是与表面粗糙有关的常数，对于光滑壁面有=0.4，B=5.5，E=9.8，壁面粗糙度的增加将使得B值减小。注意注意，上面给出各子层的 分界值，只是近似值。有的文献介绍 对应于对数律层。有的文献推荐将 作为粘性底层与对数律层的分界点。y50030y63.11y1）动量方程中变量u的计算式 当与壁面相邻的控制体积的节点满足 时，流动处于对数律层，此时的速度up为63.11y)ln(1Eyu（42）推荐 按下式计算y)(2/14/1ppkCyy（43）此时的
50、壁面切应力 w满足如下关系：uukCppw/2/14/1（44）式中，up是节点p的时均速度，kp是节点p的湍动能，yp是节点p到壁面的距离，是流体的动力粘度。 当与壁面相邻的控制体积的节点满足 时，控制体积内的流动处于粘性底层，此时的速度up由层流应力应变关系 决定。63.11y yu能量方程以温度T为求解未知量，为了建立计算网格节点上的温度与壁面上的物理量之间的联系，定义新的参数T+如下：wpppwqkCcTTT2/14/1)(（45）式中，Tp是与壁面相邻的控制体积的节点p处的温度，Tw是壁面上的温度，是流体密度，Cp是流体的比热容，qw是壁面上的热流密度。能量方程中温度能量方程中温度T
