1、第四章计算机控制系统性能指标描述概 述 控制系统总是要求实际的被控对象，在给定信号的作用下达到稳定、快速和准确的性能指标。 计算机控制系统，相对于一般控制系统而言，具有更多的功能可以实现，即系统能实现最佳的性能指标。 本章描述控制系统的基本性能指标，以及这些性能指标与系统的固有参数和设计参数的关系，从而为分析和设计控制系统提供了依据。本章内容本章内容4.1 计算机控制系统的性能及其指标4.2 线性离散系统的稳定性分析4.3 离散系统的稳态误差分析4.4 线性离散系统的动态响应分析4.14.1 计算机控制系统的性能及其指标计算机控制系统的性能及其指标性能： 稳定性 能控性 能观测性 稳态特性 动
2、态特性 性能指标： 稳定裕量 稳态指标 动态指标 综合指标 4.1.14.1.1工程上对控制系统动态过程的性能要求工程上对控制系统动态过程的性能要求定义：通常将系统受到给定值或干扰信号作用后，控制被控量变化的全过程称为系统的动态过程。工程上常从稳、快、准三个方面来评价控制系统。 稳： 指动态过程的平稳性。 快： 指动态过程的快速性。 准： 指动态过程的最终精度。稳： 指动态过程的平稳性控制系统动态过程曲线 如上图所示，系统在外力作用下，输出逐渐与期望值一致，则系统是稳定的，如曲线所示；反之，输出如曲线所示，则系统是不稳定的。快： 指动态过程的快速性 快速性即动态过程进行的时间的长短。过程时间越
3、短，说明系统快速性越好，反之说明系统响应迟钝，如曲线所示。 稳和快反映了系统动态过程性能的好坏。既快又稳，表明系统的动态精度高。准： 指系统在动态过程结束后，其被控量（或反馈量）与给定值的偏差，这一偏差称为稳态误差，是衡量稳态精度的指标，反映了系统后期稳态的性能。 以上分析的稳、快、准三方面的性能指标以上分析的稳、快、准三方面的性能指标往往由于被控对象的具体情况不同，各系统要往往由于被控对象的具体情况不同，各系统要求也有所侧重，而且同一个系统的稳、快、准求也有所侧重，而且同一个系统的稳、快、准的要求是相互制约的。的要求是相互制约的。稳定性稳定性发散振荡发散振荡 系统不稳定，不允许存在，容易造成
4、严重事故。 等幅振荡等幅振荡 系统临界稳定，在实际系统中也是不允许的。 衰减振荡衰减振荡 当调节器参数选择合适时，系统可以在比较短的时间内，以比较少的振荡次数，比较小的振荡幅度回复到给定值状态，得到比较满意的性能指标。 非周期衰减非周期衰减 当调节器参数选择合适时，可以使系统既无振荡，又比较快地结束过渡过程。稳定性结论稳定性结论 控制系统只有稳定，才有可能谈得上控制系统性能的好坏或优劣 计算机控制系统的稳定性跟连续控制系统的稳定性一样，也是一个重要的概念 稳定性分析也是计算机控制理论中的一个重要的内容。能控性和能观测性能控性和能观测性 控制系统的能控性和能观测性在多变量最优控制中是两个重要的概
5、念。 可观测性可观测性反映了由系统的量测来确定系统状态的可能性。如果系统的状态在有限的时间间隔内可由输出的观测值来确定，那么称系统在这样一个时间段内是可观测的。 可控性可控性是指控制作用对被控系统影响的可能性。如果在一个有限的时间间隔里，可以用一个无约束的控制向量，使得系统由初始状态转移到终点状态，那么系统就称作在这样一个时间里是可控的。 如果所研究的系统是不能控的，那么，最优控制问题就不存在。 关于能控性和能观测性的详细情况可参阅本书第7章。 性能指标性能指标稳态指标：衡量控制系统精度的指标 稳态误差 动态指标：比较直观地反映控制系统的过渡过程特性 超调量 调节时间 峰值时间 衰减比 振荡次
6、数 稳态指标稳态误差ess 稳态误差是输出量的稳态值与要求值的差值 表示了控制精度，越小越好。 稳态误差与控制系统本身的特性有关，也与系统的输入信号形式有关。 yyess0ess动态指标超调量p %100yyymp超调量： 超调量通常以百分数表示 表示了系统过冲的程度 反映了系统动态过程的平稳性。 p动态指标调整时间ts =0.02或0.05调整时间反映了过渡过程时间的长短 它反映了动态过程进行的快慢，是系统的快速性指标。 ts动态指标峰值时间tp 过渡过程到达第一个峰值所需要的时间 它反映了系统对输入信号反应的快速性。 tp动态指标衰减比 过程过程衰减快慢的程度，定义为过渡过程第一个峰值B1
7、与第二个峰值B2的比值 通常希望衰减比为4:1 B1B221BB动态指标振荡次数N N=3/2=1.5 反映控制系统的阻尼特性，定义为输出量y(t)进入稳态前，穿越y(t)的稳态值y()的次数的一半。 综合指标综合指标有三种类型：有三种类型： 积分型指标 末值型指标 复合型指标在现代控制理论中，如最优控制系统的设计时，在现代控制理论中，如最优控制系统的设计时，经常使用综合性能指标来衡量控制系统。经常使用综合性能指标来衡量控制系统。1.1.积分型指标积分型指标误差平方的积分误差平方的积分 tdtteJ02)(这种性能指标着重权衡大的误差，而且数学上易于处理，可以得到数学解，因此经常使用。 如在宇
8、宙飞船控制系统中按最小设计，可使动力消耗最小。 tdttteJ02)(这种指标较少考虑大的起始误差，着重权衡过渡特性后期出现的误差，有较好的选择性。该指标反映了控制系统的快速性和精确性。 1.1.积分型指标积分型指标误差平方的积分误差平方的积分 dtururdteqeqdtJtttTT)()()(022221102222110RuuQee式中，加权矩阵Q和R的选择是根据对e和u的各个分量的要求来确定的。它不仅控制了动态性能指标，而且限制了控制信号的功率。 对于多变量控制系统，可采用 1.1.积分型指标积分型指标误差平方的积分误差平方的积分 ),(ffttxSJ 是末值时刻 tf 和末值状态 x
9、(tf) 的函数。 如：要求在末值时刻，系统具有最小稳态误差，最准确的定位或最大射程的末值控制中。 2. 2. 末值型指标末值型指标fttffdtttxFttxSJ0),(),(复合型指标是积分型和末值型指标的复合，是一个更普遍的性能指标形式。 3. 3. 复合型指标复合型指标5.1.2 典型环节的瞬态响应)()(ttr1)(trttr)(典型环节： 一阶系统 二阶系统 高阶系统瞬态输入信号： 冲击信号： 阶跃信号： 斜坡信号： 一阶系统的瞬态响应一阶系统的瞬态响应11)(TssG惯性时间常数T越大，系统的响应越慢。二阶系统的瞬态响应二阶系统的瞬态响应2222)(nnnsssG无阻尼 =0 欠
10、阻尼 01 二阶系统一般设计为欠阻尼系统，且阻尼越小，超调越大，但响应速度越快。 一般选=0.40.8。高阶系统高阶系统21122111111110)2()()()()()(nllllnjjmiinnnnmmmmsspszsKasasasbsbsbsbsAsBsG零点 多项式极点 多项式增益 系数零点实数 极点共轭复数极点若高阶系统是稳定的，其闭环极点分布在左半s平面上。 在所有闭环极点中，离虚轴最近的极点，附近又没有零点，其它闭环极点离虚轴比较远（实部之在5倍以上，对系统响应的影响可以忽略不计），这些闭环极点项，衰减的比较慢，在动态过程中起主要作用。称为闭环主导极点。 若主导极点是一对其轭复
11、数极点，则原来的高阶系统，可以近似为欠阻尼二阶系统。 用用Matlab进行瞬态响应分析进行瞬态响应分析格式： 单位阶跃响应step(sys) step(sys,t) 单位冲击响应impulse(sys,t) 例：例：25425)(2sssG求求 的单位阶跃响应。的单位阶跃响应。解解： 编制Matlab程序如下： num=25; den=1,4,25; g=sys(num,den); step(g) 或 num=25; den=1,4,25; step(num,den) 00.511.522.5300.20.40.60.811.21.4Step ResponseTime (sec)Amplitu
12、de求求 当当 时时 的单位冲击响应。的单位冲击响应。2222)(nnnsssG0.6,5n解：解： 编制Matlab程序如下： wn=5;zeta=0.6; num=wn.2; den=1,2*zeta*wn, wn.2; impulse(num,den),Grid on; 例：例：典型二阶系统的单位冲击响应曲线典型二阶系统的单位冲击响应曲线00.20.40.60.811.21.41.61.82-0.500.511.522.5Impulse ResponseTime (sec)Amplitude4.2 线性离散系统的稳定性分析 在控制系统性能指标中，系统稳定是一个先决条件，一个不稳定的控制系
13、统是不能正常工作的，甚至会导致系统的破坏，所以稳定性是控制系统的最重要的指标。稳定性是系统的一种固有特性，这种固有的稳定性只取决于系统的结构参数，而与系统的初始条件以及外作用无关。连续系统稳定性分析方法及结论连续系统稳定性分析方法及结论特征方程的根，即闭环极点应具有负实部或分布在左半s平面上。直接判断困难。 劳斯（Routh）稳定性判据：由特征方程的系数来判断。 根轨迹法 频率响应特性 根据S平面和Z平面之间的关系，离散系统的稳定性可以由特征方程 稳定 区域的根在Z平面中的位置来确定 必须位于Z平面中单位圆的内部。如果有一个根恰好位于单位圆上则系统处于临界稳定，临界稳定在实践中属于不稳定。 )
14、()(1)()()(00zGGzDzGGzDzHhh0)()(10zGGzDh稳定 区域不稳定 区域临界 稳定4.2.1 Z4.2.1 Z平面的稳定性条件平面的稳定性条件 例例4.14.1523455 . 036 . 045)(sssssssH运行结果：已知系统的闭环传递函数为：已知系统的闭环传递函数为： 试判断该闭环系统的稳定性。试判断该闭环系统的稳定性。解解： 根据题意，运行下列MATLAB程序： num=5 4 1 0.6 3 0.5;den=1 0 0 0 0 0; z,p=tf2zp(num,den) ii=find(abs(p)1);n1=length(ii); if (n10)
15、disp(System is Unstable); else disp(System is Stable);end z = -0.7822 + 0.5660i -0.7822 - 0.5660i 0.4681 + 0.6367i 0.4681 - 0.6367i -0.1718 p = 0 0 0 0 0 System is Stable 通过MATLAB这样的计算工具可以很容易的求出系统的特征方程的根，但在实际使用时也经常采用间接的方法，即不用直接求解特征方程的根，而是根据特征方程的根与系数的对应关系去判别系统的稳定性。结论 4.2.2 朱利(Jury)稳定判据 0)(0111azazaza
16、zDnnnn设离散控制系统的特征方程为 其中a0， a1， a2， an为实数，以及an 0。 按多项式的系数，构造朱利阵列如表51所示。 表表4.1 4.1 朱利阵列格式朱利阵列格式2 , 1 , 0,2, 1 , 0,1, 1 , 0,31301100irrrrsnjbbbbcnkaaaabiijnjnjknknk表的构成方法朱利稳定性判据朱利稳定性判据 例4.2 请参见教材68页。特征多项式的根全部都位于单位圆内的充要条件是下列不等式成立：123)(234zzzzzD例例4.24.2解：解：根据题意，运行下列MATLAB程序： num=1;den=3 1 -1 -2 1; z,p=tf2
17、zp(num,den) ii=find(abs(p)1);n1=length(ii); if (n10) disp(System is Unstable); else disp(System is Stable);end z = Empty matrix: 0-by-1 p = -0.7357 + 0.6859i -0.7357 - 0.6859i 0.5690 + 0.0753i 0.5690 - 0.0753i System is Unstable 运行结果：例4.2 的直接求解结果4.2.3 4.2.3 双线性变换的劳斯（双线性变换的劳斯（RouthRouth）稳）稳定判据定判据 在连续
18、系统中应用劳斯判据判断系统的极点是否分布在平面的左半平面。 在线性离散系统中也可以通过S平面与Z平面之间的映射关系，利用劳斯判据来判断离散系统的稳定性。 Z-WZ-W变换变换wwz11引入Z-W变换， jz令22222222112111zzjwz则S平面与W平面是相似的。 Z-W变换是线性变换，映射是一一对应的关系。 经过Z-W变换，可得到代数方程 0)(0111AzAzAzAzDnnnn对上式施用劳斯判据便可判断系统的稳定性。 00111awawawannnn离散系统的特征方程 Z-WZ-W变换变换劳斯判据劳斯判据 00111awawawannnn特征方程（2）若劳斯行列表第一列各元素均为正
19、，则所有特征根均分布在左半平面，系统稳定。 （3）若劳斯行列表第一列出现负数，表明系统不稳定。第一列元素符号变化的次数，表示右半平面上特征根的个数。 ;1;1;1;1;1;1;1;1;1414113313112212111417113315112213111716115141231211ccbbcdccbbcdccbbcdbbaabcbbaabcbbaabcaaaaabaaaaabaaaaabnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn（1）若系数an， an-1 ， a1 ，a0的符号不相同，则系统不稳定。若符号相同，建立劳斯行列表。例：例：386. 0368. 1264. 0368. 0)(
20、)1 ()(210zzzKssGZzzG特征方程为 作Z-W变换得 0386. 0264. 0)368. 1368. 0(2KzKz0632. 0)528. 0264. 1 ()104. 0736. 2(2wKwK设线性离散系统如图所示，设线性离散系统如图所示，T=1s，试求系统的临界放大倍数，试求系统的临界放大倍数K。解：解：系统的开环传递函数为建立劳斯行列表 欲使系统稳定，必须使劳斯行列表的第一列中的各元素均为正。所以系统的临界放大倍数Kc=2.4 可选用放大倍数0K2.4稳态误差是系统稳态性能的重要指标，它衡量了一个控制系统的控制精度。 稳态误差定义：当给定信号作用后，在时间 t 趋于无
21、穷大（实际上是一定时间）时被控对象的要求值r(t)与输出信号y(t)之差，即4.3 离散系统的稳态误差分析 )()(lim)(limtytrtettssess稳态误差的传递函数计算表达式 )()(1)() 1(lim)() 1(lim)(lim1zGzDzRzzEzneezntss由此可见，离散控制系统的稳态误差与连续控制系统的一样，与输入信号及系统结构有关。 由Z变换的终值定理知，在图5.6所示的单位反馈离散系统中，系统在输入信号的作用下误差的变换式为不同的输入信号不同的输入信号1)(zzzR2) 1()(zTzzR32) 1(2) 1()(zzzTzRssR1)(21)(ssR31)(ss
22、R1)(trttr)(2)(2ttr单位斜坡(速度)信号 单位抛物线(加速度)输入单位阶跃(位置)输入不同的系统结构不同的系统结构 由于积分环节的Z传递函数为 所以上述定义也可理解为 z = 1 的极点的个数。1111zzz1111limzz按系统开环脉冲传递函数D(z)G(z)中含有的积分环节的个数分为0型、型、型等系统。 （1 1）单位阶跃）单位阶跃( (位置位置) )输入时输入时 1)(zzzR式中 称为静态位置误差系数。 pzzssKzGzDzzzGzDze11)()(11lim1)()(11) 1(lim11)()(lim1zGzDKzp 0型系统) 1 () 1 ( GDKp) 1
23、 () 1 (11GDesspK0ssepK0sse（有限值） I型系统 II型系统单位阶跃(位置)输入时稳态误差为：（2 2）. .单位斜坡单位斜坡( (速度速度) )信号信号 稳态误差为式中 称为静态速度误差系数。 0sse2) 1()(zTzzRvzzssKzGzDzTzTzzGzDze1)()() 1(1lim) 1()()(11) 1(lim121)()() 1(lim11zGzDzTKzv0vKsse) 1 () 1 (1GDTKv（有限值） TGDess) 1 () 1 (vK单位斜坡(速度)信号 0型系统 I型系统 II型系统（3 3）. .单位抛物线单位抛物线( (加速度加速
24、度) )输入输入 稳态误差为 称为静态加速度误差系数。 32) 1(2) 1()(zzzTzRazzssKzGzDzTzzzTzGzDe1)()() 1(1lim) 1(2) 1()()(11lim212321)()() 1(lim1212zGzDzTKza0aKsse0aK2) 1 () 1 (TGDKa) 1 () 1 (2GDTess（有限值）sse单位斜坡(速度)信号 0型系统 I型系统 II型系统表表4-2 4-2 不同输入时各类系统稳态误差不同输入时各类系统稳态误差 从表中可以看出，在离散控制系统中，当典型输入信号和系统结构不同时关于稳态误差的结论和连续系统中的相应结论是相同的，但
25、线性离散时间系统的稳态误差还和采样周期T的大小有关，缩短采样周期T可以减小稳态误差。已知采样离散控制系统的结构如图所示，采样周期已知采样离散控制系统的结构如图所示，采样周期T=0.2sT=0.2s，输入信号输入信号 ，试用静态误差系数法，求该系，试用静态误差系数法，求该系统的稳态误差。统的稳态误差。思考：系统是否稳定？例例4.44.4：2211)(tttr23305101) 15 . 0(101)(ssZzzssZzzzG将T=0.2s代入上式并整理得 20) 1(8 . 02 . 1)(zzzG这是一个二阶系统，可以证明该采样控制系统是稳定的。 解：解：系统的开环脉冲传递函数为在输入信号 的
26、作用下，系统的稳态误差为 2211)(tttr对二型系统， avpssKKKe1111pKvK1 . 01assKe因此，系统的稳态误差为 10) 1(8 . 02 . 1) 1(lim2 . 01)() 1(lim122120212zzzzGzTKzza例例4.44.4：由表4.3可知，只有三型系统在加速度信号的作用下其稳态误差才能为零。 故需在原系统上串联一比例加积分补偿装置思考：怎样才能使系统的稳态误差为零？思考：怎样才能使系统的稳态误差为零？pKzTzKzD1)(1串联数字补偿装置后，加速度误差系数为pzaKzTzKzzzK1) 1(8 . 02 . 1) 1(lim2 . 01122
27、1201assKe因此，系统的稳态误差为 控制器例：例：已知一单位负反馈系统，其开环零极点增益模型为 试分析在单位阶跃及斜坡信号作用下系统的稳态误差。利用利用Matlab进行稳态误差分析进行稳态误差分析) 1)(2() 12(3)(sssssG单位阶跃信号单位阶跃信号t=0.1;k=6;z=-0.5;p=-2 1 0; n1,d1=zp2tf(z,p,k); s=tf(n1,d1); sys=feedback(s,1); roots(sys.den1)ans = -0.1084 + 1.9541i -0.1084 - 1.9541i -0.7832 系统稳定（a）系统稳定性判断sysd=c2d
28、(sys,t) step(sys); t1=0:t:300; y=step(sysd,t1); subplot(121),plot(t1,y),grid; subplot(122),ess=1-y; plot(t1,ess),grid ess(length(ess)阶跃响应及稳态误差阶跃响应及稳态误差0100200300-0.500.511.522.5ty(t)0100200300-1.5-1-0.500.511.5tess0102030-1.5-1-0.500.511.5tess0102030-0.500.511.522.5ty(t)ans = -8.5931e-014系统为一型系统，其Kp
29、=，即ess=0。 t=0.1;k=6;z=-0.5;p=-2 1 0; n1,d1=zp2tf(z,p,k);s=tf(n1,d1); sys=feedback(s,1); num=sys.num1;den=sys.den1,0; sys=tf(num,den); sysd=c2d(sys,t) step(sys); t1=0:t:50; y=step(sysd,t1); subplot(121),plot(t1,t1,y),grid; subplot(122),ess=t1-y; plot(t1,ess),grid ess(length(ess)斜坡响应及稳态误差斜坡响应及稳态误差0204
30、0600102030405060ty(t)0204060-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.6tess05101520-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.6tess051015200510152025ty(t)系统为一型系统，其Kv=C，即ess=C。 ans = -0.6678离散系统的增益离散系统的增益ssHsY1)()(增益定义为0)(sdcsHK阶跃输入幅值稳态输出值在线性离散系统中，在幅值为R的阶跃信号的作用下，系统的输出为1)()(zRzzHzY增益定义为11)()(zzdczHRRzHK阶跃输入幅值稳态输出值RzHzRzzHzy
31、zz11)(1)(1lim)()(lim)(lim0ssFtfst在线性连续系统中，在阶跃信号的作用下，系统的输出为4.44.4 线性离散系统的动态响应分析线性离散系统的动态响应分析 )()()(zRzYzH)()()(zRzHzY)()()(1zRzHZkTy实际上利用Matlab时域响应函数很容易获得系统的输出响应，并可得到其性能参数。例：例：)(1()1 () 1()()1 ()(01aTaTaTaTezzaTeezaTeKssGZzzG632. 0264. 0368. 0)(1)()(2zzzzGzGzH设线性离散系统如图所示，且设线性离散系统如图所示，且a=1，K=1，T=1s，输入
32、，输入为单位阶跃序列。试分析系统的过渡过程。为单位阶跃序列。试分析系统的过渡过程。解解：被控对象Z传递函数编制Matlab程序如下： num=0.368 0.264; den=1 -1 0.632; t=0:1:25; dstep(num,den,t)或y,x=dstep(num,den,t) .997. 0973. 0961. 0981. 0032. 1081. 1077. 1993. 0868. 0802. 0895. 0147. 14 . 14 . 1368. 0632. 0632. 12264. 0368. 0)()()(16151413121110987654321232zzzzzz
33、zzzzzzzzzzzzzzzzRzHzY程序运行结果：y = 0 0.3680 1.0000 1.3994 1.3994 1.1470 0.8946 0.8017 0.8683 0.9937 1.0769 1.0809 1.0323 0.9812 0.9608 0.9727 0.9975 1.0147 1.0163 1.0070 0.9967 0.9923 0.9943 0.9992 1.0028 1.0033 x = 调整时间ts=12s（12个采样周期），超调量p=40，峰值时间tp=3s ，振荡次数N=1.5次，衰减比=5:1 ，稳态误差ess=0。 在连续控制系统中，系统的瞬态响应由
34、闭环系统的零、极点来决定。离散系统的瞬态响应离散系统的瞬态响应 21122111111110)2()()()()()(nllllnjjmiinnnnmmmmsspszsKasasasbsbsbsbsAsBsG离散系统的瞬态响应1)()()()(1)()()()()(2121 zzpzpzpzzzzzzzKzzzAzBzRzHzYnmniiipzAzAzAzzBzzY101)() 1()()() 1 () 1 (0ABA ipziizAzzBpzA)() 1()()(nikiiniiipAkApzzAzzAZky10101)()( 11)(零点 多项式极点 多项式零点极点式中稳态 输出瞬态 响应
35、不同极点分布时的瞬态响应不同极点分布时的瞬态响应 ipziizAzzBpzA)() 1()()(nikiipAky1)()()sin(cosiiijiijrerpi)sin(cos)(iikiikiikjkrApA其瞬态响应为对应于极点分析：分析： )sin(cosiiijiijrerpi)sin(cos)(iikiikiikjkrApAki iAr当ri1时，为发散序列。 1. 当pi为正实数极点时， i =0，瞬态响应为cos()ki iArk分析：分析： )sin(cosiiijiijrerpi)sin(cos)(iikiikiikjkrApA当ri1时，为发散振荡。 T2. 当pi为负
36、实数极点时， i =180 ，瞬态响应为 是振荡的，振荡频率最高，可以证明为 3. 当pi为复数极点时，必为一对共扼复数极点， 瞬态响应为 其中 和 也是共轭的，因此瞬态响应是振荡的。ijiierpijiierpiijkkiijkkiierAerA0180i iAiA2cos()iiiijjkjjkkkiiiikiiiiA er eA er eA rk当ri1 时，振荡是发散的。 当ri=1时，等幅振荡。 当ri1时，振荡的衰减速率取决于ri的大小， ri越小，衰减越快；振荡频率与i有关， i越大，振荡频率越高，可以证明为 Ti分析：分析： 结论：结论： 闭环极点分布对系统瞬态响应的影响：当极
37、点分布在Z平面的单位圆上或单位圆外时，对应的输出分量是等幅的或发散的序列，系统不稳定。 当极点分布在Z平面的单位圆内时，对应的输出分量是衰减序列，而且极点越接近Z平面的原点，输出衰减越快，系统的动态响应越快。反之，极点越接近于单位圆周，输出衰减越慢，系统过渡过程时间越长。 当极点分布在单位圆内左半平面时，虽然输出分量是衰减的，但是由于交替变号，过渡特性不好。 因此设计线性离散系统时，应该尽量选择极点在Z平面上右半圆内，而且尽量靠近原点，与实轴的夹角要适中。 连续系统和离散系统瞬态响应的比较连续系统和离散系统瞬态响应的比较在离散控制系统中，也能像连续控制系统那样采用以传递函数为基础的频率法和根轨
38、迹法，根据开环系统的信息来判断闭环系统的稳定性以及动态性能。 经过双线性变换以后，凡是适用于连续系统的稳定性分析，都可以用于离散控制系统。离散控制系统的其它分析法离散控制系统的其它分析法 4.5线性离散系统的根轨迹分析法根轨迹法主要研究当系统的某一参数发生变化时，如何根据系统已知的开环传递函数的零极点，来确定系统的闭环特征根的移动轨迹。 下面我们可以结合具体的例子来说明根轨迹的含义 。w1.1.根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念 设控制系统的结构如图所示 系统结构图系统结构图)2()(ssKsG1)(sH图中图中，w 系统的开环传递函数为：系统的开环传递函数为：)2()()(ssKsHsGK其中
39、，其中，为开环传递函数零极点形式的放大系数，为开环传递函数零极点形式的放大系数，也称为根也称为根轨迹增益。轨迹增益。1） 连续系统根轨迹的含义闭环特征方程为 ：闭环传递函数为：闭环传递函数为： KssKsRsC2)()(2022Kss解出该方程的根为：解出该方程的根为： Ks111Ks1121s2sK可见，可见，、是随参数是随参数的变化而变化的的变化而变化的 。 改变 值时，特征根 、 的变化值如下表所示，在 平面上的轨迹变化如图所示。K1s2ssw 表KS1S200-20.5-0.29-1.7071-1-12-1+j-1-j-1+j-1-j 系统单位阶跃响应的一般表达式为 )()(11111
40、10sRasasasbsbsbsbsCnnnnmmmmspszsKnjjmii1)()(11njjjpsAsA10式中，式中， 为闭环零点，为闭环零点， 为闭环极点。待定系数为闭环极点。待定系数求法如下求法如下izjpjAjpsjjijpspsszsA)()()(2） 闭环极点的位置与系统性能的关系2） 闭环极点的位置与系统性能的关系单位阶跃响应为01( )jnp tjjc tAA e可见，输出响应的各项系数由闭环零、极点决定。但由于系数只决定了输出响应的初值，影响相对较弱。而输出响应的形式却完全由闭环极点左右，因此闭环极点是决定系统性能的主要因素。我们知道，当系统所有的闭环极点均位于 左半平
41、面时，系统才是稳定的，当极点为负实数时，它离虚轴越远，对应分量 衰减越快，系统的过渡时间就越短，响应越快。 sjp tew对复数极点可做如下分析对复数极点可做如下分析设一系统的共轭复数极点分布如图设一系统的共轭复数极点分布如图 共轭复数极点在平面上的分布共轭复数极点在平面上的分布22, 11nnjsw由时域分析法知由时域分析法知 nnnss)1 ()(22221nncoscosacrw复数极点的参数与系统阶跃响应及性能指标之间的关系为复数极点的参数与系统阶跃响应及性能指标之间的关系为 )1sin(11)(22tetcntn%21 enst3 （1）闭环极点的实部（ ）反映了系统的过渡过程的长短
42、；（2）闭环极点的虚部（ ）反映了系统振荡频率的快慢；（3）闭环极点与坐标原点的距离即为系统的无阻尼自然振荡角频率；（4）闭环极点与负实轴的夹角 决定了系统阻尼比 ，进而影响系统超调量的大小。n21nw闭环极点的位置与系统性能指标之间的关系：闭环极点的位置与系统性能指标之间的关系：w 当系统有多个闭环极点时，可利用主导极点的概念降低系统的阶次，简化系统分析。w 系统中的主导极点离虚轴最近，对系统暂态性能的影响最大。w 若主导极点到虚轴的距离远远小于其它极点到虚轴的距离，且它附近没有闭环零点，这时其它极点对系统性能的影响可忽略不计。2.2. 线性离散系统的根轨迹分析法 在线性连续系统中可以用根轨
43、迹法分析系统的性能，同样，在线性离散系统中，也能像连续系统那样采用Z平面上的根轨迹法，根据开环系统的信息来判断闭环系统的稳定性以及动态性能。 所谓根轨迹法是从已知系统的开环极、零点的位置，以开环系统的根轨迹增益或其他参数为变量，来求取闭环极点分布的方法。根的映像（轨迹）称为根轨迹图。当开环轨迹增益或其他参数改变时，对应的闭环极点，可在根轨迹图上一一确定。w 设典型的线性离散系统如图5.11所示，系统的闭环传递函数为)()(1)()()()(zFzGzGzRzYzH)()()(0zFzGzG式中，为开环传递函数。系统的特征方程为0)(1)()(10zGzFzGw开环开环传递函数传递函数一般可写为
44、如下形式一般可写为如下形式)(0zG)()()()()(21210nmpzpzpzzzzzzzKzG式中，式中，mzzz,21线性离散系统的开环零点；nppp,21线性离散系统的开环极点；K线性离散系统的开环放大倍数。由开环传递函数)(0zG确定线性离散系统的闭环极点，需要求解特征方程0)(10zG1)(0zG由于是复数变量，所以)(0zG是复变函数幅值和相角表示为：1)(0zG, 2 , 1 , 0,360180)(0iizG 上述两个方程方程是在平面上根据开环零、极点绘制闭环系统根轨迹的条件。w幅值条件幅值条件w相角条件相角条件 平面上根轨迹的绘制方法与连续系统在S平面上绘制根轨迹的方法类
45、似，绘制连续系统根轨迹的基本规则在此也可使用。 采用计算机绘制根轨迹图最为便捷。Matlab提供了函数rlocus( )绘制线性离散系统或连续系统的根轨迹图。 函数rlocus( )的使用格式如下： rlocus(sys)或rlocus(num,den)sys和num,den为开环系统传递函数模型。函数k,p=rlofind( )给出选定点的增益和极点表达式。 由根轨迹与平面上单位圆的交点，可以确定系统的临界增益。 例5.6 试求例5.3所示离散系统，在T=1s和2s时的根轨迹图，并求出相应的临界增益。TTTTTTsezezTeezeTKssKZzssKseZzG)1 (1)1() 1()1
46、() 1(1)(2210解：系统的开环传递函数w编制编制Matlab程序程序L0506如下：如下：t1=1;t2=2;k=1;n=2;for i=1:n if i=1 t=t1; elseif i=2 t=t2; end b1=t-1+exp(-t); b2=1-exp(-t)-t*exp(-t); a0=1;a1=1+exp(-t);a2=exp(-t); num=k*b1,k*b2;den=a0,-a1,a2; figure(i) rlocus(num,den) title(根轨迹图根轨迹图) hold p=0:0.07:2*pi; x=sin(p); y=cos(p); plot(x,y
47、,.) hold v=-4,2,-2,2; axis(v) grid k,poles=rlocfind(num,den)endw时根轨迹图时根轨迹图w系统的临界增益约为系统的临界增益约为K=2.52-4-3-2-1012-2-1.5-1-0.500.511.520.9920.240.460.640.780.870.930.970.9920.511.522.533.540.240.460.640.780.870.930.97根轨迹图Real AxisImaginary Axisw2时根轨迹图时根轨迹图系统的临界增益约为系统的临界增益约为K=0.57-4-3-2-1012-2-1.5-1-0.500.511.520.9920.240.460.640.780.870.930.970.9920.511.522.533.540.240.460.640.780.870.930.97根轨迹图Real AxisImaginary Axisw采样周期与系统的临界增益密切相关，采样周期增大，临界增益降低。可见，根轨迹可用于分析线性离散系统的性能，也能用来设计系统。w系统零、极点在平面的分布改变时，根轨迹的形状跟着变化，系统的性能也跟着变化。w为了满足性能指标的要求，可以采用零极点对消，或加入新的零极点，从而得到要求的性能指标。 根轨迹图在系统分析设计中的应用根轨迹图在系统分析设计中的应用
