1、第一章第一章 随机变量基础随机变量基础 本章要点：本章要点： 1 . 随机变量的概率分布及其概率密度随机变量的概率分布及其概率密度)()(xXPxFXdxxdFxp)()(,),(221121nnnxXxXxXPxxxF对于离散随机变量，其概率密度函数为对于离散随机变量，其概率密度函数为:iiixxpdxxdFxp)()()(2.随机变量的数字特征随机变量的数字特征均值均值XEmX方差方差)(22XEXEXDXn阶原点矩阶原点矩, 2 , 1nXEmnnn阶中心矩阶中心矩, 2 , 1)(nXEXEnnX和和Y的的n+k阶联合原点矩阶联合原点矩knnkYXEmX和和Y的的n+k阶联合中心矩阶联
2、合中心矩)()(knnkYEYXEXE随机变量数字特征的性质随机变量数字特征的性质若若X、Y是二个相互独立的随机变量，则有是二个相互独立的随机变量，则有YEXEXYE22XEXEXDYEXEYXE统计独立统计独立)()(),(ypxpyxpYXXY不相关不相关YEXERXY互相正交互相正交0XYR3 随机变量的函数随机变量的函数一维随机变量单调函数一维随机变量单调函数Y=g(X)的分布的分布dydxxpJxpypXXY)()()(多维随机变量函数的分布多维随机变量函数的分布JxxxpyyypNXNY),(),(2121其中其中NNNNyfyfyfyfJ11114 随机变量的特征函数及其性质随机
3、变量的特征函数及其性质dxxpeeEjuCjuxjuX)()(随机变量的特征函数与概率密度是一对傅立叶变换。随机变量的特征函数与概率密度是一对傅立叶变换。重要性质：重要性质：1. 两两相互独立的随机变量之和的特征函数等于两两相互独立的随机变量之和的特征函数等于各个随机变量的特征函数之积。各个随机变量的特征函数之积。即：两两相互独立随机变量之和的概率密度等于即：两两相互独立随机变量之和的概率密度等于两随机变量的概率密度的卷积。两随机变量的概率密度的卷积。2.2. 随机变量随机变量X的的n阶原点矩，可由其特征函数的阶原点矩，可由其特征函数的n次次导数求得。导数求得。 0)()()(unXnnndu
4、uCdjXE1.4解解: (1) : (1) 直接由方差的性质可知直接由方差的性质可知22 D xE xEx由题可得：由题可得：1 ( )02E xxp x dxxdx22221( )32E xx p x dxx dx所以所以23D X(2)由特征函数的定义可知由特征函数的定义可知: :1()( )211221sin*2 sin2juxjuxjuxjujuC jup x edxedxdeeejujuujujuu1.7 解解:(1)由量化器特性图可知：由量化器特性图可知：其中：其中：且有且有 不完整解：不完整解：010;nxxiixxiYdxxpyyp1)()(11)()()(niiiYyyyP
5、ypiixxidxxpyP1)()(2)因为它们是独立的，所以有：因为它们是独立的，所以有：由由(1)(1)可知：可知：所以：所以： 12ZYY12( )( )( );ZYYpzpzpz111( )( ) ()nYiiipzP zzy211( )( ) ()nYjjjpzP zzy1111( )( ) ()( ) ()nnZiijjijpzP zzyP zzy 因此：因此：其中：其中：jjjjxxxxxjeedxezP11)(iiiixxxxxieedxezP11)(1111( )( )( ) ()nnZijijijpzP zP zzyy1.8111111 nnniiiiiiE XExE xn
6、nn2112221111()()()11( )nniiiinniiiiD XDxDxnnD xnn(1)解解:(2) 解法一：解法一：根据题意：令根据题意：令0,i22.i由于独立同分布的高斯变量的线性组合由于独立同分布的高斯变量的线性组合仍为高斯变量，所以仍为高斯变量，所以 为高斯变量。为高斯变量。X 0;iE XE x22iiD xD Xnnn所以所以2(0,)XNnX的概率密度为的概率密度为22exp()22nnx(2)解法二：从特征函数的角度来证明它是高斯随解法二：从特征函数的角度来证明它是高斯随机变量。机变量。因为因为2(0,)ixN所以它的特征函数为所以它的特征函数为2 22( )
7、iuxC ue由性质可知：由性质可知：2 222( )iunxnCue根据两两相互独立的随机变量之和的特征函数等根据两两相互独立的随机变量之和的特征函数等于各个随机变量的特征函数之积这一性质可得：于各个随机变量的特征函数之积这一性质可得：1.82 221( )( )iunnxXniC uCue这样就可通过傅立叶反变换求它的密度函数这样就可通过傅立叶反变换求它的密度函数22 22221( )( )2122juxXXxujuxnnp xC u eduneedue从表达式可看出，这是高斯随机变量的概率密度函数。从表达式可看出，这是高斯随机变量的概率密度函数。X解方法二解方法二: 可采用可采用(2)的
8、方法的方法,先求特征函数先求特征函数,再求概再求概率密度率密度,由于计算复杂这里不累述由于计算复杂这里不累述.（3）解法一：）解法一： 根据中心极限定理，无数个独立同分根据中心极限定理，无数个独立同分布的随机变量之和为高斯分布。所以布的随机变量之和为高斯分布。所以 为为近似高斯分布近似高斯分布,而不是指数分布了。而不是指数分布了。1.10解解：设设12;ZY ZXY则反函数为：则反函数为：21;ZYZ XY则雅可比式为：则雅可比式为：121210110YYZZJXXYYZZ所以所以2121111( ,)( , )(,)Zzpz zp x ypzyzy求边缘概求边缘概率密度得率密度得:21,21
9、111( )()()11(,)(, )ZZZpzpzpz z dzzzpz dzpy dyzyyy1.111.11又因有又因有cos ;sinXRYR所以雅可比式为：所以雅可比式为：RRRYXRYRXJcossinsincos解：解： 由于由于 x, y是统计独立的，有是统计独立的，有( , )( ) ( )p x yp x p y22(0,);(0,)XNYN所以所以 x, y的联合概率密度函数为：的联合概率密度函数为：222221( , )2xyp x ye边缘概率密度函数为：边缘概率密度函数为：222220( )( , )rRRrprprde2222001( )( , )22rRrppr
10、dredr2222( , )( , )2rRXYrprpx y Je因此因此r, 联合密度函数：联合密度函数：表述问题：表述问题：22222),(ReRRP2222)(ReRRP21)(PderrprR22222)(drerpr22222)(不完整解：不完整解：22222220222)(rrRerderrp212)(02222drerpr正确解答：正确解答：1.13 解：由解：由221;1;0;E YE ZE YZ可得三个方程：可得三个方程：2222222(1)1;(2)21;(3)0;ab ac abcabac联解以上三个方程可得：联解以上三个方程可得：42421;abc 补充题补充题设随机
11、变量设随机变量X的均值为的均值为3,方差为方差为2.定义新随机变量定义新随机变量Y=-6X+22,试问随机变量试问随机变量X与与Y是否正交是否正交?是否不相关是否不相关?解解:2222( 622)6 22 3 116 1122 30 xxE XYE XXE XE XE XE XmE XY 其中故故X X与与Y Y是正交的是正交的. . 6226 3224 3 4120 12E YEXE X E YE XYE X E Y 又有故故X与与Y是相关的是相关的.补充题补充题2 2随机变量随机变量X X是拉普拉斯的是拉普拉斯的, ,其概率密度函数和特征函数其概率密度函数和特征函数分别为分别为: :( )2a xap xe222( )aC uau求随机变量的均值和方差求随机变量的均值和方差. .解解:(1)20222( 1)()(0)20()uE Xj Cauau 222223222(2)022422()( 2)(44)2()(0)()uaaua uua uE XjCaua 2222Var XE XEXa
