1、经济管理数学引 言 0.1 微积分的产生和发展 在我国古代，已孕育着微积分思想的萌芽，如西汉刘歆在西京杂记中提到的“记里车”，东汉张衡制造的“浑天仪”，蜀汉诸葛亮使用并改进的“木牛流马”，都要设计制造圆形的物件，要求更精确的圆周率，从而产生了魏晋时刘徽提出的“割圆术”.他从圆内接的正多边形做起，令边数成倍地增加，即从6而12，而24，而48，而384，而3 072.用这个正3 072边形面积“近似代替”圆面积，就得的更精确值3.141 6，“割之弥细，所失弥少；割之 又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里就已包含着微积分中“无限细分，无限求和”的思想方法.又如，隋代建造的跨度达37
2、 m的大石拱桥赵州桥，系用一条条长方形条石砌成，一段段直的条石却砌成了一整条弧形曲线的拱圈，这就是微积分“以直代曲”(或“以常代变”)这个基本思想的生动原型. 恩格斯指出“数学的转折点是笛卡儿的变数.有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学.有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了.而它们也就立刻产生，并且是由牛顿和莱布尼兹大体上完成的，但不是由他们发明的.” 0.2 微积分如何解决实际问题 自由落体的速度问题. 由物理学可知，自由落体的运动规律为 第一步 分析问题，提出矛盾图0.1 第二步 寻求做法，解决问题 落体在t=1 s到t=1.1 s这段时间内的平均速度 时刻t=1 s到
3、t=1.01 s这段时间落体的平均速度 落在t=1 s到t=(1+t) s这段时间内的平均速度 从平均速度的数学表达式 可以看出，当t无限变小时，v 就“无限接近”于常数值9.8，因此，自由落体在t=1 s时的瞬时速度为9.8 m/s，即v=9.8 m/s.- 上面由平均速度向瞬时速度转化的分析，可图示如下： 自由落体瞬时速度的方法： 第一步 以“不变代变”(或以常代变)，求出t=1 s到t(1+t) s这段时间内的平均速度 v. 第二步在t “无限变小”的过程中，考察平均速度v 的变化趋势，从而得出其自由落体在t =1 s时的瞬时速度.-第1章 函数、极限与连续 1.1 函数 1.1.1 变
4、量 (1)变量和常量 始终保持一定数值而不变化的量叫做常量，可以取不同数值而变化的量叫做变量. (2)区间 通常用“区间”来表示变量x的变化范围.设a，b是两个给定的实数，满足axb的实数的全体叫做闭区间，用记号a,b表示；满足axb的实数的全体叫做开区间，用记号(a,b)表示；满足axb 或axb的实数的区间叫做半开半闭区间，用记号(a,b或a,b)表示. (3)邻域 在数轴上，一个以x0点为中心，半径为的对称开区间(x0-,x0+)叫做点x0的邻域，记为N(x0,). 1.1.2 函数概念 (1)引例 引例1 圆的面积A与其半径r之间的相互关系为：A=r2,当在(0，+)内任意取定一个数值
5、时，就可由上式确定圆面积A的对应数值. 引例2 某商品的销售单价为k(元)，销售数量x与销售收入R(元)之间的相互关系为：R=kx，当x在自然数集1，2，3，中任意取定一个数值时，就可由上式确定销售收入R的对应数值. 引例3 某气象站用自动记录仪记下一昼夜气温的变化情况.图1.1是温度记录仪在坐标纸上画出的温度变化曲线图，其中横坐标是时间t，纵坐标是温度T，它形象地表示出温度T随时间t变化而变化的规律：对于某一确定的时间t(0t24)，就有一个确定的T值与之对应.例如，当t=t0时，由图1.1有T=T0.图1.1 引例4 某百货商店记录了毛线历年来的月销售量(单位：百公斤)，并将近10年来的平
6、均月销售量列成表1.1. 以上各例，虽其具体意义各不相同，但其共同特点是它们都表达了两个变量之间的相依关系，并为这种相依关系给出了一种对应法则.根据这一法则，当其中一个变量在其变化范围内任取一个数 值时，另一个变量就有确定的值与之对应.两个变量之间的这种对应关系就是函数概念的实质. (2)函数定义 定义1.1 设有两个变量x与y，若当变量x在其变化范围内任取一个数值时，变量y按照一定的法则，总有确定的数值与之对应，则称y是x的函数.记作 x叫自变量，y叫因变量，自变量x可取值的全体叫函数的定义域，常记为D；对应x的函数值的全体叫函数的值域，常记为E. (3)函数定义域的求法 例1 求下列函数定
7、义域：或或 (4)函数符号f(x)的使用 (5)分段函数 凡函数公式法中，用两个或两个以上的分析式子所给出的函数，称为分段函数. 分段函数可以把一些较复杂的经济活动的全过程表示出来，它在实际应用中经常遇见，很有实用价值. 一般而言，分段函数已不属于初等函数的范围了.但它仍然表示一个函数，不要把分段函数误认为有几个表达式就看成几个函数，千万要注意这一点.而且分段函数的函数值是用自变量所在区间相对应的那个式子去计算. (6)反函数 一般由y=f(x)(直接函数)确定x是y的函数：x= (y)，称x= (y)为y=f(x)的反函数.通常y=f(x)的反函数记为y=f -1(x). 函数y=f(x)的
8、图形与其反函数y=f -1(x)的图形是关于直线y=x对称的两条曲线，见图1.2.图1.2 例 设y=f(x)=e2x-1，求其反函数. 解 由y=e2x-1有e2x=y+1 (7)建立函数关系式举例 设有一块边长为a的正方形铁皮，在它的四角各剪去边长相等的一块小正方形，制成一个无盖盒子，求这盒子的容积与被剪去的小正方形边长之间的函数关系.y =(x+1)为 y = 解 设被剪去的小正方形边长为x，盒子的容积为V，这时，盒子的高为x，正方形的底边长为（a-2x）(图1.3)，根据几何知识，底面积乘以高等于体积，于是可得盒子的容积为 1.1.3 函数的几种特性 (1)增减性 单调增加函数的图形是
9、沿x轴正方向逐渐上升的，如图1.5所示；单调减少函数的图形是沿x轴正方向逐渐下降的，如图1.6所示.图1.3图1.6图1.5 例 求证f(x)=2x-5为增函数. 证Df=(-,+)，在Df内任取两点x1,x2，且x1x2，即x1-x20.现需证f(x1)f(x2).事实上 从而f(x1)0)为减函数. 证 在定义域Df=(0，+)内任取两点x1,x2，且x1x2，即 f(x2)成立，故f(x)=1-ln x为减函数. (2)奇偶性 对函数y=f(x)，若当自变量x改变符号时，函数值y也改变符号，即恒有f(-x)=-f(x)，则称y=f(x)为奇函数；若当x改变符号时，函数值不变号，即恒有 f
10、(-x)=f(x)，则称y=f(x)为偶函数.由函数奇偶性定义不难看出： 函数为奇函数的充要条件为f(-x)+f(x)=0恒成立； 函数为偶函数的充要条件为f(-x)-f(x)=0恒成立.图1.7图1.8 奇函数的图形对称于坐标原点，如图1.7所示；偶函数的图形对称于y轴，如图1.8所示. 例 判断下列函数的奇偶性： 这表明y=x2+sin x既非奇函数，也非偶函数.亦称y=x2+sin x为非奇非偶函数. (3)周期性 对y=f(x)，如存在正数T，使 f(x+)=f(x)恒成立，则称此函数为周期函数，且称满足这个等式的最 小正数T为函数的周期.对周期函数，可由任何一段长为T的区间上的图形通
11、过平移确定其整个图形.例如y=sin x,y=tan x，它们都是周期函数,且其周期分别为2与. 1.1.4 初等函数 (1)基本初等函数 1)常量函数图1.9 2)幂函数 3)指数函数 如图1.10所示. 4)对数函数 如图1.11所示.图1.10图1.11 5)三角函数 函数sin x，cos x，sec x，csc x是以2为周期； tan x，cot x是以为周期的周期函数.sin x，cos x是有界函数，其他都是无界函数.cos x，sec x是偶函数，其他都是奇函数. 6)反三角函数 反三角函数是把三角函数限制在单调区间上的反函数.常用的反三角函数是： 上面6种函数统称为基本初等
12、函数. (2)复合函数 定义1.2 若y是u的函数y=f(u)，而u又是x的函数u=(x)，且与x对应的u值能使y有定义，则称y为x的复合函数，记作y=f(x).其中u叫中间变量，x叫基本变量. 例 下列复合函数是由哪些简单函数复合而成? 解 将复合函数分解为简单函数的关键是抓住每次复合的末一道运算. 1) 的末一道运算是幂运算，因此它是由简单函数 ，u=1+x2复合而成. 2)y=cos2 x的末一道运算是幂运算，因此它由y=u2，u=cos x复合而成. 3) 的末一道运算是乘积运算，因此它是由y=2u，u=sin v， ，w=1-x2复合而成. 4) 的末一道运算是对数运算，因此，它是由
13、y=ln u，u=1+v， ，w=1+x2复合而成. (3)初等函数 定义1.3 由基本初等函数经过有限次四则运算(加、减、乘、除、乘方、开方)与复合步骤构成的，且能用一个数学式子表示的一切函数，统称为初等函数. 1.1.5 经济学中常用的函数 (1)微观经济学中常用的经济函数 1)需求函数 把商品价格P看做自变量，需求量Q看做因变量，即需求量Q可视为商品价格P的函数，称为需求函数，记作图1.12图1.13 在经济学和企业管理中常用的需求函数有：线性需求函数Q=a-bP(a0,b0，均为常数). 二次曲线需求函数Q=a-bP-cP2(a0，b0，c0，均为常数). 指数需求函数Q=ae-bP(
14、a0，b0，均为常数). 2)供给函数(供应函数) 经济学中最常用的供给函数是线性供给函数，它的一般形式为Q=cP-d，供给曲线如图1.14所示. 其他常见的供给函数还有二次函数、幂函数、指数函数等.图1.14 3)成本函数(费用函数) 经济学中常用的总成本函数有： 线性函数 C=C(x)=C1+ax 二次函数 C=C(x)=a1+a2x+a3x2 三次函数 C=C(x)=k0+k1x+k2x2+k3x3 4)收益函数 总收益、平均收益函数. 5)利润函数 生产一定数量的产品的总收入与总成本之差，就是总利润，记作L. 平均利润记作 ，即 6)生产函数 如果以x表示变化的投入量，q表示产出量，则
15、生产函数为图1.15 (2)宏观经济学中常用的经济函数 1)综合生产函数 它反映国民经济生产总值关于资本、土地、劳力、智力开发等的综合变化规律，在资本、土地不能增加，劳力充分就业的情况下，可以看成是智力开发d的函数：y=f (d)，这是一个递增函数. 2)消费函数 它反映国民消费总额C与国民生产总值x的关系：C= (x)，一般地，也是一个递增函数. 3)投资函数 它反映投入I与银行利率r的关系：I=f (r)，其中I是 总投资额，r是银行利率.这是一个递减函数，即当利率提高时，投资就减少. （3）经济函数的简单应用 1)均衡价格 均衡价格就是市场上需求量与供给量相等时的价格.在图1.16中，即
16、需求曲线D与供给曲线S之交点E的横坐标P=P0，称为供给均衡价格.此时，需求量与供给量均为Q0，称为均衡商品量. 当PP0时(如图1.17中P=P2处)，市场上出现“供过于求”. 例 设某商品的需求函数和供给函数分别为图1.17图1.16 试求均衡价格和均衡商品量. 解 求均衡价格P0和均衡商品量Q0，从几何角度说，就是找需求曲线D和供给曲线S交点的横坐标与纵坐标；从代数的角度说，就是求解需求函数Q=Q(P)与供给函数Q=q(P)构成的联立方程组： 于是，可令b-aP=cP-d，解之，得均衡价格为 从而均衡商品量为 2)无盈亏量 无盈亏量就是企业的总收益与总成本相等的产量.即收益恰好等于补偿总
17、成本的产量.在图1.18中，即收益曲线TR与总成本曲线TC的交点的横坐标x0.图1.18 例 设生产某种商品x件时的总成本为 若每售出一件该商品的收入是20万元，求生产20件时的总利润L和平均利润 ； 求经济活动的保本点； 若每天销售40件商品，为了不亏本，单价应定为多少？ 解 已知总成本函数为C(x)，又由题意知P=20万元，故售出x件商品时的总收入函数为 由此，有 当x=20时，总利润为即 所谓保本点，就是无盈亏点，可令 解得x1=1.15，x2=34.85. 因为L(x)是二次函数，当xx2时，都有L(x)0，这时生产经营是亏损的；当x1x0，这时生产经营是盈利的.因此x=2件和x=34
18、件是盈利的临界点，都可以是保本点，即无盈亏点.同时把(x1,x2)事实上即2,34称为盈利区间；0,1与35,+)称为亏损区间. 设单价定为P(万元)，销售40件的收入应为R=40P，这时的成本函数为 利润函数L=R(40)-C(40)=40P-900，为使生产经营不亏本，就必须使L=40P-9000，故得P22.5 万元. 所以只有当销售单价不低于22.5万元，才能不亏本. 1.2 函数的极限 1.2.1 极限概念 (1)两个引例 引例1 圆的面积问题. 从几何图形上看(图1.19)，内接正多边形的边数越多，它就越贴近于圆，当边数无穷无尽地增多时，它就无穷无尽地贴近于圆，这时内接正多边形的面
19、积，在无穷无尽地变化过程中就转化为圆的面积.图1.19图1.20 再从数量上来看，将内接正n边形分成n个全等的等腰三角形(图1.20)，等腰三角形OAB的顶角 ，OB边上高 ，于是OAB的面积为 ，而内接n边形的面积An等于OAB面积的n倍，故有 根据这一公式，可算出一系列内接正多边形的面积值如表1.2所示. 引例2 自由落体运动 在t=1 s时的速度问题. 我们知道，自由落体运动不是等速运动，它的速度是随时间而变化的，因此从第1 s末到第t s，物体下落的路程s(t)-s(1)与下落这段路程所需时间t-1的比值 现在从数量上来看，在时间间隔 1，t内的平均速度 是t的函数，当t 越接近于1时
20、，它的变化趋势怎样呢？计算一批数值如表1.3所示. (2)数列的极限 1)数列 定义1.4 定义在正整数集上的函数yn=f (n)(称为整标函数)，当自变量n按正整数1，2，3，依次增大的顺序取值时，函数值yn按相应顺序排成的一串有序数： 称为一个无穷数列，简称数列，记为yn或 f (n)，其中每一个数称为数列的项，yn=f (n)称为数列的通项.由定义可知，一个数列只要知道它的通项yn，这个数列立即就可写出. 2)数列的极限 一般地，若数列yn当n“无限增大”时，yn的值就“无限趋近”于某一常数A，则把A叫做数列yn的极限.记为 . 从图1.21可看出，当n无限增大时， yn的值无限趋近于1
21、，这意味着： 当n充分大时，动点yn与1可以任意地接近.即图1.21 可以任意地小，也就是说，只要n足够大时，就能使|yn-1|小于预先给定的无论多么小的正数. 由此可知，对于数列 ，不论给定一个多么小的正数，总存在正整数N(项数)，使得对于nN的一切yn，不等式|yn1|N的一切yn，不等式|ynA|恒成立，则A叫做数列yn当n时 的极限，或称数列yn收敛于A，记为 否则，就说数列yn的极限不存在或数列yn发散. 在数列极限定义中，必须注意： 正数任意给定这一要求至关重要，因为只有这样，不等式|ynA|N时，所有的无穷多个点(n，yn)全部落入带形域内，也即是yn落入A 的 邻域(A-，A+
22、)内，而在带形域外至多有有限个点，如图1.22所示.图1.22图1.23 (3)函数的极限 1)xx0时，函数f(x)的极限 定义1.6 若当x无限趋近于x0 (xx0)时，函数f(x)无限趋近于一个固定的常数A，则A叫做函数f(x)当xx0时的极限，记作 如图1.23所示， ，当x0时，AB无限趋近于常数0，从而 也无限趋近于0. 所以 同理可得： 2)极限 的几何意义 在几何图形上，函数极限 可表示为：当xx0时，曲线y =f (x)上的动点(x，f (x)无限地接近于定点(x0 ，A)，如图1.24所示.图1.24 当 时，称 存在，否则，称 不存在. 3)x时，函数f(x)的极限 定义
23、1.7 若当x的绝对值无限增大(|x|)时，函数f (x)无限趋近于一个固定常数A，则A叫做函数 f (x)当x 时的极限，记为 例如，设函数 ，当x 时，分母1+x2无限地增大，因而 无限地减小而趋近于零,故 =0 . 如图1.25所示，当点(x，y)沿曲线 向y轴左、右两侧无限地远离时，它就与x 轴(即y=0)无限逼近. 1.2.2 无穷小量与无穷大量 (1)无穷小量 1)无穷小量的概念 定义1.8 若函数f(x)当x* (*可以代表x0，x0-，x0+ ，图1.25 ，-，+)时以零为极限，即 ，则f(x)叫做x *时的无穷小量，简称无穷小. 2)无穷小的性质 性质1 有限个无穷小的代数
24、和仍为无穷小. 性质2 有限个无穷小的乘积仍为无穷小. 性质3 有界变量与无穷小量之乘积为无穷小.特别地，常量与无穷小的乘积仍为无穷小. 性质4 具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和，即 (常数)的充要条件为 3)无穷小的比较 定义1.9 设 (2)无穷大量 定义1.10 当x*时，若函数f (x)的绝对值| f (x)|无限增大，则称f(x)当x *时为无穷大量，简称无穷大，记为 1.2.3 极限的计算 (1)基本函数的极限 1)常数函数f(x)=C(C为常数)的极限 设x0为(-，+)内任一点，因无论x作何变化， f(x)始终为C，即有 ，故常数函数C的极限仍为C. 2)函数f(x)
25、=x的极限 设x0为(-，+)内任一点，有 ；又 ，这表明函数f(x)=x的变化趋势与自变量x的变化趋势一致，故函数f(x)=x的极限等于自变量x的极限. 3)两个重要极限 (2)极限的运算法则 定理1.1 (极限四则运算定理) 设 ，limx*g(x) ，则 (3)极限求法例题 例 求 . 解 因为当x2时，函数3x2,-2x,1都有极限，由定理1.1及其推论，以及基本函数极限 ， 有 例 求 解 因分母的极限为 limx1(5x-5)=limx15x-limx15=5limx ，所以不能直接用商的极限运算法则，但当x1的过程中x1，即(x-1)0，因而在分式中可以约去不为零的公因子，然后再
26、求极限，即 例 求下列极限. (4)连续复利 所谓复利问题：就是求对本利和的计算.现设本金为A0，年度为t.如果每年结算一次，年利率为r，则 如果每年结算次数n，则t 年后的本利和为 1.3 函数的连续性 1.3.1 连续函数的概念 定义1.11 设y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，若当自变量的增量x=x-x0无限趋近于零时，函数的相应增量y=f(x0+x)-f(x0)也无限趋近于零，即 则称函数y=f(x)在点x0处连续，x0叫y=f(x)的连续点,如图1.29所示.(1.14) 函数y=f(x)在点x0处连续的充要条件是y=f(x)在点x0处左连续同时右连续.即(1.13) 由函数y
27、=f(x)在点x0处连续的定义可知，函数y=f(x)在点x0处连续必须同时满足下面3个条件： f(x0)有意义，即f(x0)存在； 存在； . 例 讨论下列函数的连续性.图1.29 解因为x=1时，y无定义，又 ，故x=1是 的无穷间断点，如图1.30所示. 因x=0时 所以 limx0f( ，但它不等于f(0)=2，故x=0是 的间断点，并称这种极限值存在的间断点为第一类可去间断点，如图1.31所示.图1.30图1.31 1.3.2 连续函数的运算与性质 (1)连续函数的四则运算 定理1.2 若函数f(x)与g(x)在x=x0处连续,则f(x)g(x)；f(x)g(x)； 在x=x0处均连续
28、. (2)初等函数的连续性 定理1.3 一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 定理1.4 (有界定理) 若函数y=f(x)在闭区间a，b上连续，则f(x)在这个区间上有界. 定理1.5 (最值定理) 若函数y=f(x)在闭区间a，b上连续，则y=f(x)在此区间上一定有最大值与最小值，如图1.32所示. 定理1.6 (介值定理) 若函数y=f(x)在闭区间a，b上连续，m与M分别为f(x)在a，b上的最小值与最大值，则对介于m与M之间的任一实数c(mcM)，至少存在一点(a，b)，使得f()=c，如图1.33所示.图1.32图1.33 (4)连续函数的零点定理与求根的二分法 1)连续函数的零
29、点定理 定理1.7 设y=f(x)在闭区间a，b上连续，且f(a)f(b)log2 =7.965 8，故八次二分区间后所得区间的中点1.325 3必是满足要求精度的方程根的近似值. 通过此例的分析可知，对于任何求解精度，由初始区间a0，b0开始二分区间，最后只需n=log2(b0-a0)-log2(2)次二分区间，便可达到精度要求. 2.1 导数概念 2.1.1 引例 引例1 变速直线运动的瞬时速度. 若物体作匀速直线运动，则物体在任何时刻的速度都等于运动路程除以运动时间但若物体做非匀速直线运动，且知其运动规律为ss(t)，应如何求它在tt0时的瞬时速度呢？这个问题可以通过下述办法解决： 当时
30、间t从t0变到t0t时，物体所经过的路程为第2章 微分学及其应用 于是，在t时间内物体的平均速度为 引例2 产品总成本的变化率. 设某产品的总成本C随产量x而确定，则C是x的函数，记作CC(x)(x0)，通常称它为成本函数试求产量为x0个单位时，总成本的变化率 当产量x从x0变化到x0 x时，总成本取得相应的改变量 于是，在产量x由x0变到x0 x时，总成本的平均变化率为 显然，当x时，极限值 就可认为是产量为x0个单位时总成本的变化率 2.1.2 导数定义 定义2.1 设函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，当自变量x在x0处取得增量x(0)时，函数f(x)取得相应的增量y=f(x0 x
31、)f(x0)，如果当x时，比值 的极限存在，则称函数f(x)在点x0处可导，并把该极限叫做函数y=f(x)在点x0处的导数，记作f (x0)，即 也可记作 . 如果此极限不存在，则称函数y=f(x)在x0处不可导 由导数定义还可将求导数方法概括为以下三步： 算增量：y = f(x0 x)f(x0)； 写比值： ； 求极限： . 例 求函数 1) 在点x = 1处的导数 解 2.1.3 导数的几何意义 如图2.1所示，设P(x0，f(x0) 为曲线y = f (x)上一点，当自变量在x0处取得增量x时，在曲线y=f(x)上相应得到另一点Q(x0 x)，f (x0 x)，连接这两点得割线PQ，设其
32、倾角为，则割线PQ的斜率为：图2.1 即平均变化率 表示割线PQ的斜率 2.1.4 函数可导与连续的关系 定理2.1 若函数y=f(x)在点x0处可导，则y=f(x)在点x0处连续反之不真. 例 设 ，判断f(x)在 x = 0处的连续性及可导性 解 故 ，又f(0)=0，所以f(x)在x=0处连续. 可知f +(0)f -(0),即 f(x)在 x = 0处不可导 2.2 求导方法 2.2.1 导数定义求导法 例 设y=f (x)=c (c为常数)，求y 解 因为y=f (xx)f(x) =cc=0所以即 例 设y=sin x，求y 解 2.2.2 四则运算求导法 定理2.2 设函数u(x)
33、与v(x)在x处可导，则(uv),uv, 在x处可导，且 例 已知 ，求y 解 2.2.3 反函数求导法 定理2.3 设函数x= (y)在某一区间内单调、连续、可导，且 (y)0，则其反函数y=f(x)在对应区间内可导，且 换句话说：即反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 例 设y=arcsin x(1x1)，求y 解 因为y=arcsin x(x) 与 互为反函数，由反函数求导法，得即类似地 2.2.4 复合函数求导法 (1)复合函数求导 定理2.4 设函数u= (x)在点x处可导，函数y=f(u)在对应点处可导，则复合函数y=f (x)在点x处可导，且 设 则复合函数 的导数为 或 例 设
34、y=(2x1)3，求y 解 设u=2x1，则y=(2x1) 3可看成由y=u3和u=2x1复合而成，由复合函数求导法则得 例 设y=sin e-x，求y. 解 (2)隐函数求导法 求隐函数F(x，y)=0的导数，一般是将方程两端同时对自变量x求导，遇到含y的项就把它看成是x的函数y(x)，同时利用复合函数的求导法则，然后从所得的关系式中解出y，就得到所求隐函数的导数 例 求由方程 所确定隐函数的导数y与y(0) 解 将xyexey=0两边同时对x求导数，并注意到y是x的函数，ey是x的复合函数于是有 解出y，得 又将x=0代入方程xyexey=0，得y=0. 所以 . *(3)对数求导法 具体
35、做法是：先取对数，然后按隐函数求导法则求导. 例 设 ，求y 解 方程两边取自然对数 由隐函数求导法则，将上式两边同时对x求导得 解出y，得 即 2.2.5 初等函数求导公式 (1)导数基本公式 (2)函数和差积商求导法则 (3)反函数求导法则 设y=f(x)是x= (y)的反函数，则 即 (4)复合函数求导法则 设y=f(u)，u= (x)，则复合函数y=f (x)的导数为 或 2.2.6 高阶导数求法 二阶及二阶以上的导数，统称为高阶导数从高阶导数的定义可知，要求函数y=f(x)的高阶导数，只要反复运用求导方法，逐阶求导即可 例 求y=x32x23x7的各阶导数 解 例 求y=sin x的
36、n阶导数 解 所以 同理 2.3 微分 2.3.1 微分概念 引例1 一正方形金属板因受热而膨胀，其面积A=A(x)=x2，当边长由x变到x+x，求面积改变量A的近似值图2.3 解 相应的面积改变量为 第一部分2xx是x的线性函数，其系数2x正好是A=x的导数，即图23中画斜线的那两个矩形面积之和；第二部分(x)，因 ，所以(x)是x的高阶无穷小，即图2.3中画网线的小正方形的面积 定义2.2 若函数y=f(x)在点x处有导数f (x)，则 f (x)x叫做函数y=f(x)在点x处的微分，记作dy 或df(x)，即或 例 求函数y=x21当x由1变到1.01时的增量y与微分dy 解 因为 2.
37、3.2 微分的几何意义 函数y=f(x)的微分dy的几何意义是：函数y=f(x)的图形在(x，f(x)点处所引切线在区间x，x +x上的纵坐标的增量 2.3.3 微分的运算 例 设y=x2ln x2cos x，求dy 解： 2.4 导数的应用 2.4.1 微分中值定理 定理2.5 (拉格朗日中值定理) 设函数y=f(x)在闭区间a，b上连续，开区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点，使得 推论1 设 f(x)=0，则 f(x)=C,x(a,b) 推论2 设 f(x)=g (x),则 f(x)-g(x)=C,x(a,b) 2.4.2 罗彼达法则也可写成 f (b) -f (a)=f
38、() (b-a) (ab) (2.11) 例 求 . 解 定理2.6 (罗彼达法则) 设函数f(x)，g(x)满足下列条件： 例 求 解 2.4.3 函数的性态 (1)函数的增减性 定理2.7 设函数f(x) 在a，b上连续，在(a，b)内可导 )若在(a，b)内f (x)，则f(x)在a，b上单调增加 )若在(a，b)内f (x)，则f(x)在a，b上单调减少 例 讨论函数y=f(x)=x-x的增减性 解 令 解之，有x= - 1，1 当- x - 或 x+时，有y，从而函数在区间(- ，-)和(1，+)内单调增加 当- 1x1时，y 0，从而函数在区间 (- 1，1)内单调减少，如图2.7
39、所示.图2.7 (2)函数的极值 定义2.3 设函数f(x)在x0的某邻域内有定义，如对于这邻域内任一点x都有f(x)f(x0)，则称f(x0)是f(x)的一个极大值如对于这个邻域内任一点x都有 f(x) f(x0) ，则称f(x0)是f(x)的一个极小值 定理2.8 (极值判定定理) 设函数f(x)在点x0的某个邻域内可导，且f (x0)=, 1)若x x0时，f(x)；x x0时，f(x)，则f (x)在x0处取得极大值 2)若x x0时，f(x)； x x0时，f(x)，则f (x)在x0处取得极小值 3)若在x0的两侧，f (x)保持同号，则f(x)在x0处没有取得极值 例 求函数f(
40、x)=(x-)2(x-) 3的极值 解 第一步：求导数 第二步：求驻点，令f (x)=，即 解得驻点 第三步：判极值，列表2.1讨论f (x)的符号变化，确定f(x)的极值. 由表2.1可知，f (x)有： 极大值f()=，极小值 f (x)在x=的两侧均单调增加，所以f(x)在x=处无极值 *(3)曲线的凹向性与拐点 定义2.4 若曲线弧位于(a，b)上每一点处切线的上方，就称曲线在(a，b)上是上凹的(或凹的，或凹向向上)；若曲线弧位于(a，b)上每一点处切线的下方，就称曲线在(a，b)上是下凹的(或凸的，或凹向向下)；且曲线上上凹与下凹部分的分界点称为该曲线的拐点 根据 f(x)的符号给
41、出判定函数图形的凹向性及拐点的法则 定理2.9 设函数 f(x)在(a，b)内具有二阶导数 1)如在(a，b)上有 f(x)，则函数y=f(x)对应的曲线向上凹 2)如在(a，b)上有 f(x)，则函数y=f(x)对应的曲线向下凹 3)如x0(a，b)使 f(x0)=0，且在x0附近 f(x)变号，则点(x0，f(x0)是曲线y=f(x)的拐点，若在x0附近 f(x)不变号，则点(x0，f(x0)不是曲线y=f(x)的拐点 例 求曲线y=x4x3的增减区间、极值、凹向区间及拐点，并描出图形 解 为便于判定函数的增减区间、极值、凹向区间及拐点，将上述各根x1=，x2=23，x3= 依次插入函数定
42、义域(，+)，将其分成四个区间，列出表2.2讨论 由表2.2知：减区间为(，)，增区间为(，)；上凹区间为 ，下凹区间为 ；拐点为 ；极小点为x=，极小值为y()=，见图2.9图2.9 2.4.4 导数在经济分析中的应用 (1)最值应用问题 求函数最值的做法如下： 1求使 f (x)=和 f (x)不存在的x值，并求出相应于这些x的函数值； 2计算端点函数值 f(a)与 f(b)； 3比较 f(a) ， f(b)和1中求出的函数值的大小，其中最大者就是函数在a，b上的最大值；最小者就是最小值 例 (节约原材料问题) 要做一个容积为V的圆柱形罐头筒，如何设计才能使所花材料最省? 解 要使材料最省
43、，就是要罐头筒的总表面积最小设罐头筒的底半径为r，高为h，如图2.13所示，它的侧面积为2rh，底面积为r2，因此总表面积为 由体积公式V=r2h，有 所以图2.13 令S=，得驻点 由于 ,因此S在 处取得极小值，也就是最小值这时相应的高为 (2)边际分析 边际成本 设C= C(x)是某产品的总成本函数，其中x为产品量，则称总成本C对产量x的导数C(x)为产量x单位时的边际成本相应曲线称为边际成本 于是，当所做罐头筒的高和底直径相等时所花材料 最省。 曲线，常记作MC边际成本的经济意义是：边际成本C(x)近似地等于在产量x单位的水平上再生产一个单位产品所增加的成本或者说，C(x)近似地等于第
44、x个单位产品的成本. 边际收益 设R= R(x)是某产品的总收益函数，其中x为产量，则称R对产量x的导数R(x)为产量x单位时的边际收益相应曲线称为边际收益曲线，常记作MR边际收益的经济意义是：边际收益R(x)近似地等于在产量x单位的水平上再生产一个单位的产品所增加的收益或者说，R(x)近似地等于第x个单位产品的收益 边际利润 设L= L(x)是某产品的总利润函数，其中x为产品量，则称总利润L对产量x的导数L(x)为产量x单位时的边际利润相应曲线称为边际利润曲线，常记作ML边际利润的经济意义是：边际利润L(x)近似地等于在产量x单位的水平上再生产一个单位的产品所增加的利润或者说，L(x)近似地
45、等于第x个单位产品的利润 边际需求 设Q= Q(P)是某商品的需求函数，其中P为商品的价格,则称需求量Q对价格P的导数Q(P)为价格P单位时的边际需求，相应曲线称为边际需求曲线，常记作MQ边际需求的经济意义是：边际需求Q(P)近似地等于价格在P货币单位的水平 上，再增加一个货币单位所增加的需求量也称P=P(Q)的导数P(Q)为边际价格它近似地等于销售量在Q的水平上，再增加一个单位的销售量所增加的价格 例 已知某商品的成本函数和收益函数各为： 其中x是商品的销售量，试求该商品的边际成本、边际收益和边际利润 解 边际成本是成本函数的导数，故商品的边际成本为： 边际收益是收益函数的导数，故商品的边际
46、收益为 因利润函数等于收益函数减去成本函数，即 边际利润是利润函数的导数，故商品的边际利润为： 实际上 (3)弹性分析 1) 定义2.5 设函数y=f(x)在x处可导，称两个相对改变量 之比值，当x时的极限(如存在的话)为函数y=f(x)在x处的弹性(或相对变化率)，记为，有即 2)几个常用经济量的弹性 需求弹性 需求函数是受多因素(如该商品的价格、消费者的收入水平，其他代用品价格等)的影响，这里仅考虑价格这一主要因素，设商品需求函数为Q=Q(P)， 且在P处可导(其中P为价格、Q为需求量)，则称 为该商品在P处的需求弹性，或称需求Q对价格P的弹性. 例 设某商品需求量对价格的函数关系为 试求
47、需求量Q对价格P的弹性，并说明其经济意义 解 根据需求弹性定义：有 即 其经济意义：表示当价格P上涨(或下跌)1%时，需求量Q近似减少(或增加)1.1P% 收入弹性 设R=R(x)是某产品的总收益函数(其中x为产量)，且在点x处可导，则称 为该产品在点x处的收入弹性，其经济意义的解释留给读者完成 例 设某种商品的销售额R与价格P之间的函数关系为 试求，当价格P=1.00元与1.50元水平时，销售额函数的弹性，并说明其经济意义 解 由弹性定义有 当 P=1.00元时， ； 当 P=1.50元时， . 其经济含义是：当价格在1.00元水平时，价格上涨1，该商品的销售额还可增加0.48；但当价格在1
48、.50元水平时，价格上涨1%，该商品的销售额将下降0.047 成本弹性 设C=C(x)是某产品的总成本函数(其中x为产品量)，且在点x处可导，则称 为该商品在点x处的成本弹性其经济意义的解释留给读者 函数弹性的图解法 设函数y=f(x) 的曲线已作出，A(x0，y0)为该曲线上一点，由弹性定义有 由图2.17知： 其中1为过A点的切线AB与x轴的夹角又图2.17 其中2为OA与x轴的夹角，结合以上三式得 从而得出y=f(x) 在x0处弹性的几何图解法步骤： 第一步,作出y=f(x) 的曲线； 第二步,过曲线上点A(x0，y0)分别作切线AB与线段OA，得到其与x轴夹角1与2； 第三步,按公式
49、求出弹性 2.5 多元函数微分学 2.5.1 偏导数与全微分概念 (1)二元函数的连续性 偏导数的研究基础是多元函数这里以二元函数为主 定义2.6 设某研究过程中有三个变量x，y，z，若当变量x，y在其变化范围内任取一对数值时，变量z按照一定法则总有确定的数值与之对应，则称z叫x，y的二元函数，记作 定义2.7 设z=f(x，y)在点P0(x0，y0)及其附近有定义，点P (x0 x，y0 +y)为P0点附近的另一点，当x0，y0 (即PP0)，若增量 满足 则称z=f(x，y)在点P0(x0，y0)处连续，且P0 (x0，y0)称z=f(x，y)的连续点 (2)偏导数 定义2.8 若 存在，
50、则称此极限为f(x，y)关于x的偏导数，记为 或 zx ,即 或记为 .类似地，称 为f (x，y)关于y的偏导数，记为 或zy ,即 例 设z=x2y23xy3，求 ， 及其在点(1，2)的值 解 对x求偏导，把y视为常量，有 对y求偏导，把x视为常量，有 例 求f(x，y)=y2 sin x2xey 的偏导数 解 (3)全微分 若函数z=f(x，y)在点(x，y)的某一邻域内有连续的偏导数 ， ，则规定z= f (x，y)在点(x，y)处的全微分为 或 例 求z=x2y2cos xy的全微分 解 因为 且它们在全平面上连续 所以 2.5.2 二元函数极值 定理2.10 (二元函数极值判定法
