1、歐亞書局微積分精華版第九版面積與微積分基本定理6.4歐亞書局歐亞書局歐亞書局6.4 面積與微積分基本定理面積與微積分基本定理學習目標 求定積分值。 利用微積分基本定理求定積分值。 利用定積分求解邊際分析的問題。 求函數在閉區間的平均值。 利用偶函數與奇函數的性質求定積分。 求年金。P.6-27第六章積分與其應用第六章積分與其應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局面積與定積分面積與定積分 在幾何學中，面積為定義某個區域大小的數值，矩形、三角形和圓形的簡單區域都有面積公式。 本節將學習以微積分來計算不規則形狀的面積，如圖 6.5 中區域R 的面積。P.6-27第六章積分與其應用第六章積分與其應用歐亞書局歐亞
2、書局歐亞書局面積與定積分面積與定積分P.6-27第六章積分與其應用第六章積分與其應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局面積與定積分面積與定積分P.6-27 圖圖6.5第六章積分與其應用第六章積分與其應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 1求定積分值求定積分值 求定積分 。P.6-27第六章積分與其應用第六章積分與其應用202xdx歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 1求定積分值求定積分值 （解解） 代表圖形 f(x) 2x、x 軸與直線 x 2 所圍成區域的面積，如圖 6.6 所示。這區域的形狀為三角形，高為 4 且底為 2。利用三角形的面積公式可求得P.6-27第六章積分與其應用第六章積分與其應用201
3、12()()( )(4)4222xdx 底 高歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 1求定積分值求定積分值 （解解）P.6-27 圖圖6.6第六章積分與其應用第六章積分與其應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局檢查站檢查站 1 以幾何的面積公式來求定積分 ，並以簡圖來驗證答案。P.6-27第六章積分與其應用第六章積分與其應用304xdx歐亞書局歐亞書局歐亞書局微積分基本定理微積分基本定理 函數 A(x) 為圖 6.7 中陰影區域的面積。 欲知 A 和 f 的關係，可令 x 的增加量為 x，則面積的增加量為 A，再令 f(m) 和 f(M) 分別代表 f 在閉區間 x, x x 的極小值與極大值。P.6-28
4、第六章積分與其應用第六章積分與其應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局微積分基本定理微積分基本定理P.6-28 圖圖6.7第六章積分與其應用第六章積分與其應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局微積分基本定理微積分基本定理P.6-28 圖圖6.8第六章積分與其應用第六章積分與其應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局微積分基本定理微積分基本定理 依圖 6.8，可建立下列的不等式。P.6-28第六章積分與其應用第六章積分與其應用 000 ( ) () ( ) () lim( )limlim() ( ) ( ) ( ) 6.8 ( )xxxf mxAf MxAf mf MxAfxmf Mxf xA xA xf x 參見圖每項除以每
5、項取極限導數的定義歐亞書局歐亞書局歐亞書局微積分基本定理微積分基本定理 故 f (x) = A (x) 和 A(x) = F (x) + C，其中 F (x) = f (x) 。因為 A (a) = 0，可得 C = F (a)，所以 A (x) = F (x)F (a)，即由上面的方程式可知，若能找到 f 的反導數，即可利用該反導數來計算定積分 ，此結果稱為微積分基本定理微積分基本定理 (Fundamental Theorem of Calculus)。P.6-28第六章積分與其應用第六章積分與其應用( )( )( )( )baA bf x dxF bF a( )baf x dx歐亞書局歐亞
6、書局歐亞書局微積分基本定理微積分基本定理P.6-28第六章積分與其應用第六章積分與其應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局微積分基本定理微積分基本定理P.6-29第六章積分與其應用第六章積分與其應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局微積分基本定理微積分基本定理 在微積分基本定理的推導過程中，假設 f 在閉區間 a, b 為非負值，則定積分就是面積。如今，這個定理可放寬定義，使得函數f 在閉區間 a, b 可部分或全部為負值。更具體的說，若 f 為在閉區間 a, b 的任一連續函數，則從 a 到 b 的定積定積分分可記為其中 F 為 f 的反導數。請注意，定積分不一定代表面積，它可以是負數、零或正數。P.6-29第
7、六章積分與其應用第六章積分與其應用( )( )( )baf x dxF bF a歐亞書局歐亞書局歐亞書局微積分基本定理微積分基本定理P.6-29第六章積分與其應用第六章積分與其應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局 請確實了解不定積分與定積分的差異。不定積分表示一個函數族，每個成員都是 f 的反導數，然而定積分則是一個數值。學習提示學習提示( )f x dx( )baf x dxP.6-29第六章積分與其應用第六章積分與其應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 2以微積分基本定理求面積以微積分基本定理求面積 求 x 軸與函數圖形 f(x) x2 1，1 x 2 所圍成區域的面積。P.6-30第六章積分與其
8、應用第六章積分與其應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 2以微積分基本定理求面積以微積分基本定理求面積（解解） 如圖 6.9 所示，在區間 1 x 2，f(x) 0。故可用定積分來表示該區域的面積，再用微積分基本定理即可求得此面積。 所以，該區域的面積為 平方單位。P.6-30第六章積分與其應用第六章積分與其應用12233312(1) 3 33224 1 ()332123xdxxx 定積分的定義 求反導數應用微積面積 分基本定理 化簡43歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 2以微積分基本定理求面積以微積分基本定理求面積（解解）P.6-30 圖圖6.9第六章積分與其應用第六章積分與其應用歐亞書局歐
9、亞書局歐亞書局檢查站檢查站 2 求 x 軸與函數圖形f(x) x2 1，2 x 3所圍成區域的面積。P.6-30第六章積分與其應用第六章積分與其應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局學習提示學習提示 在求定積分時，很容易就將正負號弄錯，建議將反導數的積分上下限標示在不同的括號中，如範例 2 所示。P.6-30第六章積分與其應用第六章積分與其應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 3求定積分求定積分 求定積分 ，並畫出此積分所代表面積的區域。P.6-30第六章積分與其應用第六章積分與其應用120(41)tdt歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 3求定積分求定積分 （解解） 此區域的圖形如圖 6.10 所示。P
10、.6-30第六章積分與其應用第六章積分與其應用11220013 03 1(41)(41) (4)41 (41) 43151 4331 124 4331 34tdttdtt 同時乘除以求反導數應用微積 分基本定理 化簡歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 3求定積分求定積分 （解解）P.6-30 圖圖6.10第六章積分與其應用第六章積分與其應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局檢查站檢查站 3 求 。P.6-30第六章積分與其應用第六章積分與其應用130(23)tdt歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 4求定積分求定積分 求下列定積分。P.6-31第六章積分與其應用第六章積分與其應用324201113xe dt
11、dxxdxxa. b. c. 歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 4求定積分求定積分 （解解）33226000221111()201.21221lnln2ln1ln20.69xxe dxeeedxxxa. =b. P.6-31第六章積分與其應用第六章積分與其應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 4求定積分求定積分 （解解）441/21143/2143/213/23/233 3 3/ 2 2 2(41) 2(8xdxxdxxx c. 將指數改寫成分數求反導數應用微積分基本定理1) 14 化簡P.6-31第六章積分與其應用第六章積分與其應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局學習提示學習提示 請注意，範例 4(
12、c) 的定積分之值為負數。P.6-31第六章積分與其應用第六章積分與其應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局檢查站檢查站 4 求下列定積分。P.6-31第六章積分與其應用第六章積分與其應用140521xe dxdxxa. b. 歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 5絕對值的解釋絕對值的解釋 計算 。P.6-31第六章積分與其應用第六章積分與其應用2021xdx歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 5絕對值的解釋絕對值的解釋 （解解） 該定積分代表的區域畫在圖 6.11，由於絕對值的意義為P.6-31第六章積分與其應用第六章積分與其應用1212(21), 2121, xxxxx歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例
13、5絕對值的解釋絕對值的解釋 （解解）P.6-31 圖圖6.11第六章積分與其應用第六章積分與其應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 5絕對值的解釋絕對值的解釋 （解解） 再利用定積分的性質 3，將積分改寫成兩個定積分的和。P.6-31第六章積分與其應用第六章積分與其應用21/22001/21/2222 01/2 21(21)(21) 11115 (00)(42)42422xdxxdxxdxxxxx 歐亞書局歐亞書局歐亞書局檢查站檢查站 5 求 。P.6-31第六章積分與其應用第六章積分與其應用502xdx歐亞書局歐亞書局歐亞書局邊際分析邊際分析 在介紹導數與微分量時 (3.3 與 4.8 節)
14、，我們討論過邊際分析。在給定成本、收入或利潤函數時，導數可用來估算多生產或銷售一單位產品時的額外成本、收入或利潤。本節則採反向推算；即給定邊際成本、邊際收入或邊際利潤，在多銷售一單位或幾個單位時，以定積分來計算成本、收入或利潤的實際增加量或減少量。P.6-316-32第六章積分與其應用第六章積分與其應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局邊際分析邊際分析 譬如，我們想求得銷售量從 x1 增加到 x2 時的額外收入，若已知收入函數 R，只要將 R(x2) 減去 R(x1)；若不知收入函數，可以利用邊際收入函數 dR/dx，以定積分來求得額外的收入。P.6-32第六章積分與其應用第六章積分與其應用2121()
15、()xxdRdxR xR xdx歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 6分析利潤函數分析利潤函數 某產品的邊際利潤函數可表示為a. 求銷售量從 100 增加到 101 時的額外利潤。b. 求銷售量從 100 增加到 110 時的額外利潤。P.6-32第六章積分與其應用第六章積分與其應用0.000512.2dPxdx 歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 6分析利潤函數分析利潤函數 （解解）a. 當銷售量從 100 增加到 101 時的額外利潤為P.6-32第六章積分與其應用第六章積分與其應用1011011001001012100( 0.000512.2) 0.0002512.2 $12.15dPdxx
16、dxdxxx 歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 6分析利潤函數分析利潤函數 （解解）b. 當銷售量從 100 增加到 110 時的額外利潤為P.6-32第六章積分與其應用第六章積分與其應用1101101001001102100( 0.000512.2) 0.0002512.2 $121.48dPdxxdxdxxx 歐亞書局歐亞書局歐亞書局檢查站檢查站 6 某產品的邊際利潤函數可表示為a. 求銷售量從 100 增加到 101時的額外利潤。b. 求銷售量從 100 增加到 110時的額外利潤。P.6-32第六章積分與其應用第六章積分與其應用0.000214.2dPxdx 歐亞書局歐亞書局歐亞書局平
17、均值平均值 函數在某閉區間的平均值的定義如下：在 4.5 節提到以平均成本函數來計算生產量對成本的影響，下個例子將以積分來求得平均成本，來計算時間對成本的影響。P.6-326-33第六章積分與其應用第六章積分與其應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 7求平均成本求平均成本 在兩年期間內，生產 MP3 播放機的單位成本 c 可表示為c = 0.005t2 + 0.01t + 13.15, 0 t 24其中 t 是時間 (月)。試估算這兩年內的單位平均成本。P.6-33第六章積分與其應用第六章積分與其應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 7求平均成本（求平均成本（解解） 單位平均成本可由對 c 在
18、 0, 24 積分來算出，P.6-33第六章積分與其應用第六章積分與其應用2420243201(0.0050.0113.15)2410.0050.01 13.1524321 (341.52)24 $14.23 (6 .12)ttdtttt單位平均成本參見圖歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 7求平均成本（求平均成本（解解）P.6-33 圖圖6.12第六章積分與其應用第六章積分與其應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局檢查站檢查站 7 生產直排輪的單位成本 c 可表示為c 0.005t2 0.02t 12.5，0 t 24，其中 t 時間 (月)，試估算這兩年內的單位平均成本。P.6-33第六章積分與其應用
19、第六章積分與其應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局平均值平均值 若要確認範例 7 所算出的平均值是否合理，可使用試算表軟體，如圖所示，試算表假設從剛開始t 0 到結束 t 24，每個月只生產一單位的產品，當 t 0 時，成本為c = 0.005(0)2 + 0.01(0) + 13.15 = $13.15當 t 1 時，成本為c = 0.005(1)2 + 0.01(1) + 13.15 $13.17P.6-33第六章積分與其應用第六章積分與其應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局平均值平均值P.6-33第六章積分與其應用第六章積分與其應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局平均值平均值P.6-33第六章積分與其應用第六章
20、積分與其應用 以此類推。請注意，從試算表的結果可知每個月的成本是遞增的，其 25 個月的平均值為 $14.25。所以，範例 7 的單位平均成本是合理的。歐亞書局歐亞書局歐亞書局偶函數與奇函數偶函數與奇函數 幾個常見的函數圖形往往對稱於 y 軸或原點，參見圖 6.13；若f 的圖形對稱於 y 軸，如圖 6.13(a) 所示，則f(x) f(x) 偶函數且 f 稱為偶函數 (even function)；若 f 的圖形對稱於原點，如圖 6.13(b)所示，則f(x) f(x) 奇函數且 f 稱為奇函數 (odd function)。P.6-33第六章積分與其應用第六章積分與其應用歐亞書局歐亞書局歐
21、亞書局偶函數與奇函數偶函數與奇函數P.6-34 圖圖6.33第六章積分與其應用第六章積分與其應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局偶函數與奇函數偶函數與奇函數P.6-34第六章積分與其應用第六章積分與其應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 8偶函數與奇函數的積分偶函數與奇函數的積分 求下列定積分。P.6-34第六章積分與其應用第六章積分與其應用222322x dxx dxa. b. 歐亞書局歐亞書局歐亞書局a. 因為 f(x) x2 為偶函數，故b. 因為 f(x) x3 為奇函數，故範例範例 8偶函數與奇函數的積分偶函數與奇函數的積分（解解）23222220023281622203330 xx dxx
22、 dxx dxP.6-34第六章積分與其應用第六章積分與其應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局檢查站檢查站 8 計算下列定積分。P.6-34第六章積分與其應用第六章積分與其應用141151x dxx dxa. b. 歐亞書局歐亞書局歐亞書局年金年金 在一時段內，定時地以相同金額付款，稱為年年金金 (annuity)。年金的例子可為薪資儲蓄規劃、房屋貸款月付額，及個人退休帳戶等。年金終年金終值值 (amount of annuity) 為全部支付額再加上利息所得，可由下列的方法算出。P.6-34第六章積分與其應用第六章積分與其應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局年金年金P.6-35第六章積分與其應用第六章積分與
23、其應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 9求年金終值求年金終值 若每年以 $2,000 存入 15 年期，年利率為 5% 且連續複利的個人退休帳戶 (IRA)，則 15 年後的 IRA 帳戶餘額為何？P.6-35第六章積分與其應用第六章積分與其應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 9求年金終值求年金終值 （解解） 每年存入的所得函數為 c(t) 2000，則 15 年後的年金終值為P.6-35第六章積分與其應用第六章積分與其應用015(0.05)(15)0.050150.050.750( ) 2000 20000.05 $44,680.00TrTrtttec t edteedtee年金終值歐亞書局歐亞書局歐亞書局檢查站檢查站 9 若每年以 $1000 存入 10 年期，年利率為 4% 且連續複利的儲蓄帳戶，則 10 年後帳戶有多少錢？P.6-35第六章積分與其應用第六章積分與其應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局總結總結 (6.4 節節)1. 寫出定積分的定義，參考範例 1。2. 寫出微積分基本定理，參考範例 2 和 3。3. 寫出定積分的性質，參考範例 4 和 5。4. 寫出函數平均值的定義，參考範例 7。5. 寫出對偶函數與奇函數積分的法則，參考範例 8。P.6-35第六章積分與其應用第六章積分與其應用
