1、教师：冯弢教师：冯弢办公室：机械楼办公室：机械楼N202Email:1. 数学建模的概念和步骤数学建模的概念和步骤 1.1. 数学建模的概念数学建模的概念 1.2. 数学建模的步骤数学建模的步骤 1.3. 一个数学建模实例一个数学建模实例 1.4. 数学模型的分类数学模型的分类 1.5 . 数学建模竞赛介绍数学建模竞赛介绍 数学建模，简单地讲就是用数学的知识和方法去数学建模，简单地讲就是用数学的知识和方法去解决实际问题解决实际问题. 一个简单的例：甲乙两地相距一个简单的例：甲乙两地相距750公里，船从甲公里，船从甲到乙顺水航行要到乙顺水航行要30 小时，从乙到甲逆水航行要小时，从乙到甲逆水航行
2、要50 小时，问船速、水速是多少？小时，问船速、水速是多少？ 解：设解：设x为船速，为船速，y为水速，有为水速，有 (x + y) 30 = 750 (x - y) 50 = 750 解之解之 x = 20 ，y = 5.1.1 数学建模的概念数学建模的概念 原型原型 : 人们在现实世界中关心、研究、或从事生人们在现实世界中关心、研究、或从事生产、管理的实际对象产、管理的实际对象. 模型模型 : 为了某个特定的目的，将原型的某一部分为了某个特定的目的，将原型的某一部分信息进行简化、提炼而构成的原型替代物信息进行简化、提炼而构成的原型替代物. 模型可以有很多类型：直观模型、物理模型、思模型可以有
3、很多类型：直观模型、物理模型、思维模型、数学模型等维模型、数学模型等. 数学模型：由数字、字母或其他数学符号组成，数学模型：由数字、字母或其他数学符号组成， 描述实际对象数量规律的数学公式、图形或算法描述实际对象数量规律的数学公式、图形或算法 注：并非所有实际问题都可通过数学建模求解注：并非所有实际问题都可通过数学建模求解.几个相关的概念几个相关的概念现实对象信息数学模型数学模型的解答现实对象的解答求解演绎解释验证现实对象与数学模型的关系现实对象与数学模型的关系基于合理的假设基于合理的假设通过数学语言来通过数学语言来“描述实际现象描述实际现象”“近似实际问题近似实际问题”建模的目的建模的目的是
4、解决实际是解决实际问题问题, 实践实践是检验模型是检验模型好坏的唯一好坏的唯一标准标准 另一个简单的例：一个笼子装有鸡和兔若干只，另一个简单的例：一个笼子装有鸡和兔若干只，已知它们共有已知它们共有8个头和个头和22只脚，问该笼子中有多少只脚，问该笼子中有多少只鸡和多少只兔？只鸡和多少只兔？ 解：设笼中有鸡解：设笼中有鸡x只，有兔只，有兔y只，有只，有 x + y = 8 2x + 4y = 22 解之解之 x = 5 ，y = 3.1.2 数学建模的步骤数学建模的步骤根据问题的背景和建模的目的做出假设根据问题的背景和建模的目的做出假设用字母表示要求的未知量用字母表示要求的未知量根据已知的常识列
5、出数学式或图形等根据已知的常识列出数学式或图形等求出数学式子的解答求出数学式子的解答验证所得结果的正确性验证所得结果的正确性数学建模的步骤：数学建模的步骤：模型准备模型准备 模型假设模型假设 模型构成模型构成 模型验证模型验证 模型分析模型分析 模型求解模型求解 模型应用模型应用数学建模的步骤：数学建模的步骤：椅子能在不平的地面上放稳吗？椅子能在不平的地面上放稳吗？把椅子往不平的地面上一放，通常把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍挪动几次，就需稍挪动几次，就 可以使四只脚同可以使四只脚同时着地，放稳了时着地，放稳了.使用数学的语言，解释
6、这种现象！使用数学的语言，解释这种现象！1.3 一个数学建模实例一个数学建模实例模型假设模型假设: :1 1、椅子有四条腿且四条腿一样长、椅子有四条腿且四条腿一样长，椅子脚与地面接触可以视为，椅子脚与地面接触可以视为一个点，四脚连线是正方形一个点，四脚连线是正方形 ( (对椅子的假设对椅子的假设) )2 2、地面高度是连续变化的，沿任、地面高度是连续变化的，沿任何方向都不出现间断，没有像何方向都不出现间断，没有像台阶那样的情况，即地面可视台阶那样的情况，即地面可视为数学上的连续曲面为数学上的连续曲面 ( (对地面对地面的假设的假设) )3 3、地面相对平坦，椅子放在地面、地面相对平坦，椅子放在
7、地面上总至少可以有三只脚同时着上总至少可以有三只脚同时着地（对椅子和地面之间关系的地（对椅子和地面之间关系的假设）假设）模型构成模型构成: : 首先首先 用变量表示用变量表示“椅子的位置椅子的位置”. ”. 正方形绕中心的旋转正好代表了椅正方形绕中心的旋转正好代表了椅子位置的改变，于是可以用旋转子位置的改变，于是可以用旋转角度这一变量表示角度这一变量表示“椅子的位置椅子的位置”.”.ABCD图中图中A、B、C、D为椅子的为椅子的四只脚，坐标系原点选为椅四只脚，坐标系原点选为椅子中心，坐标轴选为其对角子中心，坐标轴选为其对角线线.模型构成模型构成: :其次其次 要用数学符号表示要用数学符号表示“
8、椅脚着地椅脚着地”. ”. 椅子在不同位置时椅脚着地与地面椅子在不同位置时椅脚着地与地面的距离不同，所以这个距离是椅的距离不同，所以这个距离是椅子位置变量子位置变量 的函数的函数. .虽然椅子有四只脚，因而虽然椅子有四只脚，因而有四个不同的距离，但由有四个不同的距离，但由于正方形的对称性，只要于正方形的对称性，只要设两个距离就行了设两个距离就行了. 记记 f( )为为A、C两脚与地两脚与地面的距离之和；面的距离之和；g( )为为B、D两脚与地面两脚与地面的距离之和的距离之和.ABCD模型构成模型构成: :f(f() )： A A、C C两脚与地面两脚与地面的距离之和；的距离之和；g(g() )
9、：B B、D D两脚与地面的距离之和两脚与地面的距离之和. . f( ) 0、 g( ) 0，都是，都是 的的连续函数连续函数 (由假设由假设2)对任意对任意 ，有，有f( )、 g( )中中至少有一个为至少有一个为0 (由假设由假设3)不妨设当不妨设当 = 0时，时，f( )0、 g( )=0故此本问题归为证明如下数故此本问题归为证明如下数学命题：学命题：ABCD数学命题数学命题 ( (本问题的数学模型本问题的数学模型):):已知已知f(f( ) )、 g( g( ) )都是关于都是关于 的非负连续的非负连续函数函数, ,如果对任意的如果对任意的 ，都有，都有 f( f( ) g() g(
10、) ) = 0= 0，且，且f(0) 0f(0) 0、 g(0) = 0 g(0) = 0 ，则存在，则存在 0 0，使，使f(f( 0) = g(0) = g( 0) = 0.0) = 0.ABCD模型求解模型求解: :证明：令证明：令h(h() = f() = f() - g() - g(),),由于由于h( )是闭区间是闭区间0, /2上上的连续函数，必存在的连续函数，必存在 0 (0, /2), 使使h( 0)=0，即存在即存在 0, 使使f( 0) = g( 0)=0.由由 f(0)0， g(0)=0 ，有，有h(0) 0. 将椅子旋转将椅子旋转90使得对角线使得对角线AC与与BD互
11、换互换, 有有 f(/2) =0， g(/2) 0, 因此因此 ， h(/2) 0ABCD1）按变量的性质分：）按变量的性质分：离散模型离散模型确定性模型确定性模型 线性模型线性模型单变量模型单变量模型连续模型连续模型随机性模型随机性模型 非线性模型非线性模型 多变量模型多变量模型2）按时间变化对模型的影响分：）按时间变化对模型的影响分：静态模型静态模型参数定常模型参数定常模型动态模型动态模型参数时变模型参数时变模型1.4 数学模型的分类数学模型的分类3）按模型的应用领域（或所属学科）分）按模型的应用领域（或所属学科）分:人口模型、交通模型、生态模型、城镇规划模型、人口模型、交通模型、生态模型
12、、城镇规划模型、水资源模型、再生资源利用模型、污染模型、水资源模型、再生资源利用模型、污染模型、生物数学模型、医学数学模型、地质数学模型、生物数学模型、医学数学模型、地质数学模型、数量经济学模型、数学社会学模型等数量经济学模型、数学社会学模型等.4）按建立模型的数学方法（或所属数学分支）分）按建立模型的数学方法（或所属数学分支）分:初等模型、几何模型、线性代数模型、微分方程模型、初等模型、几何模型、线性代数模型、微分方程模型、图论模型、马氏链模型、运筹学模型等图论模型、马氏链模型、运筹学模型等.5）按建模目的分）按建模目的分:描述性模型、分析模型、预报模型、优化模型、描述性模型、分析模型、预报
13、模型、优化模型、决策模型、控制模型等决策模型、控制模型等.6）按对模型结构的了解程度分）按对模型结构的了解程度分:白箱模型：其内在机理相当清楚的学科问题，包括白箱模型：其内在机理相当清楚的学科问题，包括力学、热学、电学等力学、热学、电学等.灰箱模型：其内在机理尚不十分清楚的现象和问题，灰箱模型：其内在机理尚不十分清楚的现象和问题，包括生态、气象、经济、交通等包括生态、气象、经济、交通等.黑箱模型：其内在机理（数量关系）很不清楚的现黑箱模型：其内在机理（数量关系）很不清楚的现象，如生命科学、社会科学等象，如生命科学、社会科学等.1983年，美国一些有识之士探讨组织一项应年，美国一些有识之士探讨组
14、织一项应用数学方面的竞赛的可能性用数学方面的竞赛的可能性. 经过论证、争论、经过论证、争论、争取资金等过程，争取资金等过程，1985年举行了美国第一届年举行了美国第一届大学生数学建模竞赛大学生数学建模竞赛, 它由美国工业与应用数它由美国工业与应用数学学会和美国运筹学学会联合主办学学会和美国运筹学学会联合主办.从从1985年起，每年举行一届，时间定为每年年起，每年举行一届，时间定为每年的二月的某个星期五到星期一举行的二月的某个星期五到星期一举行.美国大学生数学建模竞赛欢迎其他国家的大学美国大学生数学建模竞赛欢迎其他国家的大学组队参加，因此，在某种意义上它已经是国际组队参加，因此，在某种意义上它已
15、经是国际赛事了赛事了.1.5 数学建模竞赛介绍数学建模竞赛介绍通过数学建模竞赛活动，提高学生运用数学通过数学建模竞赛活动，提高学生运用数学理论和方法、利用文献、计算机等工具分析理论和方法、利用文献、计算机等工具分析和解决实际问题的能力，鼓励学生踊跃参加和解决实际问题的能力，鼓励学生踊跃参加课外科技活动，开拓知识面，丰富校园学术课外科技活动，开拓知识面，丰富校园学术氛围，培养学生的创新思维，合作精神氛围，培养学生的创新思维，合作精神. 促促进学科交叉进学科交叉.数学建模竞赛宗旨数学建模竞赛宗旨中国大学生数学建模竞赛中国大学生数学建模竞赛 1992年中国工业与应用数学学会年中国工业与应用数学学会(
16、CSIAM)开始组织开始组织 1994年起教育部高教司和年起教育部高教司和CSIAM共同举办共同举办(每年每年9月月) 网址：网址： 奖励：全国一等奖奖励：全国一等奖 (约约2%)、全国二等奖、全国二等奖 (约约7%) 教教育部高教司和育部高教司和CSIAM共同签章共同签章 1999年起竞赛分为甲组年起竞赛分为甲组(本科本科)、乙组、乙组(高职高专组高职高专组) 优秀论文刊登于次年工程数学学报优秀论文刊登于次年工程数学学报( 2000年前为年前为数学的实践与认识数学的实践与认识)内容内容 赛题：工程、管理中经过简化的实际问题赛题：工程、管理中经过简化的实际问题 答卷：一篇包含问题分析、模型假设
17、、建立、求答卷：一篇包含问题分析、模型假设、建立、求解解(通常用计算机通常用计算机)、结果分析和检验等的论文、结果分析和检验等的论文形式形式 3名大学生组队，在名大学生组队，在3天内完成的通讯比赛天内完成的通讯比赛 可使用任何材料可使用任何材料(图书图书/互联网互联网/软件等软件等)，但不，但不得与队外任何人讨论得与队外任何人讨论(包括上网讨论包括上网讨论)宗旨宗旨创新意识创新意识 团队精神团队精神 重在参与重在参与 公平竞争公平竞争标准标准假设的合理性，建模的创造性，假设的合理性，建模的创造性，结果的正确性，表述的清晰性。结果的正确性，表述的清晰性。数学建模竞赛内容与形式数学建模竞赛内容与形
18、式年份年份A题题B题题C题题D题题2003SARS的传播的传播露天矿生产的露天矿生产的车辆安排车辆安排SARS的传的传播播抢渡长江抢渡长江2004奥运会临时超奥运会临时超市网点设计市网点设计电力市场的输电力市场的输电阻塞管理电阻塞管理饮酒驾车饮酒驾车公务员招聘公务员招聘2005长江水质的评长江水质的评价和预测价和预测DVD在线租赁在线租赁 雨量预报方雨量预报方法的评价法的评价DVD在线租在线租赁赁2006出版社的资源出版社的资源配置配置艾滋病疗法的艾滋病疗法的评价和疗效的评价和疗效的预测预测易拉罐形状易拉罐形状和尺寸的最和尺寸的最优设计优设计煤矿瓦斯和煤矿瓦斯和煤尘的监测煤尘的监测与控制与控制
19、2007中国人口增长中国人口增长预测预测 乘公交，看奥乘公交，看奥运运手机手机“套餐套餐”优惠几何优惠几何 体能测试时体能测试时间安排间安排 2008数码相机定位数码相机定位高等教育收费高等教育收费标准探讨标准探讨地面搜索地面搜索NBA赛程的赛程的分析与评价分析与评价2003-20082003-2008年数学建模竞赛题目年数学建模竞赛题目北京交通大学的数学建模竞赛：一年有北京交通大学的数学建模竞赛：一年有 4 4 次：次： 校内竞赛：每年校内竞赛：每年5 5月下旬进行月下旬进行 全国大学生建模竞赛：每年全国大学生建模竞赛：每年9 9月下月下 旬进行旬进行 电工数学建模竞赛：每年电工数学建模竞赛
20、：每年1111月底进行月底进行美国大学生数学建模竞赛：每年美国大学生数学建模竞赛：每年2 2月进行月进行报名参赛时间：报名参赛时间：每年每年4 4月月2020日至日至5 5月月2727日，在学校的数学日，在学校的数学建模网站上报名建模网站上报名思考题思考题 安全渡河问题安全渡河问题三名商人各带一名随从乘船渡河，一只小船只能容纳三名商人各带一名随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行二人，由他们自己划行. . 随从们密约，在河的任一岸，一旦随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货随从的人数比商人多，就杀人越货. . 但是如何乘船渡河的大但是如何乘船渡河的大权掌握在商
21、人们手中权掌握在商人们手中. . 商人们怎样才能安全渡河呢？商人们怎样才能安全渡河呢？河河小船小船(至多至多2人人) 模型假设：模型假设： 问题已经理想化了！问题已经理想化了！模型构成：模型构成：xk : 第第k次渡河前此岸的商人数次渡河前此岸的商人数yk : 第第k次渡河前此岸的随从数次渡河前此岸的随从数xk , yk = 0, 1, 2, 3;k = 1, 2, sk = (xk , yk): 状态状态S=(x , y) x = 0, y = 0, 1, 2, 3; x = 3, y = 0, 1, 2, 3; x = y = 1, 2S: 允许状态集合允许状态集合求求 dk D (k =
22、 1, 2, n), 使使 sk S, 并并按转移律由按转移律由 s1 = (3, 3) 到达到达 sn+1 = (0, 0). (当然当然 n 越小越好越小越好)故本问题归为求解如下数学问题：故本问题归为求解如下数学问题：uk : 第第k次渡船上的商人数次渡船上的商人数vk : 第第k次渡船上的随从数次渡船上的随从数dk = (uk , vk) : 决决策策 D=(u , v) u + v = 1, 2: 允许决策集允许决策集合合uk, vk = 0, 1, 2; k = 1, 2, sk+1 = sk dk + (-1)k: 状态转移律状态转移律模型求解模型求解: :)3 , 3(1S)0
23、 , 2() 1 , 1 ()0 , 1 ()2 , 0() 1 , 0(1d)3 , 1 ()2 , 2()3 , 2() 1 , 3()2 , 3(2S)2, 3(2S)0 , 2() 1 , 1 ()0 , 1 ()2 , 0() 1 , 0(2d)2 , 5()3 , 4()2 , 4()4 , 3()3 , 3(3循环S)1 , 3(2S)0 , 2() 1 , 1 ()0 , 1 ()2 , 0() 1 , 0(2d)0 , 5()2 , 4()0 , 4()3 , 3()2 , 3(3循环S)2,2(2S)0 , 2() 1 , 1 ()0 , 1 ()2 , 0() 1 , 0
24、(2d)0 , 4()3 , 3()2 , 3()4 , 2()3 , 2(3循环S)2, 3(3S)0 , 2() 1 , 1 ()0 , 1 ()2 , 0() 1 , 0(3d)2 , 1 () 1 , 2()2 , 2()0 , 3() 1 , 3(4循环循环S)0 , 3(4S)0 , 2() 1 , 1 ()0 , 1 ()2 , 0() 1 , 0(4d)0 , 5() 1 , 4()0 , 4()2 , 3() 1 , 3(5循环S556(0,1)(3,0)(0,2)(3, 1)(3,1)(1,0)(2,1)(1,1)(2,0)(2,0)(1,1)SdS循) 13()2 , 2
25、() 1 , 2()3 , 1 ()2 , 1 ()0 , 2() 1 , 1 ()0 , 1 ()2 , 0() 1 , 0() 1 , 1 (766，SdS)20() 1 , 1 ()2 , 1 ()0 , 2() 1 , 2()0 , 2() 1 , 1 ()0 , 1 ()2 , 0() 1 , 0()2 , 2(877，循环SdS循环，)23()3 , 1 ()2 , 1 ()4 , 0()3 , 0()0 , 2() 1 , 1 ()0 , 1 ()2 , 0() 1 , 0()2 , 0(988SdS)32()2 , 1()3 , 1() 1 , 0()2 , 0()0 , 2(
26、) 1 , 1 ()0 , 1 ()2 , 0() 1 , 0()3 , 0(1099，循环SdS) 12()2 , 1 () 1 , 1 ()3 , 0()2 , 0()0 , 2() 1 , 1 ()0 , 1 ()2 , 0() 1 , 0() 1 , 0(111010，循环SdS)22() 1 , 1()2 , 1()0 , 0() 1 , 0()0 , 2() 1 , 1 ()0 , 1 ()2 , 0() 1 , 0()2 , 0(121111，到达SdS) 11()0 , 0() 1 , 0() 1, 1 () 1 , 0()0 , 2() 1 , 1 ()0 , 1 ()2 ,
27、 0() 1 , 0() 1 , 1 (121111，到达SdS) 3 , 3()2,0() 1 , 3()2 , 2()1 , 1()2 , 3()0,1()1 ,0()2,0()0 , 3()1 ,0() 1 , 3()0,2() 1 , 1 ()1 ,1()2 , 2()2 , 2()0,2()2 , 0() 1 , 0() 3 , 0()2,0() 1 , 0()1 ,0()2 , 0()0,1() 1 , 1 ()2,0() 1 , 1 ()0 , 0(1234567891011结论结论：共有四种最佳方案，经过11次可安全过河. 此作法可进行推广，有多名商人和随从时，利用计算机编程来实现.这是一个多步决策问题！这是一个多步决策问题！
