1、弹性力学问题的实用解法力法和位移法力法和位移法消去一些变量减少变量个数的同时提高方程的阶数常用思路28 28 按位移求解平面问题按位移求解平面问题( (位移法位移法) ) 一、平面应力问题一、平面应力问题： 1. 由物理方程 （2-12）解出2、把几何方程几何方程（2-3）代入(2-12a）（aEEExyxyxyyyxx)1(2)(1)(122)162()()1(2)(1)(122byuxvExuyvEyvxuExyyx-以位移分量作为基本未知量以位移分量作为基本未知量把（216a）代入平衡微分方程（22）：式（217）即为用位移表示的平衡微分方程，为按位移求解平面应力问题的基本微分方程。这组
2、方程的推导中已经用了物理方程和几何方程以及平衡方程，仅仅采用了代数替换，所以它与原方程组是等价的。该方程表明按位移求解平面应力问题时，解出的应力必然满足平衡微分方程)172(0)2121(10)2121(1222222222222yxfxvyxuyvEfyuyxvxuE (218)式即为用位移表示的应力边界条件，为按位移求解平面应力问题时的应力边界条件。)182()(21)(1)(21)(122ysxsfyuxvlxuyvmEfyuxvmyvxulE3、应力边界条件：把（216a）代入应力边界条件（215）)(,vvuuss)182()(21)(1)(21)(122ysxsfyuxvlxuyv
3、mEfyuxvmyvxulE)172(0)2121(10)2121(1222222222222yxfxvyxuyvEfyuyxvxuE结论：按位移求解平面应力问题,可归纳为根据(217)式确定位移分量，并且要求满足边界条件（218）和（214），再用几何方程式求出应变分量，用物理方程确定应力分量。)(,vvuuss二、平面应变问题二、平面应变问题：对平面应力方程的E、作如下变换后即可得到平面应变问题的相应方程和边界条件：1,112EE一般规律：凡是含有弹性常数的方程，在用于平面应力和平面应变问题中，只需要做这种代换即可。1、为按位移求解平面应力问题，要联立求解两个二阶偏微分方程，因此比较麻烦，
4、但在有限元法中却比较方便。2、按位移求解，原则上可适用于任何平面问题，无论体力是不是常量，不论是哪一种边界问题。3、任何应力边界条件均可以转化为位移边界条件:讨 论)182()(21)(1)(21)(122ysxsfyuxvlxuyvmEfyuxvmyvxulE2-9 按应力求解平面问题相容方程基本未知量基本未知量yxyxyxxyyx,);,(;,基本方程：用应力分量表示基本方程：用应力分量表示1.1.平衡微分方程平衡微分方程0 xyxxfyx0yyxyfyx（2-2）1、三个未知数只有两个方程不能求解2、解答必须同时满足平衡、几何和物理方程。单独满足平衡方程是不可以的。3、于是我们需要考虑从
5、几何和物理方程中得到另外一个仅仅含有应力的方程）（32yuxvyvxuxyyxyxxvyuyxxyxyyx222222将将xyvyxuyx对对求两阶导数求两阶导数yxvxxyuyyx23222322相加相加)192(22222yxxyxyyx2 2、变形相容（协调）方程、变形相容（协调）方程（由几何方程消去位移得到同一平面内（由几何方程消去位移得到同一平面内 间的关系）间的关系）相容方程是满足几何方程的应变必然满足的关系相容方程是满足几何方程的应变必然满足的关系用应力分量表示相容方程：用应力分量表示相容方程：由物理方程由物理方程）（12111xyxyxyyyxxGEE代入（代入（2-92-9）
6、式得到用）式得到用应力表示的相容方程应力表示的相容方程yxxyxyxyyx2222212(2-20)相容方程相容方程只含有应力、并且是几何方相容方程相容方程只含有应力、并且是几何方程和物理方程的结果。程和物理方程的结果。由平衡方程由平衡方程0 xyxxfyx0yyxyfyxxfxyxxxyx222yfyyxyyxy222两式相加两式相加yfyxfxyxyyxxxy222222yxxyxyxyyx2222212代入相容方程（2-20）式：化简（2-20）式消去剪应力（2-21a2-21a）应力表示的相容方程）应力表示的相容方程整理、化简整理、化简：注：对于平面应变问题用注：对于平面应变问题用1代
7、换yfxfxyyxyx112222（221b）（2-212-21）是用应力表示的相容方程的简化形式。）是用应力表示的相容方程的简化形式。yfxfxyyxyx12222(2-21a)整理、化简整理、化简：（22）结论：按应力求解平面应力（应变）问题，可结论：按应力求解平面应力（应变）问题，可归结为根据（归结为根据（2-22-2）平平及（及（2-212-21）容容求出应力分求出应力分量量 ，并要求在边界上满足应力边界条件，并要求在边界上满足应力边界条件（2-152-15）边边，及位移单值条件，及位移单值条件。yfxfxyyxyx12222(2-21a)0 xyxxfyx0yyxyfyx相容方程的数
8、学讨论 1. 相容方程是几何方程的结果，是应变和位移满足几何方程的必要条件。换言之：如果应变和位移满足几何方程，则必然满足相容方程。 2. 这个结论的逆否命题(因而是正确的)：如果应变不满足相容方程，则必不满足几何方程。 3. 逆定理并不成立：不能说应变满足相容方程就一定满足几何方程。 所以三个应变不能任意独立选取。必须满足相容方程才能保证可以由此求得满足几何方程的位移相容方程的物理意义是：同一平面内一点处的三个应变分量必须相互协调，才能保证变形不发生开裂或相互嵌入（位移连续）。开裂嵌入连续 多连体的位移单值条件多连体的位移单值条件 单连体：具有一个连续的边界单连体：具有一个连续的边界。多连体
9、：具有两个以上互不相交的连续的边界。多连体：具有两个以上互不相交的连续的边界。位移单值条件：一点处的位移是单值位移单值条件：一点处的位移是单值的。的。*按应力求解时，要利用位移单值条件，才能按应力求解时，要利用位移单值条件，才能完全确立应力分量完全确立应力分量 2-10 应力函数常体积力一一. 简化相容方程简化相容方程当体力为常量时，当体力为常量时，fx=C,fy=C（2-212-21）容容简化为简化为：02222yxxy22222yx若令拉普拉斯算子拉普拉斯算子02yx（222）结论：当体力为常量时，按应力求解平面问题，可归结为根据（2-2）平及（2-22）容求出应力分量,并要求在边界上满足
10、应力边界条件（2-15）边及位移单值条件。0;*xyxyyyxxyfxf平衡方程的通解yxyfxxfyxyyyxx222220yxyxx0yxyxyxyxyxyyyyxxx*0 xyxxfyx0yyxyfyx平衡方程齐次方程：特解如果yyxBxyxA,xByA齐次偏微分方程的通解yxxyxyyx22222;平面应力函数（Airy应力函数）满足：可以找到一个函数 （x，y），有022222222xyxy022222222xyxy可记为可记为：02204或这里这里（x x，y y）为双调和函数）为双调和函数注：满足注：满足02的的函数称函数称 调和函数调和函数展开后展开后：024422444yyx
11、x求解求解应力函数应力函数为满足双调和方程的双调和函数时为满足双调和方程的双调和函数时（2 22525）同时满足边界条件和位移单值条件）同时满足边界条件和位移单值条件。这样。这样就可以得到原问题的解答。就可以得到原问题的解答。（225） 例题例题 习题习题2 216 16 全部边界上受压力全部边界上受压力q q，则，则 解：解：1.1.验证是否满足平衡微分方程验证是否满足平衡微分方程由：0 xyxxfyx0yyxyfyx将x=y=-q,xy=0代入00)0()(yxq00)()0(yqx故满足故满足qxyqOx=y=-q,xy=0 是正确解答将将 x x= = y y=-q,=-q, xyxy
12、=0=0代入，自然满足代入，自然满足事实上，任何单元体中都是这个结果事实上，任何单元体中都是这个结果 1 1= = 2 2=-q=-q三三. .满足边界条件满足边界条件：qqlqmxyxyyxxyyfxfxyyxyx12222由由：由由：ysysxyxsxysxfmfmqmfqlfyx,将将 x x= = y y=-=-q, , xyxy=0=0，代入代入qmqmqmqmlqlqlqlmql)()0()0()(满足四四. .位移单值条件位移单值条件：2 2）求位移）求位移：1 1）求应变：）求应变：01)1()(1)1()(1xyxyxyyyxxGEqEEqE0) 1() 1(yuxvEqyv
13、Eqxuxyyx（1）（2）（3）)()1()()1(21xfyEqvyfxEqu代入（代入（3）得）得dxxdfdyydf)()(21于是有于是有 ：,)(1dyydfdxxdf)(2由（由（1）、（）、（2）式积分）式积分结论：所给应力解答满足平衡微分方程、相容方结论：所给应力解答满足平衡微分方程、相容方 程、且在边界上满足应力边界条件，对于多连通程、且在边界上满足应力边界条件，对于多连通域满足位移单值条件，故为问题的解。域满足位移单值条件，故为问题的解。上式为线性函数，为单值函数。上式为线性函数，为单值函数。积分：积分：00) 1() 1(vxyEqvuyxEqu二二. .应力函数应力函
14、数为非齐次偏微分方程组为非齐次偏微分方程组研究（研究（2-2）平平及（及（2-22）容容的求解的求解由（由（2 22 2）平平式式0 xyxxfyx0yyxyfyx1.1.对应的齐次偏微分方程的通解对应的齐次偏微分方程的通解所以存在一个具有全微分的函数所以存在一个具有全微分的函数A A（x x，y y）根据微分方程解的理论，根据微分方程解的理论， （2 22 2）平平的解由两部分的解由两部分组成对应的齐次偏微分方程的通解及其一个特解。组成对应的齐次偏微分方程的通解及其一个特解。0yxyxx0yxyxy由第一式有由第一式有xyxyx全微分的充要条件全微分的充要条件QdyPdxdFFxQyP有则存
15、在若,同理：将第二式写为yxyxy根据全微分充要条件，同样也存在另一个函数B（x，y）xyxAPxy),(1（a）yyxAQx,1（b）yyxBQxy,2(d)xyxBPy,2（c）比较（ a）（ c ）两式,由剪应力互等定理yyxBxyxA,xByA齐次偏微分方程的通解yxxyxyyx22222;平面应力函数（Airy应力函数）可以找到一个函数 （x，y），有yxxy2.2.平衡方程特解平衡方程特解3.3.平衡方程平衡方程的通解的通解0;*xyxyyyxxyfxfyxyfxxfyxyyyxx222220 xyxxfyx0yyxyfyxxyxyxyyyyxxx*将将（）代入（）02222222
16、2xyxy02222yxxy可记为可记为：02204或这里这里（x x，y y）为双调和函数）为双调和函数注：满足注：满足02的的函数称函数称 调和函数调和函数展开后展开后：024422444yyxx结论：结论：1.1.当当应力函数应力函数为满足双调和方程的双调和函数时为满足双调和方程的双调和函数时（2 22323）可以同时满足）可以同时满足（2-22-2）平平及（及（2-222-22）容容，故，故（2 22323）为）为（2-22-2）平平及（及（2-222-22）容容的解。的解。（2 22424）为用应力函数表示的相容方程）为用应力函数表示的相容方程2.2.当体力为常量时，按应力求解平面应力（应变）当体力为常量时，按应力求解平面应力（应变）问题，可归结为根据（问题，可归结为根据（2-242-24）容容求出应力函数求出应力函数 ，然后根据（然后根据（2 22323）求出应力分量）求出应力分量 并要求在边并要求在边界上满足应力边界条件（界上满足应力边界条件（2-152-15）边边，及位移单值条，及位移单值条件（多连体时）。件（多连体时）。
