1、线性代数线性代数 第三章第三章1教学目的理解秩的性质，掌握、记住并会应用秩理解秩的性质，掌握、记住并会应用秩的等式与不等式，掌握方程组秩的解法的等式与不等式，掌握方程组秩的解法定理。定理。作业重点秩的不等式及其应用秩的不等式及其应用练习册练习册第第 19-21 19-21 页页T6T61010，其其中交中交P19P192020难点秩的不等式的性质秩的不等式的性质媒体黑板与投影黑板与投影讲授内容主讲授内容主线线转置、变换均恒等，还有不等式，方程转置、变换均恒等，还有不等式，方程组秩的判定定理，定理的证明、过程及组秩的判定定理，定理的证明、过程及其解法其解法内容概括转置变换乘逆阵恒等加上部分整体、
2、合转置变换乘逆阵恒等加上部分整体、合并最小的不等式组成了秩的性质。从方并最小的不等式组成了秩的性质。从方程组的最简型开始，定义同解方程组的程组的最简型开始，定义同解方程组的自由变量的值即得解的矩阵向量形式自由变量的值即得解的矩阵向量形式班级： 时间： 年 月 日 ；星期 第七讲：初等变换应用与矩阵的秩第七讲：初等变换应用与矩阵的秩线性代数线性代数 第三章第三章2第七讲：初等变换应用与矩阵的秩第七讲：初等变换应用与矩阵的秩 本次课讲第三章第二节的应用，并讲授本次课讲第三章第二节的应用，并讲授第三章第三节第四节，第三章第三节第四节， 下次上课讲第三章第四节和第四章第一下次上课讲第三章第四节和第四章
3、第一节。节。 下次上课前完成作业下次上课前完成作业19页到页到21页，页，交作交作业业19页到页到20页页线性代数线性代数 第三章第三章3定理：方阵定理：方阵 A 可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵.llPPPAPPP2121 使使得得：EPPPPPPAPPPlll 211112111121：因初等矩阵皆可逆，则因初等矩阵皆可逆，则111211 PPPAl由由逆逆矩矩阵阵定定义义，即即得得1)充分性：充分性： 若存在有限个初等矩阵若存在有限个初等矩阵证证:.llPPPAPPP2121 使使得得：knmPPPPkAkA21 个个初初等等矩矩阵阵之之积积左左（右右
4、）边边乘乘上上相相当当于于的的相相当当于于在在次次初初等等行行（列列）变变换换，施施行行推推论论：对对第六讲：初等变换与初等矩阵第六讲：初等变换与初等矩阵一、初等变换应用一、初等变换应用线性代数线性代数 第三章第三章4则则 F 经有限次初等变换可以变成经有限次初等变换可以变成 A ,由定理由定理1，即存在有限个初等矩阵，即存在有限个初等矩阵lsslPFPPPPAPPP12121 使得：使得：,可逆可逆可逆，所以可逆，所以可逆，初等矩阵可逆，可逆，初等矩阵可逆，因因FPPPAl21lrPPPAEFnrFFnrnrEF210000 即：即：，则则可逆矛盾；若可逆矛盾；若与与则则若若其中其中设设,;
5、,第六讲：初等变换与初等矩阵第六讲：初等变换与初等矩阵线性代数线性代数 第三章第三章52.逆矩阵表示初等变换的结论与应用逆矩阵表示初等变换的结论与应用 PAAPABPBArr,或或可可叙叙述述成成，使使得得矩矩阵阵的的充充要要条条件件是是存存在在可可逆逆：）结结论论（11BPAQQnPmBAnm 使使得得阶阶可可逆逆矩矩阵阵及及矩矩阵阵阶阶可可逆逆在在的的充充分分必必要要条条件件是是，存存矩矩阵阵论论：及及其其推推论论，易易得得如如下下结结：由由结结论论）结结论论（,122)(AQABAQQBAcc，使使得得，可可逆逆的的的的充充分分必必要要条条件件是是存存在在同同理理： 第七讲：初等变换应用
6、与矩阵的秩第七讲：初等变换应用与矩阵的秩线性代数线性代数 第三章第三章6),(),(),(),(),(1111113 AEEAAAEAAEAAEAr：由结论由结论可逆矩阵可逆矩阵，即左乘一，即左乘一施行一系列初等行变换施行一系列初等行变换对分块矩阵对分块矩阵）用初等变换求逆矩阵）用初等变换求逆矩阵（ EA初等列变换初等列变换 1E A第七讲：初等变换应用与矩阵的秩第七讲：初等变换应用与矩阵的秩线性代数线性代数 第三章第三章7例例1 设设, 343122321A求求.1A 2 3 1 0 0 1解解100343010122001321| EA0 0 1 3 2 11 0 3 6 2 0122rr
7、 133rr 0 1 2 5 2 00 1 1 2 0 11 1 1 1 0 023rr 21rr 0 1 2 5 2 0312rr 325rr 5 6 3 0 2 01 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 02 3 1 0 0 15 6 3 0 2 022r13r11110025323010231001第七讲：初等变换应用与矩阵的秩第七讲：初等变换应用与矩阵的秩线性代数线性代数 第三章第三章8所以所以.111253232311A（5）用初等变换求解方程组）用初等变换求解方程组我们采用利用初等变换求逆矩阵同样的办法求解线性方我们采用利用初等变换求逆矩阵同样的办法求解线性方程组程组AX=b,
8、这里，假定这里，假定A是方阵且可逆是方阵且可逆),(),(),(),(:.,XEbAEbAAbABAXBAXr 111用用初初等等行行变变换换表表示示就就是是因因此此有有对对于于方方程程.,:.,:kkkkbAXbAXbAXbAXbAXbAX12121112211 对对应应的的解解为为阵阵方方程程组组注注意意另另外外一一类类同同系系数数矩矩第七讲：初等变换应用与矩阵的秩第七讲：初等变换应用与矩阵的秩线性代数线性代数 第三章第三章9),(),(),(),(),(),(XEXXXEbAbAbAEBAAABAABAkkr 2112111111:).,(),(),(:,:),(),(:用初等行变换表示
9、即用初等行变换表示即其解为其解为个方程组的组合方程组个方程组的组合方程组则得则得令令kkkkkbAbAbAbbbABAXXXXBAXkbbbBXXXX121112111212121 例例2 求矩阵求矩阵 X，使使AX=b1，AXb2其中其中 315b,432b 34312232121 ,A第七讲：初等变换应用与矩阵的秩第七讲：初等变换应用与矩阵的秩同同样样成成立立成成立立的的结结论论对对一一样样的的，因因此此，对对其其解解均均是是无无论论是是方方程程组组形形式式还还是是与与结结论论：BAXbAXBAXbAX 线性代数线性代数 第三章第三章10即即可可初初等等变变换换：然然后后对对（成成一一个个
10、矩矩阵阵方方程程组组将将两两个个线线性性方方程程组组合合并并所所以以可可令令矩矩阵阵是是一一样样的的，由由于于两两个个方方程程组组的的系系数数分分析析：设设),(),(),),(,BAEBAABABAXbbBbAxbAx112121 341352 343122321BA|122rr 133rr 5 2 3 2 102 51902 6 21221rr 23rr 4 1 2 0 1 9 1 5 2 0 3 1 1 0 0 312rr 325rr 2 3 0 0 16 4 0 2 0 3 1 1 0 0 22r13r.311003201023001.313223X第七讲：初等变换应用与矩阵的秩第七讲
11、：初等变换应用与矩阵的秩线性代数线性代数 第三章第三章11例例3：（2004，1、2）设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B，B的第2列加到第3列得C，则满足AQC的可逆矩阵Q为100001110)(110001010)(100101010)(101001010)(DCBA分析：按照题意，用初等矩阵描述，有分析：按照题意，用初等矩阵描述，有CBBA100110001,100001010CA100110001100001010则：100001110100110001100001010Q因此：第七讲：初等变换应用与矩阵的秩第七讲：初等变换应用与矩阵的秩线性代数线性代数 第三章第三章12BAP
12、PDBAPPCBPAPBBPAPAPPaaaaaaaaaaaaBaaaaaaaaaA 1221122121133312321131131211232221333231232221131211101010001100001010319951)()()()(,）则必有：（则必有：（设设分）分），数学一，数学一，（补充习题补充习题).)(,BABA除除等矩阵为列变换，故排等矩阵为列变换，故排矩阵为行变换，右乘初矩阵为行变换，右乘初左乘初等左乘初等根据初等矩阵的性质，根据初等矩阵的性质，到到经过两次初等行变换得经过两次初等行变换得分析：分析：).(.),(,)(CBPPAAPP所所以以应应选选这这正正
13、是是矩矩阵阵再再把把一一、二二两两行行互互换换后后的的第第一一行行加加到到第第三三行行表表示示先先把把1221第七讲：初等变换应用与矩阵的秩第七讲：初等变换应用与矩阵的秩线性代数线性代数 第三章第三章13.,1215972 ABBBjiAnA）求）求可逆；（可逆；（）证明：）证明：（对换后得到矩阵记为对换后得到矩阵记为行行行和第行和第的的阶可逆矩阵，将阶可逆矩阵，将是是设设分）分）数学一，数学一，（补充例题补充例题 jiEAEBijij101101其中其中解：由题设，解：由题设，,可可逆逆所所以以故故可可逆逆，）因因为为（BAAEAEBAAijij,001 ijijijijijEEEAAAEA
14、ABAEB 111112)(,知知）由）由（第七讲：初等变换应用与矩阵的秩第七讲：初等变换应用与矩阵的秩线性代数线性代数 第三章第三章14；行行得得到到行行与与第第的的第第交交换换；列列得得到到列列与与第第的的第第交交换换；行行得得到到行行与与第第的的第第交交换换；列列得得到到列列与与第第的的第第交交换换）的的伴伴随随矩矩阵阵，则则（、分分别别为为阵阵的的第第一一行行与与第第二二行行得得矩矩阶阶可可逆逆矩矩阵阵，交交换换为为设设分分）数数学学一一，（补补充充例例题题*)()()()(,)(BADBACBABBAABABABAnnA 212121212420053 100001010100001
15、010100001010213111121AABBABEBAA于于是是按按已已知知有有：得得到到所所以以用用初初等等矩矩阵阵行行）得得到到行行与与第第（交交换换第第作作初初等等行行变变换换阶阶矩矩阵阵的的情情形形。因因为为为为妨妨考考查查分分析析：为为考考查查方方便便，不不;,),(）所所以以应应选选（又又从从而而：由由逆逆阵阵公公式式C10000101010000101011,*BABAAABBBAAA 第七讲：初等变换应用与矩阵的秩第七讲：初等变换应用与矩阵的秩线性代数线性代数 第三章第三章15一、一、 矩阵的秩的概念矩阵的秩的概念（1.1.定义）定义）定义定义1 1 在在 mn 矩阵矩阵
16、 A 中，任取中，任取 k 行与行与 k 列（列（km，kn),位于这些行列交叉处的位于这些行列交叉处的 个元素，不改变它们在个元素，不改变它们在 A 中的所处中的所处2k的位置次序而得的的位置次序而得的 k 阶行列式，称为阶行列式，称为矩阵矩阵 A 的的 k 阶子式阶子式.如如,120113632301A1620A 的一个二阶子式的一个二阶子式.定义定义2 2设在矩阵设在矩阵 A 中有中有一个一个不等于不等于0的的 r 阶子式阶子式D，且且所有的所有的r+1阶子式（如果存在的话）全等于阶子式（如果存在的话）全等于0，那么那么D 称为矩阵称为矩阵A的的 阶非零子式阶非零子式，数，数 r 称为称
17、为矩阵矩阵 A 的秩的秩，记作，记作R(A) .规定：规定：零矩阵的秩等于零矩阵的秩等于 0，即，即 R(O)=0.由矩阵的秩的定义知：由矩阵的秩的定义知： .ARART定义中有定义中有2 2个关键词，个关键词，一个是一个是“一个一个”，另一，另一个是个是“所有所有”第七讲：初等变换应用与矩阵的秩第七讲：初等变换应用与矩阵的秩线性代数线性代数 第三章第三章162.用定义求矩阵的秩用定义求矩阵的秩 （1）定义法：用定义判断）定义法：用定义判断k阶子式阶子式例例1: 求矩阵求矩阵 A 和和 B 的秩，其中的秩，其中 0263284214212211BA10221101111 )(,)(ARAa解：
18、解：040228022 即即元元可可以以利利用用，因因为为这这里里有有个个审审视视一一下下，可可以以发发现现,)()(BR 另外，因为另外，因为B是是3行行4列矩阵，没有列矩阵，没有4阶子式，所以阶子式，所以R(B)小于小于等于等于3。注意到。注意到B的的1、2行成比例，任意行成比例，任意3阶子式都会同时含有阶子式都会同时含有B的的1、2行的部分，其行列式为行的部分，其行列式为0，所以由定义，所以由定义，R(B)2第七讲：初等变换应用与矩阵的秩第七讲：初等变换应用与矩阵的秩线性代数线性代数 第三章第三章17第七讲：初等变换应用与矩阵的秩第七讲：初等变换应用与矩阵的秩3.秩的性质秩的性质:初等变
19、换秩不变初等变换秩不变.定理定理1 1 若若AB, 则则 R(A) = R(B). .阶子式。阶子式。的非零的非零包含包含即即则则次初等行变换变为次初等行变换变为经过经过若若kABBRARBA),()(, 1)()(.,.,ARBRDDkDDDDDDDBDkABAkrrrAiji 即即由由或或者者或或者者中中总总能能找找到到相相应应的的子子式式，在在阶阶子子式式的的任任意意非非零零都都有有，对对的的行行时时，因因和和经经过过当当0011111的的子子式式为为包包含含第第一一行行时时，记记非非零零子子式式也也有有不不包包含含第第一一行行时时，的的非非零零子子式式即即可可。当当考考虑虑结结论论成成
20、立立，故故只只需需时时，由由于于变变换换到到经经过过当当BDDDBDAkrrrrBkrrAjiji121, 线性代数线性代数 第三章第三章18221211kDDrrrkrrrrrkrrDqpqpqp 第七讲：初等变换应用与矩阵的秩第七讲：初等变换应用与矩阵的秩则：则：若若则则若若,2021 pDDp不同时为零不同时为零与与，知，知阶子式，且阶子式，且的的也是也是212120DDDkDDrBD )()(ARBRBA 故故的的非非零零子子式式。的的非非零零子子式式对对应应存存在在所所以以，任任意意)()()()(,BRARBRARABBA 即：即：故故时时由初等变换的可逆性，由初等变换的可逆性，结
21、论：行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的行数结论：行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的行数线性代数线性代数 第三章第三章19矩阵矩阵 A 行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵B;初等行变换初等行变换(1)(2) R(A) = 矩阵矩阵 B 非零行的行数非零行的行数.的的秩秩：求求矩矩阵阵例例 2221101002201001101111101110002A分析：首先互换分析：首先互换1、2行，第行，第2步，用第一行把第步，用第一行把第2行以后的第行以后的第2列元素变成列元素变成0，按照上三角形依次做下去，按照上三角形依次做下去 1110003220002110001110001111102221101002201
22、00110111000111110A第七讲：初等变换应用与矩阵的秩第七讲：初等变换应用与矩阵的秩线性代数线性代数 第三章第三章20 000000000000100000111000111110000000100000100000111000111110所以：所以：R（A)3对于对于n 阶可逆矩阵阶可逆矩阵A，因因 ，0A知知A的最高阶非零子式为的最高阶非零子式为 ，A nAR 所以所以 A 的秩等于它的阶数，的秩等于它的阶数，故可逆矩阵故可逆矩阵又称又称满秩矩阵满秩矩阵而奇异矩阵又称而奇异矩阵又称降秩矩阵降秩矩阵。第七讲：初等变换应用与矩阵的秩第七讲：初等变换应用与矩阵的秩线性代数线性代数 第
23、三章第三章212 2） 若若AB, 则则 R(A) = R(B); ;R(A) = R (kA). .分析：由于初等变换不改变子式非零的特性，由定理，分析：由于初等变换不改变子式非零的特性，由定理，显然初等变换秩不变。显然初等变换秩不变。二、矩阵的秩的基本运算二、矩阵的秩的基本运算: 1.等式（不变）运算等式（不变）运算分析：由定义分析：由定义A的子式也是的子式也是AT的子式，反之亦然的子式，反之亦然)()(1ARART）3） 若若 P,Q 可逆可逆, 则则: R(PAQ) = R(A).分析：因分析：因P、Q可逆，由初等矩阵定理，可逆，由初等矩阵定理，PAQ与与A等价。等价。推论：推论：若若
24、B可逆，则可逆，则R(BA)=R(A)（或或R(AB)=R(A)）分析：在上述推论中，只要令分析：在上述推论中，只要令P=B，Q=E即可（或即可（或P=E，Q=B）第七讲：初等变换应用与矩阵的秩第七讲：初等变换应用与矩阵的秩线性代数线性代数 第三章第三章22分析：由定义，最大分析：由定义，最大k阶子式是行列式，小于阶子式是行列式，小于m、n1）()m n0.R Amin m,n)()(),(BARBRARMax、 ),()(),(max),()(),()(),(),(BARBRARBARBRBARARkBAkABARBA 所以有：所以有：同理：同理：子式，故子式，故阶阶的的阶子式总是阶子式总是
25、的的相比，相比，与与或或)()()()()(),(BRARBARBRARBAR ；第七讲：初等变换应用与矩阵的秩第七讲：初等变换应用与矩阵的秩线性代数线性代数 第三章第三章23 0000212121rrrrTTTBABABABArBRrAR),(.)(,)(则则：设：设证：先看第一个不等式证：先看第一个不等式)()(),(),(BRARrrBARBARBARTTT 21()( )( ).R A+ BR A + R B的元素。的元素。列的每一列含有列的每一列含有的元素。前的元素。前往后每一列均是往后每一列均是列开始，列开始，该矩阵从该矩阵从阶矩阵。考查矩阵阶矩阵。考查矩阵也为也为阶矩阵，则阶矩阵
26、，则均为均为、再看第二个不等式：设再看第二个不等式：设BnBnBBAnmBAnmBA1 ).,(第七讲：初等变换应用与矩阵的秩第七讲：初等变换应用与矩阵的秩线性代数线性代数 第三章第三章24),(),(.,BABBAABBAnniiinn 的元素，即：的元素，即：，只剩下，只剩下的元素全部减为的元素全部减为中中列列则前则前列列加到第加到第列乘列乘第第列，列，加到第加到第列元素乘列元素乘第第0211111),(),(BARBBAR 则则：根根据据初初等等变变换换秩秩不不变变原原)()()(),()(BRARBARBBARBAR ，不不等等式式体体的的秩秩的的性性质质和和第第一一个个又又根根据据部部分分的的秩秩小小于于整整)(),(min)(BRARABR ）积的秩最小：）积的秩最小：4该不等式下一节有专门证明该不等式下一节有专门证明 )()(),()(),(max)(),(min)(BRARBARBRARBRARABR 如如下下连连续续不不等等式式：系系统统不不等等式式部部分分，可可得得)()()(,)明明下下一一章章相相关关性性以以后后可可证证则则若若nBRAROBAlnnm 5第七讲：初等变换应用与矩阵的秩第七讲：初等变换应用与矩阵的秩
