1、一一. 动量矩动量矩 (角动量角动量)质点的动量矩质点的动量矩6.3 动量矩和动量矩守恒定律动量矩和动量矩守恒定律力矩对时间的积累效应力矩对时间的积累效应vmroLAO .xyzhvmrLo其大小其大小 sinrmLovhmv三角形的面积三角形的面积的的2倍倍质点的动量矩质点的动量矩的分量形式的分量形式vmrLozyxvvvmmmzyxkji(1) 质点的动量矩取决于质点的动量矩取决于质点的动量质点的动量位矢位矢 取决于固定点的选择取决于固定点的选择说明说明(2)当质点作平面运动时，质点对运动平面内某参考点当质点作平面运动时，质点对运动平面内某参考点O 的的 动量矩也称为质点对过动量矩也称为质
2、点对过O 垂直于运动平面的轴的动量垂直于运动平面的轴的动量矩矩OOLrvm当质点在平面内运动时当质点在平面内运动时只有两个取向只有两个取向oLOL特例：特例：质点作圆周运动质点作圆周运动vmrL 视为代数量视为代数量动量矩随参考点而变动量矩随参考点而变OLOOLO rPS(3)与力矩类似与力矩类似质点对某点的动量矩质点对某点的动量矩,在通过该点在通过该点的任意轴上的投影就等于质点对的任意轴上的投影就等于质点对该轴的动量矩该轴的动量矩例例 一质点一质点m，速度为，速度为v，如图所示，如图所示，此时刻质点对三个参考点的动量矩此时刻质点对三个参考点的动量矩vmdLA1vmdLB10CLmd1d2 d
3、3ABCv解解A、B、C 分别为三个参考点分别为三个参考点,此时此时m 相对三个点的距离分别为相对三个点的距离分别为d1 、d2 、 d3求求vmrttLddddvvmtrtmrddd)d(0vvmMFrtLMddLtMdd 12d21LLtMtt(质点动量矩定理的积分形式质点动量矩定理的积分形式)(质点动量矩定理的微分形式质点动量矩定理的微分形式)质点所受合力矩的冲量质点所受合力矩的冲量矩矩等于质点的动量等于质点的动量矩矩的增量的增量2. 质点的动量矩定理质点的动量矩定理说明说明(1) 冲量矩是质点动量矩变化的原因冲量矩是质点动量矩变化的原因(2) 质点动量矩的变化是力矩对时间的积累结果质点
4、动量矩的变化是力矩对时间的积累结果3. 质点动量矩守恒定律质点动量矩守恒定律常矢量，则若LM 0 质点动量矩守恒定律质点动量矩守恒定律0OM(2) 守恒条件守恒条件讨论讨论(1) 质点动量矩定理适合于质点动量矩定理适合于惯性系惯性系中中一个固定一个固定参考点参考点 (3) 动量矩是否守恒与动量矩是否守恒与参考点参考点的选择有关的选择有关太阳太阳(5) 开普勒第一定律开普勒第一定律 质点仅受一个来自于固定点的引力质点仅受一个来自于固定点的引力或斥力或斥力有心力有心力质点将被限制在与动量矩质点将被限制在与动量矩的作用的作用，垂直的平面内运动垂直的平面内运动。FvmrOL例例:行星行星轨迹轨迹(椭圆
5、椭圆)(4) 常用于解决单摆运动、行星运动常用于解决单摆运动、行星运动trrm sin212 sinrmLv sinrtrmtSm 2由太阳到行星的矢径由太阳到行星的矢径，在相同的时间内扫过相等的面积在相同的时间内扫过相等的面积M rrM 开普勒第二定律开普勒第二定律(6)vOL证明：一个做匀速直线运动的质点，对任一固定点的动量证明：一个做匀速直线运动的质点，对任一固定点的动量 矩保持不变矩保持不变vO1r2rh12vmrL11hmvvmrL22hmv12LL例例证证111sin rmLv222sin rmLv当飞船静止于空间距行星中心当飞船静止于空间距行星中心 4 R 时，以速度时，以速度v
6、 0发射一发射一 求求 角及着陆滑行的初速度多大？角及着陆滑行的初速度多大？mRMO0v0rv解解 引力场引力场(有心力有心力)质点的对质点的对O点的动量矩守恒点的动量矩守恒系统的机械能守恒系统的机械能守恒Rmsrmvvin00RGMmmrGMmm20202121vvsin4sin000vvvRr21200231/RGMvvv212023141sin/RGMv例例 发射一宇宙飞船去考察一发射一宇宙飞船去考察一 质量为质量为 M 、半径为、半径为 R 的行星，的行星，质量为质量为 m 的仪器。要使该仪器恰好掠过行星表面的仪器。要使该仪器恰好掠过行星表面三三. 刚体定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒
7、定律刚体定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律 刚体定轴转动的动量矩定理刚体定轴转动的动量矩定理 刚体定轴转动的动量矩刚体定轴转动的动量矩刚体上任一质点对刚体上任一质点对 Z 轴的动量矩都具有相同的方向轴的动量矩都具有相同的方向iiiiZrmLvZZJttLddddZZMJt)(dd转动定律转动定律ttZtZtZtMJJ00d)()(ZZJL imirivO所有质元的动量矩之和所有质元的动量矩之和动量矩定理动量矩定理ZLZi 2iirm ZJ当当0zMCJLz刚体定轴转动的动量矩刚体定轴转动的动量矩守恒定律守恒定律)(ddZZJtM)(ddvmtF 00)()(dtZtZttZJJtM1221d
8、vvmmtFtt0F0zM比较比较注意注意碰撞过程中，可以忽略重力碰撞过程中，可以忽略重力(1) 变形体绕某轴转动时，若其上各点变形体绕某轴转动时，若其上各点(质元质元)转动的角速度相转动的角速度相同，则变形体对该轴的动量矩同，则变形体对该轴的动量矩 tJrmkk2说明说明当当变形体所受合外力矩为零时，变形体的动量矩也守恒变形体所受合外力矩为零时，变形体的动量矩也守恒 常量tJ tJ tJ 如：花样滑冰如：花样滑冰 跳水跳水 芭蕾舞等芭蕾舞等猫习惯于在阳台上睡觉，因而从阳台上掉下来的事情时有发生。长期的观猫习惯于在阳台上睡觉，因而从阳台上掉下来的事情时有发生。长期的观察表明猫从高层楼房的阳台掉
9、到楼外的人行道上时，受伤的程度将随高度察表明猫从高层楼房的阳台掉到楼外的人行道上时，受伤的程度将随高度的增加而减少，据报导有只猫从的增加而减少，据报导有只猫从3232层楼掉下来也仅仅只有胸腔和一颗牙齿层楼掉下来也仅仅只有胸腔和一颗牙齿有轻微的损伤。为什么会这样呢？有轻微的损伤。为什么会这样呢？(2) 绕定轴转动的物体系绕定轴转动的物体系当当0zMCJLz如：人站在转台上，用手拨动轮子，则转台会向相反的如：人站在转台上，用手拨动轮子，则转台会向相反的 方向转动方向转动因为：内力矩只能改变物体系内各物体的动量矩，但不能因为：内力矩只能改变物体系内各物体的动量矩，但不能 改变物体的总动量矩改变物体的
10、总动量矩有一转台，有一转台，MR初始的角速度为初始的角速度为0有一个人站在转台的中心，有一个人站在转台的中心，mu以相对于转台的恒定速度以相对于转台的恒定速度u沿半径向边缘走去，沿半径向边缘走去，人走了人走了t 时间后，转台转过的角度时间后，转台转过的角度例例解解求求人和转台组成的系统不受人和转台组成的系统不受对对竖直轴竖直轴的外力矩的外力矩选选(人和转台人和转台)为系统为系统因此，系统对因此，系统对竖直轴竖直轴的动量矩守恒的动量矩守恒在时间在时间t 内，内， 人走到距转台中心的距离为人走到距转台中心的距离为utr )()(22210221mrMRMR222021MRtmu t dd tt00
11、dd )2arctg(20RMmutMmuR 一飞轮如图，一飞轮如图，MR某一瞬时有一质量为某一瞬时有一质量为m的碎片从飞轮的边缘的碎片从飞轮的边缘飞出，且速度方向正好竖直向上。忽略重力矩的影响飞出，且速度方向正好竖直向上。忽略重力矩的影响例例解解求求 (1) 碎片能上升的最大高度碎片能上升的最大高度(2) 余下部分的角速度，角动量，转动动能余下部分的角速度，角动量，转动动能碎片离盘时的初速度为碎片离盘时的初速度为 R0v(1)所以碎片能上升的最大高度为所以碎片能上升的最大高度为gRgh222220maxv(2)由碎片和余下部分组成的系统由碎片和余下部分组成的系统, 在碎片离盘的前后不受在碎片
12、离盘的前后不受对转轴的外力矩的作用对转轴的外力矩的作用系统对转轴的角动量守恒系统对转轴的角动量守恒 221MR )21(220mRMRRmv 角动量为角动量为 222)2(21)21(RmMmRMR转动动能为转动动能为22222)2(41)21(21 RmMmRMR一质量为一质量为M，长为，长为l 的均匀细直杆，可绕通过其中心的均匀细直杆，可绕通过其中心O且与杆且与杆垂直的光滑水平固定轴，在竖直平面内转动。质量为垂直的光滑水平固定轴，在竖直平面内转动。质量为m的的子弹沿水平方向射入杆的下端且留在杆内，并使杆摆动，若子弹沿水平方向射入杆的下端且留在杆内，并使杆摆动，若杆摆动的最大偏角为杆摆动的最
13、大偏角为O 0v(1) 子弹入射前的速度子弹入射前的速度v0(2) 最大偏角最大偏角时，杆转动的角加速度时，杆转动的角加速度 例例解解求求选选(子弹子弹+杆杆)为研究对象为研究对象该系统在子弹入射前后对该系统在子弹入射前后对O点的角动量守恒点的角动量守恒lm210v22)2(121lmMlJ杆上摆的过程中，仅有重力矩作功，机械能守恒杆上摆的过程中，仅有重力矩作功，机械能守恒221 J(1) J)cos1 (21 mglmglmM3)cos1 ()3(0 v(2) JM Jlmgsin21lmMmg)3(sin6 一长为一长为 l 的匀质细杆，可绕通过中心的固定水平轴在铅垂的匀质细杆，可绕通过中
14、心的固定水平轴在铅垂面内自由转动，开始时杆静止于水平位置。一质量与杆相面内自由转动，开始时杆静止于水平位置。一质量与杆相同的昆虫以速度同的昆虫以速度 v0 垂直落到距点垂直落到距点 O l/4 处的杆上，昆虫落处的杆上，昆虫落下后立即向杆的端点爬行，如图所示。若要使杆以下后立即向杆的端点爬行，如图所示。若要使杆以匀角速匀角速度转动度转动40lmvl0712vO4lr 昆虫落到杆上的过程为完全非弹性昆虫落到杆上的过程为完全非弹性碰撞碰撞,例例解解求求 昆虫沿杆爬行的昆虫沿杆爬行的速度速度。作用时间短，可以忽略重力的矩作用时间短，可以忽略重力的矩对于昆虫和杆构成的系统，对于昆虫和杆构成的系统，合外
15、力矩为零，动量矩守恒合外力矩为零，动量矩守恒 )4(12122lmml 此后杆以此角速此后杆以此角速度作匀速转动。度作匀速转动。tJMzzdd)121(22mrmlJztrrmmgrdd2cos 2cosddgtrv)712cos(24lg700tlvv使杆以匀角速度转动使杆以匀角速度转动cosmgrMZ代入得代入得转动定律转动定律tJMzzd)(d其中其中r O4ltg cos2 旋进旋进(进动，进动，precession)高速旋转的物体其自转轴在空间高速旋转的物体其自转轴在空间转动的现象。转动的现象。定义定义:O例例: 回转仪、回转仪、陀螺陀螺为什么有此现象为什么有此现象?分析如下分析如下
16、:OMtLddLtMdd LdLLdL)(OM使得下一时刻的动量矩的矢量也在水平面内，使得下一时刻的动量矩的矢量也在水平面内，所以自转轴所以自转轴就不会向下倾斜了。就不会向下倾斜了。而是向后偏转了，继续不断的偏转就而是向后偏转了，继续不断的偏转就gmLOM dOMLgm形成了自转轴的转动。形成了自转轴的转动。 结论结论进动现象正是自旋的物体在外力矩的作用下沿外力矩的进动现象正是自旋的物体在外力矩的作用下沿外力矩的方向改变其动量矩方向改变其动量矩矢量矢量的结果的结果 进动的角速度进动的角速度dt时间内时间内动量矩的增量为动量矩的增量为LdLLdLdLLdL d ddLL tMLdd由动量矩定理由动量矩定理 dJtMJdd t dd 而而即为进动的角速度即为进动的角速度 JMtPdd外力矩外力矩自转动量矩自转动量矩sinL dOLP 陀螺的进动的角速度陀螺的进动的角速度LdLLdt dd 即为进动的角速度即为进动的角速度 dsindLL tMLddtMLddsin sinddLMtP说明说明(1) 以上分析及计算是近似的以上分析及计算是近似的因为未计入进动的动量矩因为未计入进动的动量矩(2) 公式使用的前提公式使用的前提:P
