1、工程测量工程测量主讲：主讲： 蔡蔡 颖颖东北电力大学东北电力大学 建筑工程学院建筑工程学院第第5 5章章 测量误差的基本知识测量误差的基本知识 第第1节节 概述概述 第第2节节 测量误差的种类测量误差的种类 第第3节节 衡量观测精度的指标衡量观测精度的指标 第第4节节 误差传播定律误差传播定律 第第5节节 等精度直接观测值的精度等精度直接观测值的精度 第第6节节 不等精度直接观测值的精度不等精度直接观测值的精度 第第7节节第第5 5章章 测量误差的基本知识测量误差的基本知识重点：重点：中误差的计算中误差的计算难点：难点：误差传播定律误差传播定律第第1 1节节 概述概述 通过一定的仪器、工具和方
2、法对某量进行量通过一定的仪器、工具和方法对某量进行量测，称为测量，测量获得的数据称为观测值。测，称为测量，测量获得的数据称为观测值。一、测量与观测值一、测量与观测值二、观测值的分类二、观测值的分类（一）等精度观测和不等精度观测；（一）等精度观测和不等精度观测；（二）直接观测和间接观测；（二）直接观测和间接观测；（三）独立观测和非独立观测。（三）独立观测和非独立观测。第第1 1节节 概述概述（一）测量误差的定义（一）测量误差的定义 内角和观测值： 359 59 00内角和观测值180 00 50观测值与真值之差，称为真误差。观测值与真值之差，称为真误差。Xl 如如: :四边形内角和误差四边形内角
3、和误差= =11 三角形内角和误差三角形内角和误差= =5050（二）测量误差的反映（二）测量误差的反映 测量误差通过测量误差通过“多余观测多余观测”产生的差异反映出来。产生的差异反映出来。三、测量误差及其来源三、测量误差及其来源第第1 1节节 概述概述1.测量仪器测量仪器2.观测者观测者3.外界环境影响外界环境影响观测条件：观测条件：仪器、观测者、外界环境统称为观测条仪器、观测者、外界环境统称为观测条件。件。（三）测量误差的来源（三）测量误差的来源第第2 2节节 测量误差的种类测量误差的种类测量误差可分为三类：测量误差可分为三类：1.粗差粗差2.系统误差系统误差3.偶然误差。偶然误差。 1.
4、粗差：粗差： 概念：概念：也称错误也称错误 处理方法：处理方法：剔除剔除第第2 2节节 测量误差的种类测量误差的种类第第2 2节节 测量误差的种类测量误差的种类2.系统误差：系统误差： 在一定的观测条件下进行一系列观测，在一定的观测条件下进行一系列观测，如果误差的符号与大小保持不变或按一定的如果误差的符号与大小保持不变或按一定的规律变化，这类误差称为规律变化，这类误差称为系统误差。系统误差。 如：如：i角误差、角误差、2C误差、指标差、度盘偏心差、误差、指标差、度盘偏心差、标尺零点差、钢尺尺长误差、标尺零点差、钢尺尺长误差、特性：特性：对测量成果的影响对测量成果的影响有累积性有累积性第第2 2
5、节节 测量误差的种类测量误差的种类系统误差的处理方法：系统误差的处理方法：（一）加上改正数法（一）加上改正数法（二）采取对称观测（二）采取对称观测 （盘左盘右观测、前后视距相等）（盘左盘右观测、前后视距相等）（三）检校仪器工具（三）检校仪器工具第第2 2节节 测量误差的种类测量误差的种类3、偶然误差偶然误差在一定的观测条件下进行一系列观测，如果在一定的观测条件下进行一系列观测，如果观测误差的大小和符号呈现出偶然性，即没观测误差的大小和符号呈现出偶然性，即没有一定的规律，这类误差称有一定的规律，这类误差称偶然误差。偶然误差。如：气泡居中误差，估读误差，如：气泡居中误差，估读误差， 瞄准误差，瞄准
6、误差，环境影响。环境影响。偶然误差的特性偶然误差的特性(参见表5-1)：（1）绝对值不超过一定的范围；）绝对值不超过一定的范围；（2）小误差出现的机率多于大误差；）小误差出现的机率多于大误差；（3）正负误差出现机率大致相等；）正负误差出现机率大致相等；（4）当观测次数无限增多时，偶然误差的）当观测次数无限增多时，偶然误差的平均值的极限趋向于平均值的极限趋向于0。第第2 2节节 测量误差的种类测量误差的种类第第2 2节节 测量误差的种类测量误差的种类偶然误差分布曲线为正态分布。偶然误差分布曲线为正态分布。 （见图5-2）第第2 2节节 测量误差的种类测量误差的种类偶然误差的处理偶然误差的处理:A
7、、提高仪器的精度等级、提高仪器的精度等级B、进行多余观测、进行多余观测判断下列误差属性：判断下列误差属性：钢尺尺长误差钢尺尺长误差定直线误差定直线误差水准尺倾斜误差水准尺倾斜误差水准管气泡居中误差水准管气泡居中误差读数误差读数误差水准仪水准仪i角误差角误差照准目标误差照准目标误差对中误差对中误差竖盘指标差竖盘指标差视准轴误差视准轴误差地球曲率和大气折光地球曲率和大气折光横轴误差横轴误差瞄错目标瞄错目标读错数读错数温度变化温度变化风大目标不稳定风大目标不稳定第第2 2节节 测量误差的种类测量误差的种类 对某观测量进行观测时，为了避免对某观测量进行观测时，为了避免错误提高精度往往要进行多余观测，通
8、错误提高精度往往要进行多余观测，通过多余观测可以剔除粗差。过多余观测可以剔除粗差。 对于一组剔除了粗差的观测值，首对于一组剔除了粗差的观测值，首先应寻找、判断和排除系统误差，或将先应寻找、判断和排除系统误差，或将系统误差控制在一定的范围内，然后根系统误差控制在一定的范围内，然后根据偶然误差的特性对该组观测值进行数据偶然误差的特性对该组观测值进行数学处理，求出最接近未知量真值的估值，学处理，求出最接近未知量真值的估值，称为最或是值；同时，评定观测结果质称为最或是值；同时，评定观测结果质量的优劣，即评定精度。这项工作在测量的优劣，即评定精度。这项工作在测量上称为测量平差。量上称为测量平差。第第3节
9、节 衡量观测值精度的指标衡量观测值精度的指标精度精度: :指一组观测量的精确程度指一组观测量的精确程度. .也就是误差也就是误差分布的密集与离散程度。分布的密集与离散程度。分布密集说明分布密集说明小误差多小误差多, ,观测观测质量较好，分质量较好，分散说明大误差散说明大误差多多, ,观测质量低。观测质量低。第第3节节 衡量观测值精度的指标衡量观测值精度的指标评定观测值精度的指标评定观测值精度的指标常用的有常用的有中误差、相对中误差、极限误中误差、相对中误差、极限误差差或或容许误差容许误差四种四种。第第3节节 衡量观测值精度的指标衡量观测值精度的指标一、一、 中误差中误差 从图中看出，从图中看出
10、， 愈小，愈小，曲线愈陡峭，表示误差曲线愈陡峭，表示误差分布愈密集，精度越高，分布愈密集，精度越高， 愈大，愈大，曲线愈平缓，表曲线愈平缓，表示误差分布愈离散。可见，示误差分布愈离散。可见， 的大小可反映误差分的大小可反映误差分布的布的密集或离散的程度。密集或离散的程度。 nn22lim真误差真误差n观测次数观测次数第第3节节 衡量观测值精度的指标衡量观测值精度的指标一、一、 中误差中误差nm 一般情况下，中误差越大，表示误差的离散性一般情况下，中误差越大，表示误差的离散性大，观测值精度越低，反之，精度越高。大，观测值精度越低，反之，精度越高。自乘自乘求和求和平均平均开方开方 nn22lim第
11、第3节节 衡量观测值精度的指标衡量观测值精度的指标1、已知真值的情况计算中误差、已知真值的情况计算中误差如：对一个三角形内角重复观测如：对一个三角形内角重复观测5次，观次，观测结果如下：测结果如下：1800030 ， 179 59 36，1800036， 1795918，180 00 48 求观测值中误求观测值中误差。差。一、一、 中误差中误差第第3节节 衡量观测值精度的指标衡量观测值精度的指标观测值观测值真误差真误差 1800012 12 144 179 59 3624 576 1800030 30900 1795948 12144 180 00 06 0636理论值理论值:180 =180
12、0m= = 19 (观测值中误差观测值中误差)n第第3节节 衡量观测值精度的指标衡量观测值精度的指标 有些观测量的精度可以用中误差来评定，但有有些观测量的精度可以用中误差来评定，但有些观测量仅用中误差评定是不能反映出精度的高低些观测量仅用中误差评定是不能反映出精度的高低的。如距离测量的精度，若测量的。如距离测量的精度，若测量100米和米和200米中误米中误差都是差都是5，但这两段距离的精度并不一样，显，但这两段距离的精度并不一样，显然，然，200米的精度优于米的精度优于100米精度。此时应用相对误米精度。此时应用相对误差评定更为准确。差评定更为准确。200m 5100m 5ABCD二、二、 相
13、对误差相对误差第第3节节 衡量观测值精度的指标衡量观测值精度的指标二、二、 相对误差相对误差 绝对误差（中误差，真误差）的绝对值与相绝对误差（中误差，真误差）的绝对值与相应观测量的比值，化成分子为一的形式，叫作相应观测量的比值，化成分子为一的形式，叫作相对误差（相对中误差，相对真误差）。用对误差（相对中误差，相对真误差）。用K K 表示表示 。 相对误差分母越大，相对误差分母越大，k值越小，精度越高反之，精值越小，精度越高反之，精度越低。度越低。mDDmk1?1平均返往DDDk第第3节节 衡量观测值精度的指标衡量观测值精度的指标 往返丈量一段距离，往测得往返丈量一段距离，往测得250.015m
14、,250.015m,返测得返测得250.005m.250.005m.求这段距离丈量的相对误求这段距离丈量的相对误差差? ?解解:D:D平平=250.010m,=250.010m,往返较差往返较差m=0.01m, m=0.01m, 则相对误差则相对误差 K=1/(250.01/0.01)=1/25000K=1/(250.01/0.01)=1/25000mDDmK/1二、二、 相对误差相对误差第第3节节 衡量观测值精度的指标衡量观测值精度的指标三、三、 极限误差极限误差容许误差容许误差 因此，测量上一般取因此，测量上一般取 或或683. 021)(222deP955. 021)22(22222de
15、P997. 021)33(33222deP3极限m3容2m容第第4节节 误差传播定律误差传播定律误差传播误差传播: : 直接观测量的误差以一定的方式传递给间接直接观测量的误差以一定的方式传递给间接观测量。观测量。误差传播定律：误差传播定律：是指各观测值中误差与函数中误差之间的关系。是指各观测值中误差与函数中误差之间的关系。 Z=f(xZ=f(x1 1,x,x2 2, x, xn n) )广泛用来计算和评定函数值（间接观测量）的精广泛用来计算和评定函数值（间接观测量）的精度。度。第第4节节 误差传播定律误差传播定律如：三角形内角和如：三角形内角和W=ABC而而A、B、C的观测都是有误差的，它的观
16、测都是有误差的，它们的误差引起内角和们的误差引起内角和W也有误差，但函数也有误差，但函数的误差并不是简单的和关系。的误差并不是简单的和关系。ABCMNh1h3h5h2h4hn第第4节节 误差传播定律误差传播定律设函数设函数Z=f(x1,x2, xn),x1,x2, xn为独立观测值，为独立观测值，误差传播定律误差传播定律2222222121nnZmxfmxfmxfmx1,x2, xn的中误差为的中误差为m1,m2, mn,那么函数那么函数Z的中误差的中误差mZ呢呢22222221212nnZmxfmxfmxfm第第4节节 误差传播定律误差传播定律应用应用2222222121nnZmxfmxfm
17、xfm3）将系数代入误差传播定律即可求得函数值中误差： 式中， 就是误差传播定律中的系数。ixfnxxxfz 21,xnnxxzdxfdxfdxfd 2121nnzmxfmxfmxfm22222212212 求观测值函数的精度时，可归纳为如下三步三步：1）按问题的要求写出函数式：2）对函数式全微分，得出关系式：第第4节节 误差传播定律误差传播定律例：某建筑场地已划定为长方形，独立地测定其长和宽分别为a=30.000m、b=15.000m,其中误差分别为ma=0.005m、 mb=0.003m，求该场地面积A及其中误差mA。baAadbdd422222013725. 0mmambmbaA2117
18、.0mmA1、列出函数关系式，并求函数值：2、对函数表达式取全微分：3、求函数值中误差：2000.450mbaAmbaf000.15mabf000.302222222121nnZmxfmxfmxfm003. 015005. 0000.30ba，第第4节节 误差传播定律误差传播定律表表5-2 简单函数式的中误差计算公式简单函数式的中误差计算公式1）倍数函数）倍数函数 Y=kX 函数中误差函数中误差 my=kmx2）和差函数）和差函数 Y=X1X2 X3 X4 Xn 函数中误差函数中误差 my2=m12 m22 m32 m42 mn23）线性函数）线性函数 Y=k1X1 k2X2 k3X3 k4X
19、4knXn函数中误差：函数中误差：my2=（k1m1）2（k2m2）2 （k3m3）2 （k4m4）2 （knmn）2若为等精度观测，则若为等精度观测，则m1=m2=m3=m4=mn=m第第4节节 误差传播定律误差传播定律 应用误差传播定律的应用误差传播定律的注意事项注意事项： 应用误差传播定律计算函数中误差应用误差传播定律计算函数中误差 时时，应注意，列出的函数式，变量之间必须，应注意，列出的函数式，变量之间必须是相互是相互独立独立的，否则不能套用函数中误差的，否则不能套用函数中误差公式。公式。第第4节节 误差传播定律误差传播定律1 1、对一段距离、对一段距离S S进行等精度观测进行等精度观
20、测n n次，每次观测中误次，每次观测中误差均为差均为m mS S，求平均值中误差，求平均值中误差M MS S= =？nmMssnssssnS3211解：平均值snsssSddddnd32112223222221221111snsssSmnmnmnmnM第第4节节 误差传播定律误差传播定律2、设对某三角形三个内角进行观测，设对某三角形三个内角进行观测，A A角的角的中误差为中误差为3030，B B角中误差为角中误差为2020， C C角中误差为角中误差为1010，求三角形的内角和的中，求三角形的内角和的中误差误差m=m=？解：内角和解：内角和W=A+B+CW=A+B+Cm mW W2 2=m=m
21、A A2 2+m+mB B2 2m mc c2 2=30=302 2+20+202 2+10+102 2=1400 =1400 m mW W= =37.4 37.4 第第4节节 误差传播定律误差传播定律3 3、对一个三角形观测了其中、两个角，测角中误差分别为 3.53.5，6.26.2，按公式=180- -求得另一个角。试求角的中误差m1 .72 . 65 . 32222 mmm第第4节节 误差传播定律误差传播定律sinDy 4 4、 ，观测值D=225.85m0.06m， ，求 的中误差 020300157 yymcossinDfDf22222222)()cos(sin)()(mDmmfmD
22、fmDDycm1 . 320626520920. 0225856391. 022222 第第5节节 等精度直接观测值的最或是值等精度直接观测值的最或是值一、求最或是值一、求最或是值对一个量进行等精度重复观测对一个量进行等精度重复观测n n次次, ,假设真值假设真值为为X，则每一次的真误差为，则每一次的真误差为 xLxnn xxnnLxii真值算术平均值观测值xL)(n 第第5节节 等精度直接观测值的最或是值等精度直接观测值的最或是值当观测次数当观测次数n n趋于无穷时趋于无穷时, ,平均值趋于真值平均值趋于真值. .也就说当不知道真值时，取观测值的算术平均也就说当不知道真值时，取观测值的算术平
23、均值为最或然值值为最或然值( (即最可靠值即最可靠值),),代替真值。代替真值。但由于但由于n n不可能是无限大不可能是无限大, ,所以平均值不等于真所以平均值不等于真值值, ,而是接近真值而是接近真值. . 第第5节节 等精度直接观测值的最或是值等精度直接观测值的最或是值 二、评定精度二、评定精度改正数)1(nvvmnvvLvii观测值中误差观测值中误差 ) 1( nnvvM平均值中误差平均值中误差nmM （一）观测值的中误差（一）观测值的中误差)1(nvvmnvvLvii)1(nvvmnvvLvii 第第5节节 等精度直接观测值的最或是值等精度直接观测值的最或是值（二）（二） 算术平均值的
24、中误差算术平均值的中误差 如果是等精度观测如果是等精度观测, ,每个观测值的中误每个观测值的中误差都是一样的差都是一样的, ,根据误差传播定律可得算术平均根据误差传播定律可得算术平均值的中误差值的中误差M.M.nmMnmmnnmnmnmnMn2222222221221111说明平均值中误差比观测值中误差提高了说明平均值中误差比观测值中误差提高了 倍倍,但当但当n大于大于20后后,提高不明显。提高不明显。n1 第第5节节 等精度直接观测值的最或是值等精度直接观测值的最或是值归纳观测精度评定归纳观测精度评定:1、观测值中误差公式观测值中误差公式：m=2、平均值中误差公式平均值中误差公式：M= m/
25、 =计算举例计算举例 1nvv)1( nnVVn观测值或是误差VVV中误差35 18 2835 18 2535 18 2635 18 2235 18 24 3013190191观测值中误差m= m= =2.23或是值中误差M=m/ M=2.23/ =1 X= 35 18 25 =0 =20VV V1nVV420n5 第第5节节 等精度直接观测值的最或是值等精度直接观测值的最或是值若不知道真值若不知道真值, ,则用平均值作为似真值则用平均值作为似真值,v,v表示似真表示似真差差( (最或是误差，改正数最或是误差，改正数),),Llvii用似真差计算相对中误差公式：用似真差计算相对中误差公式： )
26、 1( nnvvm观测值中误差 ) 1( nnvvm观测值中误差 ) 1( nnvvnmM平均值中误差 ) 1( nnvvnmM平均值中误差mDDmk1相对中误差mDDmk1相对中误差 第第5节节 等精度直接观测值的最或是值等精度直接观测值的最或是值2、不知道真值、不知道真值, 求观测值中误差的计算求观测值中误差的计算如对一角度进行如对一角度进行4次观测次观测,观测数据如下观测数据如下:观测值观测值 V VV 50 29 30 30 900 50 30 00 00 00 50 30 12 12 144 50 30 18 18 324平均值为平均值为: 50 30 00 0 1368 m= 21
27、.4 1nvv 第第5节节 等精度直接观测值的最或是值等精度直接观测值的最或是值例例2:2:对一段距离观测了对一段距离观测了5 5次次, ,得得150.005m150.005m、150.008m150.008m、150.000m150.000m、150.003m150.003m、150.006m.150.006m.试计算这段距离的试计算这段距离的最或是值、最或是值的中误差、相对中误差、测量一最或是值、最或是值的中误差、相对中误差、测量一次的中误差？次的中误差？ 80645100186. 015012 . 486. 1586. 1) 15(52 .37) 1(2 .376 . 14 . 14 .
28、 4.636 . 0:044.0150kmmMnmmmnnvvMvvvi最或是值相对中误差观测值中误差最或是值中误差于是；，；，似真差，（即最或是值）：解：五次结果的平均值 80645100186. 015012 . 486. 1586. 1) 15(52 .37) 1(2 .376 . 14 . 14 . 4.636 . 0:044.0150kmmMnmmmnnvvMvvvi最或是值相对中误差观测值中误差最或是值中误差于是；，；，似真差，（即最或是值）：解：五次结果的平均值 80645100186. 015012 . 486. 1586. 1) 15(52 .37) 1(2 .376 . 1
29、4 . 14 . 4.636 . 0:044.0150kmmMnmmmnnvvMvvvi最或是值相对中误差观测值中误差最或是值中误差于是；，；，似真差，（即最或是值）：解：五次结果的平均值 80645100186. 015012 . 486. 1586. 1) 15(52 .37) 1(2 .376 . 14 . 14 . 4.636 . 0:044.0150kmmMnmmmnnvvMvvvi最或是值相对中误差观测值中误差最或是值中误差于是；，；，似真差，（即最或是值）：解：五次结果的平均值 80645100186. 015012 . 486. 1586. 1) 15(52 .37) 1(2 .376 . 14 . 14 . 4.636 . 0:044.0150kmmMnmmmnnvvMvvvi最或是值相对中误差观测值中误差最或是值中误差于是；，；，似真差，（即最或是值）：解：五次结果的平均值本章小结本章小结1.基本概念 真误差、系统误差、偶然误差、中误差、相对误差、极限误差、容许误差、等精度观测值2.简答 1）观测误差分类 2）什么是系统误差？系统误差有何特点？怎样消除或减弱系统误差的影响 3）什么是偶然误差？偶然误差有何特点？ 4）误差的主要来源3.计算 1）中误差相关计算
