1、2.12.2 极限的概念与计算主要内容)(重点 极限有关概念：（1）数列极限（2）函数极限（3）左极限、右极限 （4）无穷小量 极限计算2.1.1 数列极限:. 1极限概念.),(,)(:否则称为发散且极限就是该常数或有极限收敛则称为某个常数无限接近若因变量能趋向说明.)(的变化趋势函数式因变量程中在自变量的某个变化过，.,形成的一列数加以排列一些数字按一定的顺序.3 ,2, 1,)(:nnfa，nn记作为自变量的函数以正的自然数数列实质)(,)(,limnAaAaAannnnn或记作个常数某或无限接近趋向通项无限增大时当:. 2数列:. 3数列极限例： 判别下列极限是否收敛,1,41,31,
2、21,1) 1 (n,4,3,2, 1) 3(n,) 1( , 1, 1, 1, 1)2(1n:解:1nan12131410:n1234nan1:)1(通项公式为01n，n时当01lim:nn即1)1()2(nna通项公式为:n1234:)1(1nna1111?1) 1(limnn不存在nan通项公式为)3(:n1234:nan1234nnlim)(不存在:的区别与 都是符号而不是数字与. 1.2.:表示正数的无限远处.:表示负数的无限远处0堂上练习：判断数列 是否收敛，若收敛，求其极限。)(2nnnxn:解nnxn2通项公式为:n:2nnxn123413243546?:事实上nnnnnnnx
3、n212122:2nnxn1212213214211收敛数列时当nnxnn2,12limnnn且2.1.2 函数极限:. 1函数极限形式:. 2主要区别函数极限与数列极限的)(lim?xfx自变量的变化趋势不同)( ,:, 3 , 2 , 1,) 1 (nnnnn简记为能只能取一些间断点且只其含义是数列极限的自变量是:,:,)2(趋势有三种的变化所以代表一切实数函数的自变量是xRxxx)(lim)(lim)(lim0 xfxfxfxxxx:即xxxx0)(0为某个常数x 型的函数极限xxx1lim:求极限例)( : 如右图示解两种情况讨论分分析xxxx1lim,1lim) 1 ( :,) 1
4、(时当x01limxx,)2(时当x01limxx01lim:)2(),1 (xx得综合借助图象)2(.xy1yx01x01x注意观察:随着x的增大，y的变化趋势！注意观察:随着x的减小，y的变化趋势！ 型的函数极限11lim:21xxx求极限例0 xx :分析) 1( ,111) 1 (2xxxxy,1,)2(时如下图示x:解.有两个相反的运动方向x112xxyxy:,1列表如下的附近在 x:由上表可知2,1, 1) 1 (yxx时且当2,1, 1)2(yxx时且当2,1yx时当211lim:21xxx即 xx函数极限中自变量x变化特点小结:x . 1x . 2:.只能朝一个方向运动x0.
5、3xx .:动朝两个相反方向相向运xx. 2x. 1x. 30 x x x x x两个简单函数极限实例)(lim.10为某个常数求ccxx:解cyxcy的值永远是取何值无论是常函数,xxx0lim. 2求cyxx永远有时,0)(如右图示:解,0时xxxy)(yx换为把)(如右图示0 xy ccxx0lim00limxxxxxy0 x):(常数极限是本身含义xy0 xxx堂上练习.,并求其极限势分析下列函数的变化趋);(1) 1 (2xxy)0(2)2(1xyx).0(cos)3(xxy)(析借助数学软件的图象分221:xxy分析2.1.3 左极限和右极限0 xx无限接近!:00两个过程的两侧无
6、限接近从它包括xxx:0的含义复习xx ?,:00运动方向有多少种的相对于这一过程中无限接近在思考xxxxx0 xxx:. 1左极限0 xx )(0的左侧在即xx,0时无限接近且xx)(lim:0 xfxx记作:. 2右极限0 xx )(0的右侧在即xx,0 xx无限接近且x0 xxx0 xx:小结。xx位置关系的的与是说明右与左左极限与右极限中的0”“”“.函数的变化趋势)(0 xx.函数的变化趋势)(0 xx)(lim:0 xfxx记作左、右极限的实例及用途设函数例:. 10, 10,)(xxxxf:分析与思考).(lim)(lim00 xfxfxx和求?为什么应取分段函数的哪一支:提示?
7、0?0落在定义域中哪一支谁大与是什么意思xxx00lim)(limxxxf:解xxfxx00lim)(lim1lim)(lim00 xxxf)(lim:0 xfx思考?011 . 2定理)(lim)(lim)(lim000 xfAxfAxfxxxxxx) !)(lim:1 .2(0显然不存在知由定理xfx.):(右极限存在且相等左极限存在的充要条件是含义、) !:. 2处的极限讨论分段函数在分界点右极限的主要作用左、堂上练习设函数xxxf)(。xxf，、xxf处是否有极限存在在并讨论右极限处的左在求0)(0)(:解)(xf0, 10, 1xxxxxx) 1(lim)(lim00 xxxf11l
8、im)(lim00 xxxf1)(lim)(lim00 xfxfxx又不存在)(lim0 xfx2.1.4 无穷小量:. 1无穷小量,0的量极限为:即., 0lim为无穷小量则称若,:记作:例021limnn.21,为无穷小量时当nn:. 2无穷小量的重要性质.乘积仍为无穷小量无穷小量与有界函数的:例xxxsinlim0求:解0lim0 xx,0为无穷小量时当xx 为无穷小量又xsin.sin 为无穷小量xx0sinlim0 xxx堂上练习xxxsinlim求极限:分析不存在xxsinlimxxlim0sinlim0 xxxxxxxsin1sin但01limxx为无穷小量时当xx1,为有界函数
9、又xsin为无穷小量时当xxxxxsinsin1,01limxx:解为有界函数又xsin2.2 极限计算:.论极限计算的几个简单结一)(lim. 1为某个常数ccc 01.201.3时当1, 0. 4qq:.极限的计算方法二直接代入法. 1恒等变形法. 2第一重要极限法. 3第二重要极限法. 4依据以极限的四则运算作为:)00( :型或nx、分母同除分子有理化法因式分解法去掉根号:)sin(,00:符号特别是且含有三角函数符号型型1:极限的四则运算法则:,lim,lim3 . 2则都存在若定理vuvuvulimlim)lim(. 1)(lim)(lim)lim(. 2vuuv) 0(lim,l
10、imlimlim. 3vvuvu)( ,lim)lim(. 4为某个实数kukkunnuu)(limlim. 5nnuulimlim. 6!:00代入只须令极限四则运算的实质说明xxxx直接代入法)3(lim:22xxx求例:解:,上式可写为事实上2234lim32)3(limlim22222xxxxxx原式2642322原式恒等变形法:恒等变形).,max(,)( :);(,;:,00,01110111nmx、，xbxbxbxbaxaxaxa、，、。mmmmnnnn分母同除则分子时且均为多项式分母分子对于函数形为有理化法化消去根号则要对根式有理若函数含有根式因式分解法因子约去公分母同时因式分
11、解分子如恒等变换需对函数进行适当的型时或出现直接代入后39lim:23xxx求例:分析.,00需变形型直接代入是),3(3xx零因子是.3）约去因式分解想办法把（ x:解) 3() 3)(3(lim3xxxx原式) 3(lim3xx6xxx11lim:0求例.需有理化函数中含有根号:分析.,00需变形型直接代入是bababa2)( :有理化公式为根据平方差公式可推出:解) 11() 11)(11(lim0 xxxxx原式) 11(1)1 (lim20 xxxx11lim0 xxxx21111lim0 xx堂上练习:求下列极限6586lim) 1 (222xxxxx:分析xxx11lim)2(0
12、:分析.,00因式分解型.,00有理化型:解:解) 3)(2() 4)(2(lim2xxxxx原式34lim2xxx2123242) 11() 11)(11(lim0 xxxxx原式) 11(1)1 (lim0 xxxx) 11(lim0 xxxx111lim0 xx213512lim23xxx求极限例:分析x，、且分母都是多项式分子:解3333233332333512lim3512lim3512limxxxxxxxxxxxxxxxx原式020002 不能写出该过程堂上练习423532lim)1 (22xxxxx1082) 15()31 () 12(lim)2(xxxx:解:求下列极限3242
13、3532lim423532lim) 1 (222222xxxxxxxxxxxx原式x，、且分母都是多项式分子分析 :1082) 15()31 () 12(lim)2(xxxx10,:分母的最高次数分子且分母都是多项式分子分析、x，、:解xxxxxxxlim) 15()31 () 12(lim10101082原式?10108822) 15()31 () 12(xxxxxx1082153112limxxxxxxx1082153112limxxxx1082532 第一重要极限:第一重要极限形式1sinlim0 xxx:第一重要极限特点0. 2. 1分母角度分母:式第一重要极限的推广形1)()(sin
14、lim0)(xxxxxxsinlim:思考?!:变化趋势注意的提示xxxxsinlimx1xsinxlim0)sin,00(符号含型第一重要极限的例题:下列极限求例)0( ,sinlim10kxkx、xxx、x3sin2sinlim20 xx、xtanlim30：、分析1:,得对比第一重要极限特征角度分母kxxsinlim:0原式解kxk?kxkxkxsinlim0kk1) !0,0:(kxx时说明:2分析、!3sin2sin各需一个分母与xxxxx3sin2sinlim0原式:解x2x3x2x3?xxxxxx33sinlim22sinlim3200321132：、分析3!sintan,tan
15、,sin来变出由但有分子没有xxxxxxxcossintan :解xxxxcossinlim0原式xxxxcossinlim0 xxxxcos1sinlim00cos11111堂上练习:求下例极限6) 3sin(lim. 123xxxx244sinlim. 20 xxx:. 1分析,00型)!3( x把分母变出3) 3sin(lim:3xxx原式解63lim23xxxx632xxx)2)(3(3lim3xxxx21lim3xx21原式另解:) 2)(3() 3sin(lim3xxxx21) 3() 3sin(lim3xxxx51511:. 2分析,00型!,4或考虑分母有理化把分母变出 xxx
16、x44sinlim:0原式解244xx244lim0 xxx) !,00(考虑有理化型) 24)(24() 24(4lim0 xxxxx44) 24(4lim0 xxxx1644)24(lim40 xxxxxxxxxxx) 24)(4(sinlim) 24)(24() 24)(4(sinlim:00原式另解xxxx4) 24)(4(sinlim40) 24(4)4(sinlim40 xxxx16414)(凑第一重要极限第二重要极限:第二重要极限形式:第二重要极限特点:式第二重要极限的推广形exxx10)1 (limexxx)11 (lim或型11)1(有有倒数关系)2(指数)3(exxx)(1
17、0)()(1 (lim第二重要极限例题:下列极限求例xxx2)11 (lim)1 (xxx)31 (lim)2()0( ,)1 (lim) 3(10kkxxx!,1:应考虑用第二重要极限型都是分析?,有哪些特点不满足个特点对比第二重要极限的三:解)11(lim) 1 (xx原式?x22e)31(lim)2(xx原式3?3x3e1 lim:0 x原式解)0( ,)1 (lim)3(10kkxxx?kx1)( kx?kke堂上练习:求下列极限xxx211lim) 1 (xxxx3lim)2(111021lim) 3 (xxx:) 1 ( 分析!,1凑第二重要极限型eexxx212120211lim
18、:原式解:)2(分析131lim3lim3limxxxxxxxxx!,1还是凑第二重要极限型原式还是33331lim31lim3lim:exxxxxxxxxxx原式解111021lim) 3(xxx:分析!,1凑第二重要极限型:错误解法)2(01110)2(1lim21limxxxxxx原式?) !,:(有变量指数应是常数而不能含应用第二重要极限时说明) !11( :去掉想办法把指数正确解法11102121limxxxx原式1101021lim21limxxxxx112120)01 (21limxxx21 e小结:2.12.2 极限的概念与计算重点: 极限的通俗概念 左、右极限定义、作用 无穷小量概念 极限的计算（6种方法）结束:分析0,0,xxxxx又0)(xxf定义或为xxxf)(0, 10, 1xxxxxx
