1、第三章第三章岩石的弹塑性本构模型岩石的弹塑性本构模型 岩石的弹塑性本构模型岩石的弹塑性本构模型 前言前言 张量知识简介张量知识简介 线性弹性理论线性弹性理论 非线性弹性理论非线性弹性理论 应力空间表述的弹塑性本构理论应力空间表述的弹塑性本构理论前言前言 1、条件：将岩石介质看作成一种连续介质、条件：将岩石介质看作成一种连续介质宏观分析。宏观分析。 2、主要研究内容：、主要研究内容： 研究材料固有的特性，建立应力研究材料固有的特性，建立应力应变及与应变及与温度之间关系的表达式（本构关系）温度之间关系的表达式（本构关系） 分析弹塑性变形体内应力、应变分布，研究分析弹塑性变形体内应力、应变分布，研究
2、物体在各种荷载下的稳定性问题物体在各种荷载下的稳定性问题求解边值求解边值问题或求解初值问题或求解初值-边值问题。边值问题。 应用数学问题，探求各种解析方法或数值方应用数学问题，探求各种解析方法或数值方法。法。 本章着重解决本构关系。本章着重解决本构关系。张量知识简介张量知识简介 一、预备知识一、预备知识1. 坐标系坐标系 2. 约定求和约定求和3. 克罗尼克尔符号克罗尼克尔符号4. 置换符号置换符号二、张量的定义二、张量的定义1. 坐标变换坐标变换 2. 零阶张量（标量）零阶张量（标量）3. 一阶张量（向量）一阶张量（向量）4. 二阶张量二阶张量ijijk1. 坐标系坐标系 1）直线坐标系）直
3、线坐标系 由坐标原点与三条不共面标架由坐标原点与三条不共面标架直线构成直线构成 2）仿射坐标系）仿射坐标系 各标架上单位尺度不同各标架上单位尺度不同 3）笛卡尔坐标系）笛卡尔坐标系 各标架上单位尺度相同各标架上单位尺度相同 笛卡尔直角坐标系笛卡尔直角坐标系 标架直线互相垂直标架直线互相垂直 笛卡尔斜角坐标系笛卡尔斜角坐标系 标架直线不互相垂直标架直线不互相垂直 以以 表示笛卡尔直角坐标系的坐表示笛卡尔直角坐标系的坐标标 ， ， ，分别表示三个坐标的单位矢，分别表示三个坐标的单位矢量。量。3 , 2 , 1, ixi1i2i3i2. 约定求和约定求和 定义：如果在同一项中，某个指标重复出现两定义
4、：如果在同一项中，某个指标重复出现两次，就表示对这个指标从次，就表示对这个指标从1到到3求和。求和。例1 例2 332211BABABABAii3 , 2 , 1i332211xAxAxAxAii3 , 2 , 1i例例3: 131312121111BABABABAijij3 , 2 , 1, 1ji232322222121BABABA3 , 2 , 1, 2ji333332323131BABABA3 , 2 , 1, 3ji例4 332211BABABABAiiijij3 , 2 , 1j333232131323222121313212111BABABABABABABABABA3 , 2 ,
5、 1, 33 , 2 , 1, 23 , 2 , 1, 1jijiji3. 克罗尼克尔符号克罗尼克尔符号 定义定义： 故有故有：ijjijiij10jiij 例例1：在笛卡尔直角坐标系中：在笛卡尔直角坐标系中： 例例2：单位矩阵可表示为：单位矩阵可表示为ijjiiiijI333231232221131211100010001 例例3： 例例4： 3332211ii1111221331211222233231132233331,2,3immiAAAAAAAAAAAAAAi 例例5： 例例6：3 , 2 , 13 , 2 , 1321321jiBBBBBBBBijiiijjjmjimijmjim
6、4. 置换符号置换符号 1）定义）定义：ijk的奇排列为当的偶排列为当中有两个相同者当3 , 2 , 1,13 , 2 , 1,1,0kjikjikjiijk即：即：111112113121122131133211212221222223232233311313322323331332333123231312321213132,0,11 例例1 ：111213212223313233112233122331132132132231122133112332123123|, ,1,2,3ijijkijkijkijkaaaaaaaaaaa a aa a aa a aa a aa a aa a aa
7、a aa a ai j k 例例2 ：123123123ijkijkijkjk iABABBBA BA BiiiA Bii 2） 和和 的关系的关系 ijkij111222333ijkijkijkijk 练习练习 将下式写成常见的应力将下式写成常见的应力-应变方程组（广义虎应变方程组（广义虎克定律）克定律）ssijijkkijss1(2 1)EE 2()2(22)3 ijsskkijsijKGG3(1 2 )sssEKv2(1)sssEG例：将（例：将（2-1）式转换为（）式转换为（2-2）式）式 由由 得：得：3(1 2 )sssEKv2(1)sssEG1169ssssvEGK2(1)sss
8、EG （2-1）式可以写成）式可以写成 两端乘两端乘111(23)269 ijijijkksssGGKij111269111223 ijijijijijijkksssiiiikksssGGKGGK 调整参数调整参数 或或 代入（代入（2-3）式，得）式，得11112233kkkkkkkkGGKK3kkkkK1113269ijijijskksssKGGK11223 sijijkkssKGG整理得：整理得：2()23 sijsijkksijGKG二、张量的定义二、张量的定义 张量是由满足一定关系的一组元素所组张量是由满足一定关系的一组元素所组成的整体，元素的个数由空间的维数成的整体，元素的个数由空
9、间的维数N及及张量的阶数张量的阶数n决定，我们以决定，我们以N=3为代表，为代表，给出各阶张量的定义。给出各阶张量的定义。 1笛卡尔直角坐标系间的坐标变换笛卡尔直角坐标系间的坐标变换：式中：式中： 是是 轴与轴与 轴夹角的余弦，轴夹角的余弦， 为坐标轴的单位向量为坐标轴的单位向量即即： 3 , 2 , 1ixxjijiijixo jox,ijijjb=i ii i333232131332322212123132121111xxxxxxxxxxxx1x2x3x1x1112132x 2122233x3132331x2x3x1x1112132122233132333x2x 2零阶张量（标量）零阶张量
10、（标量） 有有30=1个元素，是坐标变换下的不变量，个元素，是坐标变换下的不变量，即即),(),(321321xxxxxx3一阶张量（向量）一阶张量（向量） 有有31=3个元素个元素 ，它们随坐标系，它们随坐标系变化的规律为变化的规律为 或或, (1,2,3)iTi =3 , 2 , 1iTTjiji3 , 2 , 1iTTjjii 该该3个元素组成的整体称为一阶张量，记作个元素组成的整体称为一阶张量，记作 称为称为 的分量，记作的分量，记作 一阶张量一阶张量=向量向量T1,2,3iTi =T),()(321TTTTiT4二阶张量二阶张量 有有 个元素，个元素， 它们随坐标系的变化规律为它们随
11、坐标系的变化规律为 或或9323 , 2 , 1,jiTijmnjnimijTTmnnjmiijTT3 , 2 , 1,nmji 则由这则由这9个元素所组成的整体称为二阶张个元素所组成的整体称为二阶张量，记作量，记作333231232221131211)(TTTTTTTTTTijT5. 应力、应变张量应力、应变张量 应力张量：应力张量： 是二阶对称张量，是二阶对称张量， 应变张量：应变张量： 是二阶对称张量，是二阶对称张量， 广义虎克定律：广义虎克定律： 式中：式中：弹性系数张量，根据张量识别定理，弹性系数张量，根据张量识别定理，是是4阶张量，共有阶张量，共有34=81个分量。个分量。mnjn
12、imijmnjmimijkpijkpijE线性弹性理论线性弹性理论一、空力空间和应变空间一、空力空间和应变空间二、用二、用cauchy方法给出的本构方程方法给出的本构方程 一、空力空间和应变空间一、空力空间和应变空间 1应力空间：应力空间： 定义：以应力分量定义：以应力分量 作为笛卡尔坐标作为笛卡尔坐标系中的坐标轴所形成的空间（一般概念上来说系中的坐标轴所形成的空间（一般概念上来说应是一个应是一个9维空间），岩体中某一点的应力状维空间），岩体中某一点的应力状态可用应力空间中的一点（坐标）来表示。态可用应力空间中的一点（坐标）来表示。ij 常用应力空间常用应力空间 9维空间不直观。通常采用三维维
13、空间不直观。通常采用三维二维空间二维空间 i) 用三个主应力来表示：用三个主应力来表示： ii) 用二个主应力来表示：用二个主应力来表示： iii) 用剪应力和平均应力来表示用剪应力和平均应力来表示用剪应力和平均应力来表示用剪应力和平均应力来表示 应力分解应力分解：式中：式中： 为平均应力为平均应力mmmmmm321321000000000000000000)(31321m13131313310002200022ssssssssss骣骣+-鼢珑鼢珑骣鼢珑鼢珑鼢 =+珑鼢珑鼢+-桫珑鼢鼢珑鼢珑桫桫用剪应力和平均应力来表示用剪应力和平均应力来表示 常用二维：常用二维： 空间表示空间表示其中：其中：
14、st 1313,22tsssss+=-=用剪应力和平均应力来表示用剪应力和平均应力来表示 常用三维：常用三维： 空间表示空间表示qp1232221223312222212233122221223311()31()()()233221()()()331()()()6octoctPqJJJsssssssssttssssssssssss=+=-+-+-=-+-+-轾=-+-+-犏臌 八面体剪应力八面体剪应力 偏应力第二不变量；与形变能偏应力第二不变量；与形变能V有关有关 轴对称情况（常规三轴试验）：轴对称情况（常规三轴试验）：oct2J21323222161EV)2(3131p31q用剪应力和平均应
15、力来表示用剪应力和平均应力来表示 有限元计算中常用的应力空间有：有限元计算中常用的应力空间有： 空间，空间，12 IJ3211I2应力路径（应力路径（stress route）1）定义：应力空间中用来表示应力状态变）定义：应力空间中用来表示应力状态变化历史的一条曲线。化历史的一条曲线。2）举例：）举例： 不同应力空间中常规三轴加载条件下的不同应力空间中常规三轴加载条件下的应力路线应力路线3应变应空间与应变路径应变应空间与应变路径相同定义相同定义 本构关系就是应力、应变这两种状态所本构关系就是应力、应变这两种状态所满足的数学表达式满足的数学表达式 二、用二、用cauchy方法给出的本构方程方法给
16、出的本构方程 1Cauchy假设：在外力作用下，物体内各点的假设：在外力作用下，物体内各点的应力状态和应变状态之间存在着一一对应的关应力状态和应变状态之间存在着一一对应的关系。因此，弹性介质的响应仅与当时的状态有系。因此，弹性介质的响应仅与当时的状态有关而与应变路径或应力路径无关。关而与应变路径或应力路径无关。 推论：推论： 卸荷后，介质回到初始状态卸荷后，介质回到初始状态 应力、应变都是瞬时发生的，在时间上无先应力、应变都是瞬时发生的，在时间上无先后顺序后顺序 在应力空间和应变空间的各点之间构成一在应力空间和应变空间的各点之间构成一一对应的映射关系。一对应的映射关系。 2弹性本构方程弹性本构
17、方程1）弹性变形是各向同性的弹性变形是各向同性的用应变表示应力用应变表示应力 （1）其中：其中： 为为4 4阶张量。阶张量。ijijkpkpEijkpE 对于各向同性：对于各向同性： 式中，式中， 为某一标量，是两个独立的常数，为某一标量，是两个独立的常数，称为拉梅常数称为拉梅常数 ()ikjpipik ijkpijkpE , (ijijkpikjpipjkkp 2ijijkkij , ,1,2,3i j k 用应力表示应变用应力表示应变12 (32 )212 (32 )2ijijkkijijijkpikjpipjkkp , ,1,2,3i j k 2）弹性参数：）弹性参数： 纯拉（或压）虎克
18、定律中的扬氏弹性模量纯拉（或压）虎克定律中的扬氏弹性模量E 纯剪切虎克定律中的剪切弹性模量纯剪切虎克定律中的剪切弹性模量G 泊松比泊松比 v E ：纯拉（或压）纯拉（或压） 其余其余 1100ij11111112 (32 )2 11(32 )2233112 (32 ) 实验上：单向伸缩的虎克定律可以写成实验上：单向伸缩的虎克定律可以写成 故：故： 泊松比泊松比 11111E)23(E22112() 纯剪切虎克定律中的剪切弹性模量纯剪切虎克定律中的剪切弹性模量G G 又又 故：故：0kk121212121212G11222(1)EGGv3）不同表示的弹性本构方程）不同表示的弹性本构方程 用用E，
19、 表示的弹性本构方程表示的弹性本构方程 用用K-G表示的弹性本构方程表示的弹性本构方程v1ijijijkkvvEE 111269ijijijkkGGK 3(1 2 )EKv 用用G、E、 表示的弹性本构关系表示的弹性本构关系 用用 表示的弹性本构关系表示的弹性本构关系 v21 21ijijijkkEvGvv ,G1 21Evvv2ijijijkkG 上述各式中的上述各式中的E， ，G，K等弹性参数可采用等弹性参数可采用割线参数。割线参数。 4 4）增量形式的弹性本构方程）增量形式的弹性本构方程 上述各式中的上述各式中的E， ，G，K等弹性参数可采用等弹性参数可采用切线参数。切线参数。v1iji
20、jijkkvvdddEE2()23ijijkkijdkGdGdv非线性弹性理论非线性弹性理论 非线性弹性非线性弹性Duncan（邓肯）模型（邓肯）模型该模型在岩土工程计算中运用相当广泛。该模型在岩土工程计算中运用相当广泛。 （一）弹性模量（一）弹性模量 （二）泊松比（二）泊松比 E（一）弹性模量（一）弹性模量1）基本假定：基本假定：由常规三轴试验，应力由常规三轴试验，应力应变关系为双曲线形式：应变关系为双曲线形式：或或 1131ab13113()1 ()ab 2）参数意义：）参数意义： 式中：式中： 为初始模量。为初始模量。 1113111,()uabb 131()ub1301111Eaba1
21、001aE0E 3）割线模量：）割线模量： 131110131311313013111()()1 ()11 ()1 ()susEcabEabEbEba 4）切线模量 13111121()()tddEddabacab221301311 ()1 ()tEbEba 5）用三轴试验参数表示的非线性关系）用三轴试验参数表示的非线性关系 不同不同 ，有不同，有不同 30E03lglglgaaEKnPP30naaEKPP 不同不同 ，有不同，有不同 ， 3b13131313131()()()()()ucuffcubRR式中，称为破坏应力比，是破坏应力与极限应力之比3132sin2cos()1 sincc31
22、32sin2cos()(1 sin )ufcR3(1 sin )2sin2cosfRbc摩尔摩尔-库仑准则：库仑准则：1313sincos22c 有：有： 式中：式中： 内聚力，内摩擦角内聚力，内摩擦角 实验参数实验参数 大气压大气压 3133(1 sin )lg1()2sin2cosnfsaaREKPPc 23133(1 sin )lg1()2sin2cosnftaaREKPPc , c,K naP（二）泊松比（二）泊松比 1 1）基本假定：轴向应变）基本假定：轴向应变 径向应变径向应变 为双曲线关系为双曲线关系或：或： rav ar()rarfd 1arafd()rrravfdfd 2）参
23、数的物理意义）参数的物理意义 000,()11,rrrrraaaurfdfdfd 3）割线泊松比）割线泊松比 0000013()111()rsrraaaaasvvdvdfvvvdddAAddE 其中： 4）切线泊松比）切线泊松比 2(1)()()1(1)aaaraaaaffdfddd 00222(1)(1)(1)taavfddA13()asAddE其中：5）用三轴实验参数表示的非线性关系）用三轴实验参数表示的非线性关系 不同不同 ，有不同，有不同 其中：其中：G、F为试验参数为试验参数3030lgavGFfP 割线泊松比割线泊松比 3lg(1)sGFPavA13131333()()(1 sin
24、 )()12sin2cossnfAdEdRKPaPac 其中： 切线泊松比切线泊松比32lg(1)tGFPavA13131333()()(1 sin )()12sin2cosasnfAddEdRKPaPac 其中： （三）讨论（三）讨论1）邓肯模型由常规三轴试验曲线来确定切线的）邓肯模型由常规三轴试验曲线来确定切线的弹性常数。常规三轴试验弹性常数。常规三轴试验 ，是一种特殊，是一种特殊的加荷路径，只要假定材料是各向同性的，沿的加荷路径，只要假定材料是各向同性的，沿 方向增加方向增加 所确定的弹性常数可以用于所确定的弹性常数可以用于 方 向 荷 载 增 加 的 情 况 ，方 向 荷 载 增 加
25、的 情 况 ， 当 然 也 适 用 于当 然 也 适 用 于 和和 同时增加的情况。这样的确定方法在理同时增加的情况。这样的确定方法在理论上是正确的，具有增量弹模和增量泊松比的论上是正确的，具有增量弹模和增量泊松比的物理意义。物理意义。3c133313 2 2）常规三轴试验）常规三轴试验曲线曲线 的割线的割线斜率不具有全量（割线）弹模的物理意义，因斜率不具有全量（割线）弹模的物理意义，因全量侧压力不为全量侧压力不为0 0，且，且 不等于全部的不等于全部的 ，不可以用来确定弹性常数。不可以用来确定弹性常数。 3 3）该模型只考虑硬化、不能反映软化。）该模型只考虑硬化、不能反映软化。 13() a
26、a1 4 4）塑性全量理论的本构关系在本质上也是一种非线性弹）塑性全量理论的本构关系在本质上也是一种非线性弹性关系，该理论中假设在全量应力与全量应变之间存在着性关系，该理论中假设在全量应力与全量应变之间存在着一一对应的关系。因此，在岩土工程计算中，只要是在比一一对应的关系。因此，在岩土工程计算中，只要是在比例加载或偏离比例加载的条件下，使用的全量塑性理论模例加载或偏离比例加载的条件下，使用的全量塑性理论模型在本质上都是非线性弹性模型。在节理岩石的有限元分型在本质上都是非线性弹性模型。在节理岩石的有限元分析中，广泛使用析中，广泛使用zienkiewiczzienkiewicz等人提出的不抗拉模型
27、和层等人提出的不抗拉模型和层状材料模型，在这些模型中，只要规定了超出库仑准则的状材料模型，在这些模型中，只要规定了超出库仑准则的应力点拉回到库仑面上的具体方式，则在应力与应变之间应力点拉回到库仑面上的具体方式，则在应力与应变之间也有一一对应的关系，因而它们可以被看作是一种全量形也有一一对应的关系，因而它们可以被看作是一种全量形式的非线性弹性关系。式的非线性弹性关系。 岩石的弹塑性本构模型岩石的弹塑性本构模型 前言前言 张量知识简介张量知识简介 线性弹性理论线性弹性理论 非线性弹性理论非线性弹性理论 应力空间表述的弹塑性本构理论应力空间表述的弹塑性本构理论应力空间表述的弹塑性本构理论应力空间表述
28、的弹塑性本构理论一、岩石的单轴压缩实验曲线和某些基本概念一、岩石的单轴压缩实验曲线和某些基本概念二、屈服条件和屈服面二、屈服条件和屈服面 三、塑性状态的加三、塑性状态的加卸载准则卸载准则 四、塑性势理论和相应的本构方程（增量形式）四、塑性势理论和相应的本构方程（增量形式）一、岩石的单轴压缩实验曲线和某些基本概念一、岩石的单轴压缩实验曲线和某些基本概念1、稳定阶段稳定阶段; 非稳定阶段，非稳定阶段，2弹塑性材料的特点弹塑性材料的特点 屈服屈服产生塑性变形；产生塑性变形； 加载、卸载时遵循不同的规律；加载、卸载时遵循不同的规律； 加工硬化，软化加工硬化，软化 破坏破坏要表述弹塑性本构关系，必须反应
29、上述特点。要表述弹塑性本构关系，必须反应上述特点。 0ddse 二、屈服条件和屈服面二、屈服条件和屈服面1屈服条件或屈服准则一般概念屈服条件或屈服准则一般概念 应力状态达到某种组合时，产生屈服，出现应力状态达到某种组合时，产生屈服，出现塑性变形塑性变形 应力张量应力张量 内应力张量，塑性应变所对应的应力内应力张量，塑性应变所对应的应力 塑性应变张量塑性应变张量 (, )0pijijfnss=ijspklepijsppijijklklDse= n 标量的内变量，可以代表塑性功标量的内变量，可以代表塑性功W，塑，塑性体应变性体应变 或等效塑性应变或等效塑性应变pspe1/2()Ppijijpiji
30、jvpppijijwdddddsesdeeeee=蝌 若 弹性状态 塑性状态 不存在(, )0(, )0(, )0pijijpijijpijijfnfnfnssssss 2初始屈服条件初始屈服条件 3屈服面，应力空间屈服面，应力空间 继*()0ijffs=f 初始屈服面后屈服面 4理想塑性体理想塑性体屈服面大小和开状不发生变化，屈服面大小和开状不发生变化， 5硬化硬化-软化后继屈服面软化后继屈服面屈服面大小和形状由于内变量的出现和发展而屈服面大小和形状由于内变量的出现和发展而变化。变化。 如式如式 *()0ijffs=(, )0pijijfnss= 等向硬化等向硬化软化：对于均匀扩大（硬化）和
31、均软化：对于均匀扩大（硬化）和均匀收缩（软化）：后继屈服面仅含有一个标量匀收缩（软化）：后继屈服面仅含有一个标量参数参数 n 式中：式中：H材料参数材料参数H是标量是标量 n 的函数。的函数。*()( )0ijffH ns=-= 6随动硬化：屈服面大小和形状保持不变，随动硬化：屈服面大小和形状保持不变，在应力空间中平动在应力空间中平动 式中，式中， 为屈服面中心的位置矢量。为屈服面中心的位置矢量。 材料参数，可是材料参数，可是 n 的函数。的函数。 7混合硬化混合硬化 *()0pijijffass=-=pijasa*()( )0pijijffaH nss=-= 4.00ijijklklijij
32、ijklklgdCdddCddddf在卸载和中性变载时：在加载时，如果材料是硬化的，的大小可由一致性条件确定：0pijijijijfffdfdddnn1pppijijklklijklklijklDCD其中，为弹性参数0ijijklpijijklffgfdD ddnn0ijijklpijijklijklpijklffgfddDhnfgfADhn 令：1ijijfddA得：式中：式中：pijijpijijpijijgnwghnggn当当当 5 5、加载时的本构关系、加载时的本构关系 1()ijijklklijklgfdcdA如果定义如下的括号算法：000aaaa当当1ijijklklilijklgfdCddA6统一的本构关系：统一的本构关系：
