1、【教学目标教学目标】 知识与技能：知识与技能：通过问题情景，经历求曲面梯形的形成过程，了解定积分概念的实际背景。理解求曲面梯形的一般步骤 。 过程与方法：过程与方法：通过问题的探究体会以直代曲、以不变代变及无限逼近的思想。通过类比体会从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想方法 。 情感态度与价值观：情感态度与价值观：体验和认同“有限和无限对立统一”的辩证观点，接受用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题的积极态度 。【重点与难点重点与难点】 重点：重点：求一般曲面梯形面积的方法 ； 难点：难点：对以直代曲、无限逼近思想的理解 。 正方形、长方形、正方形、长方形、三角形、平行四边三角形、平行四边形
2、、梯形等平面多边形的面积，可以利用形、梯形等平面多边形的面积，可以利用相关公式进行计算相关公式进行计算. . 那么，如何求曲线围成的平面图形的那么，如何求曲线围成的平面图形的面积呢？这就是面积呢？这就是定积分定积分要解决的问题。要解决的问题。 新课引入新课引入 一般地一般地, , 如果函数如果函数y=f(x)y=f(x)在某个区间在某个区间I I上的图上的图象是一条连续不断的曲线象是一条连续不断的曲线, , 那么就把它称为区那么就把它称为区间间I I上的上的连续函数连续函数. .aboxyaboxy 曲边梯形曲边梯形：在直角坐标系中，由连续曲线在直角坐标系中，由连续曲线y=f(x)y=f(x)
3、，直线，直线x=ax=a、x=bx=b及及x x轴所围成的图形轴所围成的图形叫做曲边梯形。叫做曲边梯形。Ox y a b y=f (x)x=ax=b问题：问题： 如何计如何计算曲边梯形算曲边梯形的面积？的面积？思考一：如何求出下列图形的面积？xyoBA 从中你有何从中你有何启示？启示？“分割分割”得到熟得到熟悉的图形悉的图形思考二：想一想我国魏晋时期的数学家刘徽是如何研究圆的面积？有何有何启示启示以直代曲以直代曲(2)(2)分割越细，面积的近似值就越精确。分割越细，面积的近似值就越精确。 当分割无限变细时，这个近似值就无当分割无限变细时，这个近似值就无 限逼近所求曲边梯形的面积限逼近所求曲边梯
4、形的面积S S。“以直代曲以直代曲”的具体操作过程的具体操作过程:曲边梯形的面积曲边梯形的面积(1) (1) 将曲边梯形分成很窄的小曲边梯形，将曲边梯形分成很窄的小曲边梯形，然后用矩形面积代替后求和。然后用矩形面积代替后求和。分析分析x yO1方案方案1方案方案2方案方案3对任意一个小曲边梯形，用对任意一个小曲边梯形，用“直边直边”代替代替“曲边曲边”（即（即在很小范围内以直代曲），有以下三种方案在很小范围内以直代曲），有以下三种方案“以直代以直代曲曲” 。 y = f(x)bax yO A1A A1. 用一个矩形的面积用一个矩形的面积A A1 1近似代替曲边梯形近似代替曲边梯形的面积的面积A
5、 A，得，得如何求曲边梯形如何求曲边梯形的面积的面积?A A1+ A2A1A2如何求曲边梯形如何求曲边梯形的面积的面积? y = f(x)bax yO用两个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积用两个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A A, ,得得A A1+ A2用四个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积用四个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A A, ,得得A1A2A3A4如何求曲边梯形如何求曲边梯形的面积的面积? y = f(x)bax yOA A1+ A2+ A3+ A4 将曲边梯形分成将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵形的个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积，于是曲边梯形的
6、面积面积代替小曲边梯形的面积，于是曲边梯形的面积A A近近似为似为A1AiAn以直代曲以直代曲, ,无限逼近无限逼近 如何求曲边梯形如何求曲边梯形的面积的面积? y = f(x)bax yOA A1+ A2 + AnO1xyyx 2分割分割1nin近似近似代代替替求和求和取极限取极限1i -n区间长度：区间长度：x=x=区间高：区间高：h=h=小矩形面积：小矩形面积：S=S=1ifn 第第i个小区间个小区间1ifn 1n 例例1.求抛物线求抛物线y=x2、直线、直线x=1和和x轴所围成的曲边梯形轴所围成的曲边梯形的面积。的面积。（1）分割）分割把区间把区间0，1等分成等分成n个小区间：个小区间
7、：,nn,n1n,ni,n1i ,n2,n1,n1,0 n1n1inix每个区间的长度过各区间端点作过各区间端点作x轴的垂线，从而得到轴的垂线，从而得到n个小曲边梯个小曲边梯形，他们的面积分别记作形，他们的面积分别记作.S,S,S,Sni21 n1n2nknnxOy2xy（2） 以直代曲以直代曲n1)n1i(x)n1i(fS2i（3）求和）求和) 1n(210n1n1)n1- i(n1)n1- if(SSSSS22223n1i2n1in1iin21 n1n2nknnxOy2xy 2222(1)(21)1236n nnn)12n(n)1n(61n13（4）取极限）取极限。面积为，即所求曲边三角形
8、的所以时，亦即当分割无限变细，即3131S31)n12)(n11 (61) 12n(n) 1n(61n1) 1n(210n1)n(0 x322223 分割分割以直代曲以直代曲求和求和取极限取极限 n1n2nknnx2xy O n1n2nknnxOy2xy y(不足近似值)(过剩近似值)如果取如果取(i-1)/n,i/n(i-1)/n,i/n内任意点内任意点X Xi i的函数值的函数值f(Xf(Xi i) )作为小矩形的高，作为小矩形的高，以此近似，情况又怎样呢？以此近似，情况又怎样呢？ f(x x2) y = f(x)bax yOx1xi-1xixn-1x2 x xi f(x xi)x x1x
9、 x2 f(x x1) f(x xi) xi niiinxfS1.)(limx x曲边梯形的面积为曲边梯形的面积为（1 1）在分割时一定要等分吗？不等分影响结）在分割时一定要等分吗？不等分影响结果吗？果吗？（2 2）在近似代替时用小区间内任一点处的函）在近似代替时用小区间内任一点处的函数值影响结果吗数值影响结果吗 ？思考在分割时，不管采用等分与不等分，结果一样。在分割时，不管采用等分与不等分，结果一样。 在近似代替时，用小区间内任在近似代替时，用小区间内任 一点处的函数值一点处的函数值作为近似值，结果也是一样的。作为近似值，结果也是一样的。归纳概括：归纳概括： 一般曲边一般曲边梯形的面积的梯形
10、的面积的表达式表达式 niinfnabS1limx1. 当当n很大时，函数很大时，函数 在区间在区间 上的值，可以用上的值，可以用( )近似代替近似代替 A. B. C. D.2)(xxfnini,1C)1(nf)2(nf)(nif 0f练 习),)(1iiiixxfxx可以是该区间内任一点的函数值可以是该区间内任一点的函数值2、在在“近似代替近似代替”中，函数中，函数f(x)在区间在区间 上的近似值等于上的近似值等于1,iixx练习练习.0, 2, 02积所围成的曲边梯形的面与曲线求直线xyyxx小结小结分割分割近似代替近似代替求和求和取极限取极限一一.求曲边梯形面积的步骤：求曲边梯形面积的
11、步骤：二二.运用的数学思想：运用的数学思想： 1.以直代曲以直代曲思想思想 2.逼近逼近思想思想作业作业导学测评导学测评（六）（六）观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系区间区间00，11的等分数的等分数n nS S的近似值的近似值20.125 000 0040.218 750 0080.273 437 50160.302 734 50320.317 871 09640.325 561 52 1280.329 437 262560.331 382 755120.332 357 4110240.332 845 21 20480.333 089 23 nS 我们还我们还可以从数值可以从数值上可以看出上可以看出这一变化趋这一变化趋势势
