1、测试信号分析与处理课程 第二章 连续时间信号分析 第一节 周期信号分析 第二节 非周期信号的频域分析第三节 周期信号的傅里叶变换第四节 采样信号分析 介绍周期信号的分解和傅立叶级数，从频域来描述和分析连续时间信号。第一节 周期信号分析 如何求解复杂信号作用于线性系统后的响应？由如何求解复杂信号作用于线性系统后的响应？由此分析，要解决什么样的关键问题？此分析，要解决什么样的关键问题？-信号分解信号分解。 信号分析就是要研究信号如何表示为各分量的叠信号分析就是要研究信号如何表示为各分量的叠加，并从信号分量的组成情况去考察信号的特性加，并从信号分量的组成情况去考察信号的特性。 只要知道周期信号在一个
2、周期内的特性，也就可只要知道周期信号在一个周期内的特性，也就可以了解到它所具有的全部特性。所以，对周期信以了解到它所具有的全部特性。所以，对周期信号的研究往往是在一个周期内进行。号的研究往往是在一个周期内进行。 第一节 周期信号分析 一个信号也可以对于某一基函数集找出此信号在一个信号也可以对于某一基函数集找出此信号在各基函数中的分量；各基函数中的分量； 一个基函数集即可构成一个信号空间，常用的则一个基函数集即可构成一个信号空间，常用的则是是正交函数集正交函数集 。 从数学上可以证明，任何一个连续函数都可以在从数学上可以证明，任何一个连续函数都可以在定义域里用某个正交函数集来表示。定义域里用某个
3、正交函数集来表示。 若此函数集不仅是若此函数集不仅是正交而且完备正交而且完备，则用他来表示，则用他来表示信号时将没有误差。信号时将没有误差。 第一节 周期信号分析（一）用完备正交实变函数集来分解信号 函数f(t)与g(t)在区间 上正交的条件是 例例2-12-1在 内， 与 是正交的。 两个函数是否正交，必须指明在什么区间内。21( ) ( )0ttf t g t dt 21tt，t1sint1cos/201 t第一节 周期信号分析（二）用完备正交复变函数集来分解信号复变函数集 ,r=1,2,.,n在区间 上是正交函数集的条件是 例例2-2若 ，在 内，指数函数集 是正交函数集。证明： 三角函
4、数集三角函数集和指数函数集指数函数集是应用最广的完备正交集。21tt，)(tgrjikjidttgtgdttgtgttjittji，0)()()()(2121*111Ttt，112T2101，netjnmnmnTdteedteetjmTtttjntjmTtttjn，0)(1*1111111111第一节 周期信号分析一、三角函数形式的傅里叶级数一、三角函数形式的傅里叶级数 用完备正交函数集对周期信号分解，即可得到周期信号的傅里叶展开式。进行傅立叶展开的周期函数进行傅立叶展开的周期函数f(t)f(t)必须满足必须满足狄里赫利狄里赫利（DirichletDirichlet）条件）条件，即即在周期 内
5、，函数f(t)1）若有间断点存在，则间断点数目必须有限； 2）极大值和极小值数目应该是有限个； 3）应是绝对可积的，即 在工程实践中所遇到的周期信号一般都满足狄里赫利条件。 , 3 , 2 , 1sincos111ntntn，111Ttt，dttfTtt111)(第一节 周期信号分析周期信号f(t)的三角级数形式的傅立叶展开式其中，0112111210111( )coscos2sinsin2(cossin)nnnf taatatbtbtaantbnt1111111110111111( )2( )cos (1, 2, 3, , )2( )sin tTttTnttTntaf t dtTaf tnt
6、dtnTbf tntdtT111Tttt结论： 任何周期信号，可以分解为直流分量和无穷多个弦波分量的叠加。幅度谱相位谱周期信号幅度谱和相位谱的特点第一节 周期信号分析例例2-3 2-3 周期矩形脉冲信号，如图所示。他在区间内的数学表达式为 1, /2( )0, /2/2Etf ttT11/2, /2TT第一节 周期信号分析二、指数函数形式的傅里叶级数二、指数函数形式的傅里叶级数在在 内可以用指数函数集来表示周期信号内可以用指数函数集来表示周期信号f(t)f(t)。式中式中 111Ttt，11111( )() jntnf tF netttT 111111111111111( )1()( )tTj
7、nttTtjnttTtjntjnttf t edtF nf t edtTeedt第一节 周期信号分析例例2-4 2-4 周期对称方波如图所示。它在一个周期内的表达式为111, /4( ), /4/2EtTf tETtT第一节 周期信号分析三、三、 周期信号的功率谱周期信号的功率谱信号能量信号能量能量有限信号能量有限信号 ：平均功率：平均功率：功率有限信号：信号功率有限信号：信号f(t)f(t)在时间（在时间（-,+）上的平）上的平均功率均功率 0 F x (a t ) d1e)(axajataXa1for a 0F x (a t ) de)(1d1e)(ajajatxaaxaXa1That i
8、s ,如果 a = -1,有x (- t ) X( -) aXaatx|1)(aXaatx|1)( 尺度变换性质表明，时域信号的压缩与扩展，对应于频域频谱函数的扩展与压缩。 若要压缩信号持续时间，提高通信速率，则不得不以展宽频带作代价例如若 x (t) X() 则其中“t0” 为实常数。)(e)(00Xttxtj证明： F x (t t0 ) tttxtjde)(000ede)(tjjttx)(e0Xtj4. 时移性质(Timeshifting Property) 时移性质表明，信号在时间轴上的移位，其频谱函数的幅度谱不变，而相位谱产生附加相移 。0t若 x (t) X() 则证明：其中 “0
9、” 为实常数。F e j0t x(t)ttxtjtjde)(e0ttxtjde)()(0= X(-0) end)(e)(00txXtj5. 频移性质(Frequency Shifting Property)频移性质表明，若要使一个信号的频谱在频率轴上右移 单位，在时域就对应于其时间信号x(t)乘以 。 00jet例1x(t) = ej3t X() = ?Ans: 1 2() ej3t 1 2(-3)例2x(t) = cos0t X() = ?Ans:X() = (+0)+ (-0)tjtjeetx002121)(例3Given that x(t) X() The modulated signa
10、l x(t) cos0t ? Ans: 0000011FcosF2212jtjtx ttx t ex t eXX 6. 时域微分(Differentiation in time domain)()()()(jXjtxnn证明：( )F( )dx tj Xdt F x tX若 则 1( )( )2j tx tXed( )1( )2j tdx tj Xeddt两边对t求导，得 所以 ( )F()dx tjXdtx(t)= 1/t2 ?例1Ans:jt2)sgn()sgn(22jt)sgn(1jt)sgn()sgn()(1ddjjtt|)sgn(12t例 2Determine x (t) X ()A
11、ns:x ”(t) = (t+2) 2 (t) + (t 2)X2()= F x”(t) = (j )2 X ()= e j2 2 + e j2= 2cos(2) 2 X () =222)2cos(22)()(jX7. 卷积定理(Convolution Property)时域卷积（Convolution in time domain）：If x1(t) X1()， x2(t) X2()Then x1(t)*x2(t) X1()X2()频域卷积（Convolution in frequency domain）：If x1(t) X1()， x2(t) X2()Then x1(t) x2(t) X
12、1()*X2()21证明：d)()()(*)(2121txxtxtx F x1(t)*x2(t) =dde)()(ded)()(2121ttxxttxxtjtj利用时移性质，jtjXttxe)(de)(22所以 F x1(t)*x2(t) =de)()(de)()(1221jjxXXx= X1()X2()已知)(tx为矩形脉冲信号,求)(*)()(txtxty的傅里叶变换。根据时域卷积定理，有22()Sa ()2Y( )Sa()2X( )( )x tg t的傅里叶变换为门函数其实，y(t) 是脉宽为2、脉高为的三角脉冲。例 1Ans:t22O)(tx1Ot)(ty例 2?)(sin2XttAn
13、s:)Sa(2)(2tg利用对偶性，)(2)Sa(22gt)()Sa(2gt )(*)(2)(*)(21sin22222ggggttg2()*g2()22- -200( )( )cos()y tf tt00001( )( )* ()()21 ()()2YFFF y(t)0cos() ty1(t)10( )( )cos()y ty tt100001( )( )* ()()21 ()()2YYYY F()OMM1O00)()(0Fcos()tY()O000+M0M21例3Y1()O00214141调制解调第三节 周期信号的傅立叶变换 周期信号是不满足绝对可积条件的，为了解决这个周期信号是不满足绝对
14、可积条件的，为了解决这个问题，我们可同样借助于复指数函数的傅里叶变换问题，我们可同样借助于复指数函数的傅里叶变换对。对。 傅立叶级数展开式式中，两边傅立叶变换 1( )jntTnnftF e111/2/211( )TjntnTTFft edtT11( )jntTnnjntnnftF eFeFFF1( )2()TnnftFn F（1）周期信号的傅里叶变换是由冲激函数组成的冲激串。特点：冲激串的频率间隔为1=2/T ，冲激位于周期信 号的谐频处，冲激强度为Fn的2倍。Fn易求时F0(n1)易求时ntjnnTFtf1e)(22de)(11TTtjnTnttfTFnntjnnntjnnnTkFeFeF
15、F)(2FF)(011nnTnnFnnFTF)()()()(2)(1101110第三节 周期信号的傅立叶变换 周期信号傅里叶变换所得到的是频谱密度函数，在这里它是冲激函数，它表示在无穷小频带范围内（即谐频点）取得了无限大的频谱值，而不像傅里叶级数的相应系数所表示的是谐频分量的幅值。 例2-5：周期为T的单位冲激周期函数T(t)= mmTt)(TdtetxTXTTtjkk1)(1220解：冲激周期函数的傅里叶系数O TTt( )Tt(1)0002( )()()kkPkkT 周期信号如图，求其傅里叶变换。解：周期信号x(t)也可看作一时限非周期信号x0(t)的周期拓展。)2(1)(20000TnX
16、TkXXk周期信号傅里叶级数的系数0( )Sa()2XA0000( )() ()kXXkk 00Sa() ()2kAk 第四节 采样信号分析 一、连续时间信号的采样过程 第四节 采样信号分析 连续时间信号经理想采样后，其理想采样信号连续时间信号经理想采样后，其理想采样信号 的频谱的频谱 的幅值将是连续时间信号频谱的幅值将是连续时间信号频谱 的的 倍，并倍，并 从开始，沿频率轴正、负方从开始，沿频率轴正、负方向，每隔一个采样频率向，每隔一个采样频率 重复一次。重复一次。 )(tfa)(aF( )aF1/sT0s第四节 采样信号分析二、时域采样定理（香农采样定理）二、时域采样定理（香农采样定理）
17、“频率混迭”现象 香农采样定理 要使采样信号的频谱不出现频率混迭就必须要求： 连续时间信号必须是带限信号； 采样器的采样频率必须满足 实际工程应用中，采样频率一般大于连续时间信号中最高频率的2倍，可选4倍10倍。 2sh第四节 采样信号分析三、采样信号的恢复三、采样信号的恢复 低通滤波器特性 采样信号频谱经过该理想滤波器后，就可以得到原连续时间信号的频谱。再由 恢复的连续时间信号 , 2( )0, 2sssTG)()()()(aaFGFY( )aF( )y t()()aytf t第四节 采样信号分析四、四、 采样信号恢复的内插公式采样信号恢复的内插公式 第四节 采样信号分析 采样内插公式 特点：在采样点上，其函数值为1，而在其他采样点上函数值为零。 用内插公式将采样信号恢复为连续时间信号虽然准确，但是却难以实现，因为在各点采样间的连续信号的值要靠无穷项求和得到。 sin()( )()()ssaasnsstnTTf tfnTtnTT第四节 采样信号分析 实际上，常用两种近似的内插方法来恢复原来的连续时间信号，这就是“零阶保持法”和“一阶保持法” 。
