1、平面汇交力系：平面汇交力系：交于同一点交于同一点力系中的各力的作用线都位于同一平面内且汇力系中的各力的作用线都位于同一平面内且汇第一节第一节 平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系合成与平衡的几何法一、平面汇交力系合成的几何法一、平面汇交力系合成的几何法力多边形法则力多边形法则O1F2F3F4FRFR2FR1F1F2F3F4FO1F2F3F4FOR1FR2FRF本章讨论平面汇交力系的合成与平衡问题本章讨论平面汇交力系的合成与平衡问题一、平面汇交力系合成的几何法一、平面汇交力系合成的几何法力多边形法则力多边形法则O1F2F3F4FRFR2FR1F1F2F3F4FOORF任一平面汇交力系均可合
2、成为一个作用线通过汇交点的合力任一平面汇交力系均可合成为一个作用线通过汇交点的合力合力的大小和方向由各分力矢依次首尾相连构成的开口多边形合力的大小和方向由各分力矢依次首尾相连构成的开口多边形的封闭边矢量确定的封闭边矢量确定对应的矢量关系式为对应的矢量关系式为R12niFFFFF三、平面汇交力系平衡的几何条件三、平面汇交力系平衡的几何条件二、平面汇交力系的平衡条件二、平面汇交力系的平衡条件 平面汇交力系平衡的充分且必要条件为其合力为零平面汇交力系平衡的充分且必要条件为其合力为零 力多边形自行封闭力多边形自行封闭1F2F3F4F5F1F2F3F4FO5FFxyO第二节第二节 平面汇交力系合成与平衡
3、的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法 一、力在直角坐标轴上的投影一、力在直角坐标轴上的投影1. 定义定义yFxF力力 F 在在 x 轴上投影：轴上投影：cosxFF力力 F 在在 y 轴上投影：轴上投影：cosyFF间的夹角间的夹角Fij式中，式中， 、 分别为分别为与与 、 正方向正方向说明：说明： 1）力在坐标轴上投影为代数量，正负号由方向余弦确定）力在坐标轴上投影为代数量，正负号由方向余弦确定2）力在坐标轴上投影的几何意义）力在坐标轴上投影的几何意义3）力在坐标轴上投影的正负号可以直接判断）力在坐标轴上投影的正负号可以直接判断ij2. 已知投影求力已知投影求力yFxFFxyOijcos
4、xFFcosyFF大小：大小： 22xyFFFcos, cosyxFFFF方向余弦：方向余弦： 3. 分力与投影之间的关系分力与投影之间的关系 xyxyFFFF iF j说明：说明：仅在直角坐标系中成立仅在直角坐标系中成立 xFyF解：解：例例1 已知平面内四个力，其中已知平面内四个力，其中F1 = F2 = 6 kN，F3 = F4 = 5 kN，各，各力的方向如图所示，试分别求出各力在力的方向如图所示，试分别求出各力在 x 轴和轴和 y 轴上的投影。轴上的投影。604530 xy1F2F3F4F111cos6063kN2xFF 113sin6065.20kN2yFF20 xF226kNyF
5、F 331sin3042kN2xFF333cos3043.46kN2yFF442cos4542.83kN2xFF442sin4542.83kN2yFF 二、平面汇交力系合成的解析法二、平面汇交力系合成的解析法1. 合力投影定理合力投影定理 力系的合力在任一坐标轴上的投影等于其各分力在同一轴上投力系的合力在任一坐标轴上的投影等于其各分力在同一轴上投影的代数和，即影的代数和，即 RxixFFRyi yFF2. 用解析法求合力用解析法求合力 大小：大小： 方向余弦：方向余弦： 2222RRRxyixi yFFFFFRRRcosixxFFFFRRRcosi yyFFFF由合力投影定理，得合力的投影由合
6、力投影定理，得合力的投影例例2 已知已知 F1 = 200 N、F2 = 300 N、F3 = 100 N、F4 = 250 N，各力，各力方向如图所示，方向如图所示， 试求该平面汇交力系的合力。试求该平面汇交力系的合力。解：解：34cos45cos45FFR1234sin30sin60sin45sin45112.3NyFFFFF2F3F4F1Fx30604545yO1）计算合力的投影计算合力的投影R12cos30cos60 xFFF129.3 NRRR129.3cos0.755171.3ixxFFFFRRR112.3cos0.656171.3yiyFFFF2222RRR129.3112.3
7、N171.3 NxyFFF2）确定合力的大小和方向）确定合力的大小和方向RFxyO合力合力 FR 的作用线通过力系的汇交点的作用线通过力系的汇交点 O ，方向如图所示方向如图所示arccos0.65649.0arccos0.75541.0R112.3 NyFR129.3 NxF三、平面汇交力系的平衡方程三、平面汇交力系的平衡方程0ixF 0i yF 2）投影轴可任意选择）投影轴可任意选择 说明：说明： 1）可解两个未知量）可解两个未知量4）解方程，求未知量）解方程，求未知量四、求解平衡问题的基本步骤四、求解平衡问题的基本步骤1）适当选取研究对象）适当选取研究对象2）对研究对象进行受力分析）对研
8、究对象进行受力分析3）选取坐标轴，列平衡方程）选取坐标轴，列平衡方程AB解：解：例例3 如图，重如图，重 P = 5 kN 的电动机放在水平梁的电动机放在水平梁 AB 的中央，梁的的中央，梁的 A 端端受固定铰支座的约束，受固定铰支座的约束，B 端以撑杆端以撑杆BC 支持。若不计梁与撑杆自重，支持。若不计梁与撑杆自重，试求铰支座试求铰支座 A 处的约束力以及撑杆处的约束力以及撑杆 BC 所受的力。所受的力。Pl/2lBAC30PAFBCFD2）受力分析）受力分析1）选取）选取 AB 梁梁（包括电动机）（包括电动机）为研究对象为研究对象ABPAFBCFD300,iyF 0,ixF 4）求解未知量
9、）求解未知量5kNBCF解得解得FBC 为正值，表示其假设方向与实际方向相同，即杆为正值，表示其假设方向与实际方向相同，即杆 BC 受压；受压；而而 FA 为负值，则表明其假设方向与实际方向相反。为负值，则表明其假设方向与实际方向相反。3）选）选取坐标取坐标轴轴，列平衡方程列平衡方程yxcos30cos300ABCFFsin30sin300ABCFFP5kNAF 例例4 重重 P = 20 kN的重物，用钢丝绳挂在铰车的重物，用钢丝绳挂在铰车 D 与滑轮与滑轮 B 上。上。A、B、C 处均为光滑铰链连接。若钢丝绳、杆和滑轮的自重不计，并忽略处均为光滑铰链连接。若钢丝绳、杆和滑轮的自重不计，并忽
10、略摩擦与滑轮尺寸，试求系统平衡时杆摩擦与滑轮尺寸，试求系统平衡时杆 AB 和和 BC 所受的力。所受的力。CBCFCBFBABAFABFB1）选取）选取滑轮滑轮（包含销钉（包含销钉 B ）2）受力分析）受力分析1FBCF60CBD30PAB2FBAF3060解：解：为为研究对象研究对象注意：受力图中假设杆注意：受力图中假设杆 AB 和和 BC 均受拉均受拉3）选取坐标轴选取坐标轴，列平衡方程列平衡方程0,iyF 0,ixF 4）求解未知量）求解未知量0.3667.321NBAFP 1.36627.32NBCFP xyFBA 与与 FBC 均为负值，表明其假设方向与实际方向相反，即杆均为负值，表
11、明其假设方向与实际方向相反，即杆 AB 和和 BC 均受压。均受压。1F3060BCFB2FBAF12cos60cos300BAFFF12cos30cos600BCFFF解得解得解：解：例例5 已知已知 P = 534 N，求使两根绳索，求使两根绳索 AC 、BC 始终保持张紧所需始终保持张紧所需力力 F 的取值范围。的取值范围。FPACFBCF2）受力分析）受力分析FPABC433060C1）选取节点选取节点 C 为研究对象为研究对象0,ixF 3）选取坐标轴，列平衡方程）选取坐标轴，列平衡方程0,iyF 4）求解未知量）求解未知量314553BCFFPF2453ACFPF为使两根绳索保持张
12、紧，应有为使两根绳索保持张紧，应有 FAC 0 且且 FBC 0由此得力由此得力F 的取值范围的取值范围: 290.34 N F 667.5 NyxFPABC433060FPACFBCFC3sin3005BCACFFF4cos3005ACFPF例例6 简易压榨机由两端铰接的杆简易压榨机由两端铰接的杆AB、BC 和压板和压板 D 组成。已知组成。已知 AB = BC ，杆的倾角为，杆的倾角为 ，点，点 B 的铅垂压力为的铅垂压力为F 。若不计各构件的自重。若不计各构件的自重与各处摩擦，试求水平压榨力的大小。与各处摩擦，试求水平压榨力的大小。解：解：FCDAB0,iyF 0,ixF 建立坐标轴，列平衡方程建立坐标轴，列平衡方程ABFFyBCFBx1）首先选取销钉）首先选取销钉B 为研究对象，为研究对象，画受力图画受力图coscos0ABBCFFsinsin0ABBCFFF2sinBCBAFFF解得解得2）再选取压板）再选取压板 D 为研究对象为研究对象0,ixF coscot2DBCFFF取取 x 轴，列平衡方程轴，列平衡方程ABFFBCFBFCDAB画受力图画受力图cos0BCDFF式中，式中，2sinBCBCFFF 故得水平压榨力故得水平压榨力DBCFNFDFx
