1、籃球罰球的數學模型建立與籃球罰球的數學模型建立與投籃模擬投籃模擬摘要摘要建立數學模型來預測罰球時的情況。練習數學工具的使用,像是微積分、微分方程和數值方法等。在這份報告後面,我們將會有專注於數值方法上的應用。介紹介紹比數接近的比賽,通常最後獲勝的那隊,擁有較高罰球率。今年SBL 籃球最後一場冠軍賽,裕隆隊終場以74 比73 擊敗台啤隊,贏得今年度總冠軍,也有一點原因在於81% 的罰球進球率高於台啤的78% 。台灣人的身高較為矮小,所以設定較矮小的身高來進行數學模擬。假設有一個身長170 公分的人。對投籃而言,最佳的射球會和出手時的速度和角度有關。重要的是,如何建議這位170 公分高的選手,出手
2、時的最佳角度及速度。第一個模型-最佳出手角度 當球進籃時難免都會有點誤差（以從籃框正中央進籃為準），但是球還是能進籃。對於出手時角度所造成的些許誤差，還是可以使球順利進籃，這樣的角度誤差是我們所容許的。而針對對這位170公分的人而言，什麼出手射籃角度最好？實際數值給定實際數值給定名稱名稱代號代號數值數值籃框直徑 Dr 0.457 m 籃球直徑 Db 0.24384 m 球心距離籃框中心 l 4.1016 m 球心距離籃框高 h 0.34925 m 地球引力 g-9.81 m / s2 圖示圖示1 1簡單的假設簡單的假設 1.投籃者為170公分。2.最好的射籃是籃球直接從籃圈中心通過，也就是球心
3、會通過籃圈中心。3.只考慮空心入網，所以會有直接入網的情況，或是輕碰到籃的後面直接入網。確保球直接進入不會彈出，就是當球心軌跡在籃框的高度下面。4.忽略空氣阻力。5.忽略球的旋轉。6.投射的軌跡中不會有左右的偏差。7.出手時的速度不會有誤差。圖示圖示2 2物理上的定義物理上的定義 數學式子推導數學式子推導 VH為水平方向速度，VV為垂直方向速度，VHV cos(0)，VVV sin(0)。 距離速度時間，所以水平方向的移動距離，x(t) = V0 cos(0) t l為球心距離籃框中心的距離。令T為球出手到球經過籃框中心的時間，l = V0 cos(0) T 同理垂直方向的距離也可以算出，y(
4、t)V0 sin(0)t + 1/2 g t2 出手時球心與籃框高度距為h，當球心剛好到達籃框球心時，正好在垂直方向經過的距離為h，因此經過的時間也是為T，所以，hV0 sin(0)T+ 1/2 g T2 此時g、l和h為固定值，利用l = V cos(0) T，我們可以得到= l / V cos(0) 再帶入到hV0 sin(0)T + 1/2 g T2，化簡後可以得到，V0 = l / cos(0) x (-g / 2(l tan(0)-h ) 只剩V0和0為兩個未知變數，但是可以發現，若給定0之後，也會有一個相對應的V0，因此所有的數值都會變成已知。圖示圖示4 4考慮到進球的條件考慮到進
5、球的條件 1避免會碰撞到前框，所以籃框邊緣到球心的距離( s )要大於籃球的半徑( Db/2 )。此時s2=(x(t)-(l-Dr/2)2+(y(t)-h)2(Db/2)2 考慮到進球的條件考慮到進球的條件 2 2x + Db/2 是當球靠著最右邊的籃框進籃的水平距離，而籃框最右邊的距離長又為 l + Dr/2 ，所以x + Db/2 = l + Dr/2。 解題解題 要找出給定0後，可容許的誤差範圍，因此先固定V0。會有一個容許的最大high和最小的low，此時可知low0 (Db/2)2，我們知道可以不碰到邊框，所以順著前框進籃則為 S2 = (Db/2)2，即S2=(Db/2)2=0。由x+ Db/2 = l+ Dr/2得知，xl+(DbDr)/2= 0，當角度太大就會碰到後框進入。所以由這兩個式子就可以分別找到high和low。
