1、第三章 刚体力学基础吴登平理学院物理系E-mail：一、刚体一、刚体 刚体是一种特殊的质点系，系统内任意刚体是一种特殊的质点系，系统内任意两质点间的距离恒保持不变。两质点间的距离恒保持不变。 是一种理想是一种理想模型。模型。 或者说：在外力作用下，形状和大小都或者说：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体不发生变化的物体刚体的运动形式：刚体的运动形式：平动、转动平动、转动 刚体平动刚体平动 质点运动质点运动 平动：平动：刚体中所刚体中所有点的运动轨迹都保有点的运动轨迹都保持完全相同持完全相同 特点：特点：各点运动各点运动状态一样，如：状态一样，如： 等都相同等都相同a、v转动转动：分分定轴
2、转动定轴转动和和非定轴转动非定轴转动刚体的刚体的平面运动平面运动 刚体的一般运动可看作：刚体的一般运动可看作：随质心的平动随质心的平动绕质心的转动绕质心的转动+的合成的合成二二、力矩、力矩Pz*OMFrdMFdFrMsin : 力臂力臂d 刚体绕刚体绕 O z 轴旋转轴旋转 , 力力 作用在刚体上点作用在刚体上点 P , 且在转动且在转动平面内平面内, 为由点为由点O 到力的到力的作用点作用点 P 的径矢的径矢 . FrFrM 对转轴对转轴 Z 的力矩的力矩 F1. 1. 定义定义国际单位制单位国际单位制单位 Nm 力矩是决定刚体转动的物理量力矩是决定刚体转动的物理量, ,表明力的大小、表明力
3、的大小、方向和作用点对物体转动的影响。方向和作用点对物体转动的影响。2. 2. 物理意义物理意义3. 3. 注意注意 (1)(1) 对固定轴的对固定轴的力矩只有两个方向，规定力矩只有两个方向，规定了正方向后，可用正负号表示力矩的方向了正方向后，可用正负号表示力矩的方向; ;(2)(2) 若有若有n n个力作用在刚体上，且都在与转个力作用在刚体上，且都在与转轴相垂直的平面内，则合力矩为所有力对轴相垂直的平面内，则合力矩为所有力对刚体力矩的代数和刚体力矩的代数和; ;FFFzsin rFMz （3 3）若力若力 不在转动平面内，把力分解为平行和垂不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个
4、分量：直于转轴方向的两个分量： FzOkFrzFFFrkMz 其中其中 对转轴对转轴的力矩为零，故的力矩为零，故 对转轴的力矩为对转轴的力矩为zFF（4 4）刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消。刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消。jiijMMjririjijFjiFdOijMjiMOrmz三三 转动定律转动定律FtFnFrFMsinmrmaFttM （1）单个质点单个质点 与转轴刚性连接与转轴刚性连接m2mrM 2tmrrFM2iejjjjrmMM（2）刚体刚体 质量元受质量元受外外力力 ，内内力力jFejFi外外力矩力矩内内力矩力矩OzjmjrjFejFi2iejjjjjjrmMM0ji
5、jjiijMMM 刚体定轴转动的角加速度与它所受的刚体定轴转动的角加速度与它所受的合合外力矩外力矩成正比，与刚体的成正比，与刚体的转动惯量转动惯量成反比成反比.)rmMjjjj2e(转动定理转动定理JM 2jjjrmJ定义转动惯量定义转动惯量OzjmjrjFejFimrJd21. 与与 地位相当，地位相当，m反反映质点的平动惯性，映质点的平动惯性，J反映刚体的转动惯性。反映刚体的转动惯性。FmaiMJiMJ2. 力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原因。速度的原因。3. 力矩是矢量，方向沿转轴，对定轴转动只有力矩是矢量，方向沿转轴，对定轴转动只有两
6、个方向两个方向，所所 以用以用正负号表示方向正负号表示方向。说明说明转动惯量转动惯量 J 的的意义：意义：转动惯性的量度转动惯性的量度 . 转动惯量的单位：转动惯量的单位：kgm22jjjrmJmrJd2刚体的转动惯量与以下三个因素有关：刚体的转动惯量与以下三个因素有关：（3）与转轴的位置与转轴的位置有关有关（1）与刚体的体密度与刚体的体密度 有关有关（2）与刚体的几何形状及体密度与刚体的几何形状及体密度 的分的分布有关布有关说说 明明竿子长些还是短些较安全？竿子长些还是短些较安全？ 飞轮的质量为什么飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？大都分布于外轮缘？v 质量离散分布质量离散分布2222211
7、2jjjjrmrmrmrmJ J 的计算方法的计算方法 v 质量连续分布质量连续分布VrmrrmJVjjjdd222 ：质量元：质量元md ：体积元：体积元Vd2 对质量对质量线分布线分布的刚体：的刚体：质量线密度：质量线密度lmdd2 对质量对质量面分布面分布的刚体：的刚体：质量面密度：质量面密度Smdd2 对质量对质量体分布体分布的刚体：的刚体：质量体密度：质量体密度Vmdd 质量连续分布刚体的转动惯量质量连续分布刚体的转动惯量22di iJmrr m：质量元：质量元md例例3-1 求下列几种情况下，细杆连接的求下列几种情况下，细杆连接的5个个小球组成体系的转动惯量：小球组成体系的转动惯量
8、：(1)忽略细杆质忽略细杆质量，系统分别绕水平轴和竖直轴旋转；量，系统分别绕水平轴和竖直轴旋转；(2)考虑细杆的质量考虑细杆的质量M，系统分别绕水平轴和，系统分别绕水平轴和竖直轴旋转竖直轴旋转. 解解 （1） 忽略细杆质量忽略细杆质量 系统绕水平轴旋转系统绕水平轴旋转22212Jmbmbmb 系统绕竖直轴旋转系统绕竖直轴旋转 22222Jmamama(2) 考虑细杆的质量为考虑细杆的质量为M 系统绕水平轴旋转系统绕水平轴旋转 22212(2 )12Jmaa22112(2 )12JmbMb 系统绕竖直轴旋转系统绕竖直轴旋转 例例3-2 求质量为求质量为m、半径为、半径为R的均匀薄圆环的均匀薄圆环
9、和薄圆盘对垂直中心轴的转动惯量。和薄圆盘对垂直中心轴的转动惯量。 解：解：(1) 在环上任取质元在环上任取质元dm。由。由于各质元至转轴的距离都等于于各质元至转轴的距离都等于R,故圆环的转动惯量为故圆环的转动惯量为22dJRmmRORORr dr（2）薄圆盘可看作是由许多）薄圆盘可看作是由许多细圆环组成的细圆环组成的.任取一半径为任取一半径为r、宽度为宽度为dr、质量为、质量为dm的细圆环，的细圆环，其中其中 2d2dmmr rR所以所以22322dd2d2dmmJrmrr rrrRR201d2RJJmR 例例 质量为质量为mA的物体的物体A 静止在光滑水静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索
10、相连接，绳平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为索跨过一半径为R、质量为、质量为mC的圆柱形滑轮的圆柱形滑轮C，并系在另一质量为，并系在另一质量为mB 的物体的物体B上，上，B 竖竖直悬挂直悬挂滑轮与绳索间无滑动，滑轮与绳索间无滑动， 且滑轮与且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计轴承间的摩擦力可略去不计( (1) )两物体的两物体的线加速度为多少？线加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的水平和竖直两段绳索的张力各为多少？张力各为多少？( (2) ) 物体物体 B 从静止落下距从静止落下距离离 y 时，其速率是多少时，其速率是多少？解解 ( (1) ) 用用隔离法分隔离法分别对各物体作受力
11、分析，别对各物体作受力分析，取如图所示坐标系取如图所示坐标系ABCAmBmCmAPOxT1FNFAmyOT2FBPBmT2FT1FCPCFamFAT1amFgmBT2BJRFRFT1T2Ra yOT2FBPBmT2FT1FCPCFAPOxT1FNFAm2CBABmmmgma2CBABAT1mmmgmmF2)2(CBABCAT2mmmgmmmF解得：解得：如令如令 ，可得，可得BABAT2T1mmgmmFF （2） B由静止出发作匀加速直线运动，由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率下落的速率2/22CBABmmmgymayv0Cm2CBABAT1mmmgmmF2)2(CBABCAT2mmmgm
12、mmF转动定理应用举例转动定理应用举例例例3-3 一质量为一质量为M、半径为、半径为R的定滑轮的定滑轮(可看作可看作均匀圆盘均匀圆盘)上绕有轻绳上绕有轻绳.绳的一端固定在轮边上，绳的一端固定在轮边上，另一端系一质量为另一端系一质量为m的物体的物体.忽略轮轴处的摩擦忽略轮轴处的摩擦力，求物体由静止下落高度力，求物体由静止下落高度h时的速度时的速度v和滑轮和滑轮的角速度的角速度。 ahNMgTmgTR解解：分别取滑轮和物体为隔离体，受力分析：分别取滑轮和物体为隔离体，受力分析如图所示。如图所示。对滑轮，由转动定理得对滑轮，由转动定理得212MRTJMR对物体，由牛顿第二定律，得对物体，由牛顿第二定
13、律，得mgTma物体加速度与滑轮的角加速度间的关系为物体加速度与滑轮的角加速度间的关系为aR联立以上三式，可得物体加速度联立以上三式，可得物体加速度2magMm42 2mghahmM物体速度物体速度142mghRRmM滑轮角速度滑轮角速度作业v34v36八八、角动量、角动量1. 1. 质点的角动量质点的角动量Lrprmv 质量为质量为 的质点以速度的质点以速度 在空间运动，某时刻相对原点在空间运动，某时刻相对原点 O 的位矢为的位矢为 ，质点相对于原，质点相对于原点的角动量：点的角动量：mrvsinLrmv大小：大小： 方向：符合右手法则。方向：符合右手法则。xyzOr mvmp L SI单位
14、：单位：2-1kg msLrpmoJmrL2 质点以角速度质点以角速度 作半径为作半径为 的圆运动，的圆运动，质点相对圆心的角动量大小质点相对圆心的角动量大小r角动量方向与角速度矢量的方向相同。角动量方向与角速度矢量的方向相同。2iii iiiLr mvrm 2 2 刚体的角动量刚体的角动量JL Oirimivz刚体上某质元对轴的角动量为刚体上某质元对轴的角动量为刚体对轴的角动量为刚体对轴的角动量为22 iiiiiLLrmrm九九、角动量定理、角动量定理1. 1. 质点的角动量定理质点的角动量定理ddpFtdd()ddprFrrpttddLMt当质点做平面圆周运动时，当质点做平面圆周运动时，
15、由由牛顿第二定律牛顿第二定律:用矢径叉乘上式两边用矢径叉乘上式两边合外力矩合外力矩 做圆周运动的质点角动量对时间的变化率等于其所受到的做圆周运动的质点角动量对时间的变化率等于其所受到的合外力矩。合外力矩。质点的角动量定理质点的角动量定理2. 2. 定轴转动刚体的角动量定理定轴转动刚体的角动量定理由转动定理由转动定理dd()ddJMJJttddLMt即即定轴转动刚体角动量对时间的变化率等于其所受到的合外力矩。定轴转动刚体角动量对时间的变化率等于其所受到的合外力矩。 若合外力矩持续作用，有若合外力矩持续作用，有 00t00t ddLLM tLL LJJ合外力的冲量矩合外力的冲量矩角动量的增量角动量
16、的增量十十、角动量守恒定律、角动量守恒定律0M常量JL，则，则若若讨论讨论1 对于质点和刚体，角动量守恒对于质点和刚体，角动量守恒意味着角速度意味着角速度 不变。不变。2 对一般物体，对一般物体，J =常量，常量，J与与成反比。成反比。3 角动量方向不变，对于质点来说，角动量方向不变，对于质点来说，它只能在同一平面中运动。如有心力场中质点的运动。它只能在同一平面中运动。如有心力场中质点的运动。十一十一、角动量问题举例、角动量问题举例例例 3-5 设一质量为设一质量为m的滑块在水平面的滑块在水平面(Oxy)内以初速度内以初速度 从原点从原点O出发沿出发沿x轴滑动轴滑动.假设滑块与水平面的摩擦力假
17、设滑块与水平面的摩擦力 恒定不变，试求任意时刻滑块对原点恒定不变，试求任意时刻滑块对原点O的角动量的角动量. 00i ff i 滑块任意时刻滑块任意时刻t的速度的速度0ftim滑块任意时刻滑块任意时刻t的位置矢量的位置矢量202ftrxitim解解 t=0时，时， 00i ff i 质点受力质点受力任意时刻任意时刻t 滑块对原点滑块对原点O的角动量为的角动量为0Lrm例例3-6 一长为一长为l,质量为质量为M的均匀直杆，一端的均匀直杆，一端O悬挂于一水平光滑悬挂于一水平光滑轴上，并处于铅直静止状态。一质量为轴上，并处于铅直静止状态。一质量为m的子弹以水平速度的子弹以水平速度v0射入杆的下端而随
18、杆运动。求它们开始共同运动时的角速度。射入杆的下端而随杆运动。求它们开始共同运动时的角速度。解解 碰撞过程质点和刚体的系统动量、碰撞过程质点和刚体的系统动量、能量皆不守恒。但是系统的对能量皆不守恒。但是系统的对O轴合外轴合外力矩为零，角动量守恒。有力矩为零，角动量守恒。有v0vmMlO0mlmlJ213JMll解以上三式，得解以上三式，得203(3)mmM lv例例3 质量很小长度为质量很小长度为l 的均匀细杆，可绕过的均匀细杆，可绕过其中心其中心 O并与纸面垂直的轴在竖直平面内转并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动动当细杆静止于水平位置时，有一只小虫当细杆静止于水平位置时，有一只小虫以速率以速率
19、 垂直落在距点垂直落在距点O为 l/4 处，并背离点处，并背离点O 向细杆的端点向细杆的端点A 爬行设小虫与细杆的质爬行设小虫与细杆的质量均为量均为m问：欲使细杆以恒定的角速度转问：欲使细杆以恒定的角速度转动，小虫应以多大速率向细杆端点爬行动，小虫应以多大速率向细杆端点爬行?l/4O0v220)4(1214lmmllmvl0712 v解解虫与杆的虫与杆的碰撞前后，系统角碰撞前后，系统角动量守恒动量守恒l0712 v由角动量定理由角动量定理tJtJtLMddd)(dddtrmrmrmltmgrdd2)121(ddcos22考虑到考虑到t)712cos(247cos2dd00tltgtrvvlg作业作业*38*39
