1、Mechanics of Materials 3-1 引言引言3-2 拉（压）杆的应力与应变拉（压）杆的应力与应变3-3 材料在拉伸和压缩时的力学性能材料在拉伸和压缩时的力学性能3-4 失效、许用应力和强度条件失效、许用应力和强度条件3-6 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转3-7 圆轴扭转时的应力与强度条件圆轴扭转时的应力与强度条件3-8 纯弯曲时梁的正应力纯弯曲时梁的正应力3-9 横力弯曲时梁的正应力横力弯曲时梁的正应力.弯曲正应力强度条件弯曲正应力强度条件3.10 弯曲切应力弯曲切应力.弯曲切应力强度条件弯曲切应力强度条件3-11 梁的合理设计梁的合理设计3-12 剪切与挤压的实用计算剪切与挤
2、压的实用计算3-13 应力集中应力集中mmM一一、弯曲构件横截面上的应力弯曲构件横截面上的应力 当梁上有横向外力作用时，一般情况下，当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上既有剪力梁的横截面上既有剪力FS，又有弯矩，又有弯矩M.3-8 纯弯曲时梁的正应力纯弯曲时梁的正应力mm mmM 只有与正应力有关的法向内力元素只有与正应力有关的法向内力元素 dFN = dA 才能合成弯矩。才能合成弯矩。弯矩弯矩M 正应力正应力 剪力剪力FS 切应力切应力 内力内力 只有与切应力有关的切向内力元素只有与切应力有关的切向内力元素 dFS = dA 才能合成才能合成剪力；剪力； 所以，在梁的横截面上一般
3、既有所以，在梁的横截面上一般既有正应力正应力，又有又有切应力切应力。xxFSMFFFa+FFaaCDAB纯弯曲时梁的正应力纯弯曲时梁的正应力三方面法三方面法关系关系变形几何变形几何关系关系物理物理关系关系静力静力 观察变形观察变形 提出假设提出假设变形的分布规律变形的分布规律应力的分布规律应力的分布规律建立公式建立公式一、实验一、实验（ Experiment）1.1.变形现象变形现象纵向线纵向线靠近顶端的纵向线缩短，靠近顶端的纵向线缩短，靠近底端的纵向线段伸长靠近底端的纵向线段伸长. .相对转过了一个角度，相对转过了一个角度，仍与变形后的纵向弧线垂直仍与变形后的纵向弧线垂直.各横向线仍保持为直
4、线，各横向线仍保持为直线，各纵向线段弯成弧线，且各纵向线段弯成弧线，且仍保持平行仍保持平行横向线横向线2.2.提出假设提出假设 ( Assumptions）（a a）平面假设平面假设：变形前为平面的横截面：变形前为平面的横截面 变形后仍保持为平面，变形后仍保持为平面，它绕其上的它绕其上的 某一轴某一轴旋转了一个角度，旋转了一个角度，且仍垂直且仍垂直 于于梁弯曲梁弯曲变形后的轴线；变形后的轴线；（b b）单向受力假设单向受力假设：纵向纤维不相互挤：纵向纤维不相互挤 压，只受单向拉压压，只受单向拉压. .推论：推论：必有一层变形前后长度不变的纤维必有一层变形前后长度不变的纤维中性层中性层中性轴中性
5、轴 横截面对称轴横截面对称轴中性层与横截面的交线称为中性层与横截面的交线称为中性轴中性轴 。dx图（图（b）yzxo应变分布规律：应变分布规律：直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比.图（图（a）dx二、变形几何关系二、变形几何关系图（图（c） d dyzyxoobbybbooxbbd OO OO d yy ddd)( d)(ybb 三、物理关系三、物理关系所以所以Hookes LawMyzOx 直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比轴的距离成正比. .应力分布
6、规律：应力分布规律：?待解决问题待解决问题中性轴的位置中性轴的位置中性层的曲率半径中性层的曲率半径?E yE 四、静力关系四、静力关系 横截面上内力系为垂直于横截横截面上内力系为垂直于横截面的空间平行力系，面的空间平行力系，这一力系简化这一力系简化得到三个内力分量得到三个内力分量.内力与外力相平衡可得内力与外力相平衡可得 dA dA zy AAAFddNNFiyMizM AAyAzMdd AAzAyMdd0 （1）0 （2）M （3 3）NdFyMdzMdAd 将应力表达式代入（将应力表达式代入（1 1）式，得）式，得将应力表达式代入（将应力表达式代入（2 2）式，得）式，得将应力表达式代入将
7、应力表达式代入(3)(3)式，得式，得中性轴通过横截面形心中性轴通过横截面形心zIEM 1自然满足自然满足0dN AyEFA 0d AAyE 0d AAy zS0d AyzEMAiy 0d AAyzE 0d AAyz yzIMAyyEMAiz d MIEz MAyEA d2 zEIM 1 yE 将将代入代入得到得到纯弯曲时横截面上正应力的计算公式纯弯曲时横截面上正应力的计算公式: :zIMy M为梁横截面上的弯矩；为梁横截面上的弯矩；y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离；为梁横截面上任意一点到中性轴的距离；Iz为梁横截面对中性轴的惯性矩为梁横截面对中性轴的惯性矩.讨论讨论 （1）应用公式时，一
8、般将）应用公式时，一般将 M、y 以绝对值代入以绝对值代入. 根据梁变形的根据梁变形的情况直接判断情况直接判断 的正负号的正负号. 以中性轴为界，梁变形后凸出边的应以中性轴为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力力为拉应力( 为正号为正号).凹入边的应力为压应力凹入边的应力为压应力（ 为负号为负号）；）；（2）最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处）最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处.IyMzmaxmax 则公式改写为则公式改写为zWMmax引用记号引用记号抗弯截面系数抗弯截面系数maxyIWzz则公式改写为则公式改写为zWMmax引用记号引用记号抗弯截面系数抗弯截面系数maxyIWzz
9、（3）当中性轴为对称轴时）当中性轴为对称轴时yyymaxmaxcmaxtmaxmaxcmaxtzIMy 矩形截面矩形截面实心圆截面实心圆截面空心圆截面空心圆截面bhzyzdyzDdy322/64/2/34ddddIWzz62/12/2/23bhhbhhIWzzDdDWz )1 (3243（3）当中性轴为对称轴时）当中性轴为对称轴时zWMmaxzy（4）对于中性轴不是对称轴的横截面）对于中性轴不是对称轴的横截面ymaxcymaxtM 应分别以横截面上受应分别以横截面上受压压和受拉部分距中性轴最远的距离和受拉部分距中性轴最远的距离 和和 直接代入公式直接代入公式ymaxtymaxczIMy max
10、cmaxtIMyzmaxcmaxc IMyzmaxtmaxt 当梁上有横向力作用时，横截面上既有弯矩又有剪力当梁上有横向力作用时，横截面上既有弯矩又有剪力. .梁在梁在此种情况下的弯曲称为横力弯曲此种情况下的弯曲称为横力弯曲. . 横力弯曲时，梁的横截面上既有正应力又有切应力，切应横力弯曲时，梁的横截面上既有正应力又有切应力，切应力使横截面发生翘曲，力使横截面发生翘曲， 横向力引起与中性层平行的纵截面的挤横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压应力，纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立。压应力，纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立。一、横力弯曲一、横力弯曲 但由弹性力学精确分析表明
11、，对于跨度但由弹性力学精确分析表明，对于跨度l与横截面高度与横截面高度h之比之比l5h的细长梁。用纯弯曲正应力公式计算横力弯曲时横截面上的细长梁。用纯弯曲正应力公式计算横力弯曲时横截面上的正应力，误差的正应力，误差2%，满足工程中所需要的精度。，满足工程中所需要的精度。等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为zWxM)(3-9 3-9 横力弯曲时梁的正应力横力弯曲时梁的正应力. . 弯曲正应力强度条件弯曲正应力强度条件 二、公式的应用范围二、公式的应用范围1.1.在线弹性范围内在线弹性范围内3.3.平面弯曲平面弯曲4.4.等直梁等直梁2.2.具有切应力的梁（
12、细长梁）具有切应力的梁（细长梁）5/ hl三、强度条件三、强度条件1.1.数学表达式数学表达式maxmaxWMz梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力.2.2.强度条件的应用强度条件的应用maxMWz（2 2）设计截面）设计截面maxWMz（3 3）确定许可载荷）确定许可载荷（1 1） 强度校核强度校核maxWMz 对于铸铁等对于铸铁等脆性材料脆性材料制成的梁，由于材料的制成的梁，由于材料的ct 且梁横截面的且梁横截面的中性轴中性轴一般也不是对称轴，所以梁的一般也不是对称轴，所以梁的maxcmaxt （两者有时并不发生在同一横截面上）（两者有时并不发生在同
13、一横截面上） 要求分别不超过材料的要求分别不超过材料的许用拉应力和许用压应力许用拉应力和许用压应力tmaxt cmaxc 例例7 一铸铁梁的受力如图一铸铁梁的受力如图a a所示，其截面尺寸如所示，其截面尺寸如右图右图所示。铸铁所示。铸铁材料的拉、压许用应力分别为材料的拉、压许用应力分别为 , , 。试校核此梁是否安全。试校核此梁是否安全。 MPa30tMPa160c1201m1m1m208020=12kN=5kN（b）（a）解：（解：（1 1）绘梁的内力图）绘梁的内力图 kN5 .13kN,5 . 3BAFF（2 2）计算截面的几何性质）计算截面的几何性质 a a、确定中性轴位置、确定中性轴位
14、置 2012020808020120102080Cymm52mm8852140mm5221yy1201m1m1m208020=12kN=5kNB截面C截面.+-3.5kN m5kN mb b、求、求I Iz z)4220802080121(23zI)281202012020121(23)(mm1064. 746（3 3）强度校核）强度校核 由于梁的截面上、下不对称由于梁的截面上、下不对称于中性轴，而材料的拉、压于中性轴，而材料的拉、压许用应力又不相等，所以最许用应力又不相等，所以最大正弯矩的作用截面大正弯矩的作用截面C和最和最大负弯矩的作用截面大负弯矩的作用截面B均可均可能是危险面。两个截面上
15、的能是危险面。两个截面上的正应力分布如图正应力分布如图d d所示。最所示。最大压应力发生在大压应力发生在B截面下边截面下边缘的各点处。缘的各点处。 1201m1m1m208020=12kN=5kNB截面C截面.+-3.5kN m5kN mMPa6 .571064. 788105662maxczBcIyM在在C C、B B 截面上截面上52105881036162yMyMBC所以最大拉应力发生在所以最大拉应力发生在C C截面下边缘的各点处，截面下边缘的各点处，其值为其值为 MPa4205. 1MPa3 .401064. 788105 . 3t66maxmaxzCtIyM 虽然大于虽然大于 ，但没
16、超过，但没超过5%5%，故仍然认为是安全的。，故仍然认为是安全的。maxtt 例例8 8 简支梁在跨中受集中载荷简支梁在跨中受集中载荷P=30kNkN，l=8m m，120 MPa MPa。试为梁选择工字钢型号。试为梁选择工字钢型号。 m).(kN60830414maxlPM解：解：由强度条件，得由强度条件，得 33463maxcm500)(m105101201060MWz选择工字钢选择工字钢28a 28a 433cm1011. 7,cm508zzIW 例例9 9 梁梁AC的截面为的截面为10工字钢，工字钢，B点用圆钢杆点用圆钢杆BD D悬挂，已悬挂，已知圆杆的直径知圆杆的直径d=20mm=2
17、0mm，梁及杆的，梁及杆的 =160=160MPa，试求许用均，试求许用均布载荷布载荷q。 工字钢10ONdDqABCm2m1m4343q45qq2q329q解：由平衡条件解：由平衡条件05 . 132, 0)(qFFmBAqFB4903, 0qFFFBAyqFA43qFqFB4949N由 得由,92NdqAF mkNdq/34.229)1020(1016092362工字钢10ONdDqABCm2m1m4343q45qq2q329qmkNWqz/68.151049210160266 得由,2maxmaxzzWqWM mkNq/68.15一、梁横截面上的切应力一、梁横截面上的切应力1.1.矩形截
18、面梁矩形截面梁 3.10 弯曲切应力弯曲切应力.弯曲切应力强度条件弯曲切应力强度条件F1F2q(x)F1Fq(x)mmnnxdxmmnnFSFSMM+dMdxmmnndx（2）公式推导）公式推导y 1 1 2 2 ABB1A1mnxzyymFN1FN2dFS两截面上距中性轴两截面上距中性轴 y1 处的正应力处的正应力为为 1 和和 2.A1为距中性轴为为距中性轴为y的横线以外部分的横截面面积的横线以外部分的横截面面积. 1d11NAAFAyIMAIMyAzAzdd1111 zzSIM zzASIMMAFdd122N式中：式中：为面积为面积A1对中性轴的静矩对中性轴的静矩. 1d1AzAySAd
19、1 化简后得化简后得 zzSIMF1N zzSIMMFd2NxbFdds 由平衡方程由平衡方程0 xF0dS1N2N FFFbISxMzz dd SddFxM bISFzzS ABB1mnxzyymFN1FN2dFSAd1 b矩型截面的宽度矩型截面的宽度.bISFzzS yA*z整个横截面对中性轴的惯性矩整个横截面对中性轴的惯性矩.zI距中性轴为距中性轴为y的横线以外部分横的横线以外部分横截面面积对中性轴的静矩截面面积对中性轴的静矩.Sz （4）切应力沿截面高度的变化规律）切应力沿截面高度的变化规律 沿截面高度的变化由静矩沿截面高度的变化由静矩 与与y之间的关系确定之间的关系确定.Sz )4(
20、2)2(2222yhbyhbyhAyScz)4(222SSyhIFbISFzzz可见，可见，切应力沿截面高度按抛物线规律变化切应力沿截面高度按抛物线规律变化.zy=h/2（即在横截面上距中性轴最远处）（即在横截面上距中性轴最远处）=0y=0（即在中性轴上各点处），切应力达到最大值（即在中性轴上各点处），切应力达到最大值bhFbhhFIhFzS32S2Smax231288AF23Smax 式中，式中，A=bh为矩形截面的面积为矩形截面的面积.zCybISFzzS* OzydxyA*b 腹板的厚度腹板的厚度 距中性轴为距中性轴为y的横线以外部分的横截的横线以外部分的横截 面面积面面积A对中性轴的静
21、矩对中性轴的静矩.Sz*（a）腹板上的切应力沿腹板高度按二）腹板上的切应力沿腹板高度按二次抛物线规律变化；次抛物线规律变化；（b）最大切应力也在中性轴上）最大切应力也在中性轴上.这也是这也是整个横截面上的最大切应力整个横截面上的最大切应力.minmax 腹AFbhFSSbISFzzSmaxmaxozy（c）腹板部分的切应力合力占总剪力的）腹板部分的切应力合力占总剪力的9597。ydzokok假设：假设：（a）沿宽度）沿宽度kk上各点处的切应力上各点处的切应力 均汇交于均汇交于o点；点；（b）各点处切应力沿）各点处切应力沿y方向的分量沿方向的分量沿 宽度相等宽度相等. 在截面边缘上各点的切应力的
22、方向与圆周相切在截面边缘上各点的切应力的方向与圆周相切. 3.圆截面梁圆截面梁最大切应力发生在中性轴上最大切应力发生在中性轴上AFbISFzzS*Smax34 式中式中为圆截面的面积为圆截面的面积.42dA 4.4.薄壁圆环形截面梁薄壁圆环形截面梁 图示为一段薄壁环形截面梁图示为一段薄壁环形截面梁.环壁厚度为环壁厚度为 ，环的平均半径为，环的平均半径为r0，由于由于 r0 故可假设故可假设（a）横截面上切应力的大小沿壁厚无变化；）横截面上切应力的大小沿壁厚无变化；（b）切应力的方向与圆周相切）切应力的方向与圆周相切.zyr0式中式中 A=2 r0 为环形截面的面积为环形截面的面积横截面上最大的
23、切应力发生中性轴上，其值为横截面上最大的切应力发生中性轴上，其值为AFSmax2 二、强度条件二、强度条件max Smax*maxmax bISFzz三、需要校核切应力的几种特殊情况三、需要校核切应力的几种特殊情况（1 1）梁的跨度较短，）梁的跨度较短，M 较小，而较小，而FS较大时较大时, ,要校核切应力；要校核切应力；（2 2）铆接或焊接的组合截面）铆接或焊接的组合截面, ,其腹板的厚度与高度比小于型钢其腹板的厚度与高度比小于型钢 的相应比值时，要校核切应力；的相应比值时，要校核切应力；（3 3）各向异性材料各向异性材料( (如木材如木材) )的抗剪能力较差，的抗剪能力较差，要校核切应力要
24、校核切应力. . 例例10 一简易起重设备如图所示。起重量（包含电葫芦自重）一简易起重设备如图所示。起重量（包含电葫芦自重）F=30kN。跨长。跨长l=5m。吊车大梁吊车大梁AB由由20a号工字钢制成，其许用弯曲正应力号工字钢制成，其许用弯曲正应力170MPa，许用切应力，许用切应力=100MPa。试校核此梁的强度。试校核此梁的强度。2.5m5m.+37.5kN m解：解：1、校核正应力强度、校核正应力强度mkNM.5 .37max3273cmWz由型钢表，查得 MPaWMz15810237105 .3763maxmax2、校核切应力强度、校核切应力强度kNFFFA30maxSmmdcmSIz
25、z72 .17/max，由型钢表，查得 MPadSIFzzS9 .24107 . 02 .171030/43maxmaxmax所以梁是安全的。所以梁是安全的。例例11 如图所示梁，如图所示梁， MPaMPa100,160,试选择工字钢型号。试选择工字钢型号。解：解：1.1.作作FS图和图和M图图2.根据正应力强度条件根据正应力强度条件33max62516010100cmMWz查型钢表，选查型钢表，选32a工字钢，得工字钢，得33102.692mmWzmmdmmSIz5 .9,6 .274/max MPaMPadSIFdISFzzSzzS1007 .765 . 96 .274102003maxm
26、axmaxmaxmaxFSM3-11 梁的合理设计梁的合理设计一、降低梁的最大弯矩值一、降低梁的最大弯矩值1.1.合理地布置梁的荷载合理地布置梁的荷载 按强度要求设计梁时按强度要求设计梁时，主要是依据梁的正应力强度条件主要是依据梁的正应力强度条件maxmaxWMz FlFl/4Fl/8Fl/4l/4l/23、集中力分散Fl/8Fl/4l/4l/22.合理地设置支座位置合理地设置支座位置 当两端支座分别向跨中移动当两端支座分别向跨中移动a=0.207l 时，最大弯矩减小时，最大弯矩减小.aalqlq二、增大二、增大Wz1.1.合理选择截面形状合理选择截面形状在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截
27、面在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面3231DWz )/(,2422DaaD13221.18 486zzWDbhW)(zDzaaa12a1z1121212,24 DaaD 1312367. 1 646zzWabhW Wz1222222105. 1,6 . 18 . 024 DaaaD 1457. 4zzWW )(= 3 . 2SmmaxfAF bhWW 211231bhW 1232hbW 2.2.对于脆性材料制成的梁对于脆性材料制成的梁, ,宜采用宜采用T T字形等对中性轴不对称的截字形等对中性轴不对称的截 面且将翼缘置于受拉侧面且将翼缘置于受拉侧.三、根据材料特性选择截面形状三、根据材
28、料特性选择截面形状1.1.对于塑性材料制成的梁对于塑性材料制成的梁, ,选以中性轴为对称轴的横截面选以中性轴为对称轴的横截面. .zy1y2cmaxtmax 要使要使y1/y2接近下列关系：最大拉应力和最大压应力同时接接近下列关系：最大拉应力和最大压应力同时接近许用应力近许用应力212max1maxmaxcmaxtctzzyyIyMIyM 四、采用等强度梁四、采用等强度梁 梁各横截面上的最大正应力都相等，并均达到材料的许用梁各横截面上的最大正应力都相等，并均达到材料的许用应力，则称为等强度梁应力，则称为等强度梁. 例如，宽度例如，宽度b保持不变而高度可变化的矩形截面简支梁，若保持不变而高度可变
29、化的矩形截面简支梁，若设计成等强度梁，则其高度随截面位置的变化规律设计成等强度梁，则其高度随截面位置的变化规律h(x)，可按，可按正应力强度条件求得正应力强度条件求得.bh(x)zFl/2l/2梁任一横截面上最大正应力为梁任一横截面上最大正应力为)()61()2()()(2maxxbhxFxWxM 求得求得3)(bFxxh 22323minSmax bhFAF43min bFh bh(x)zF3)( bFxxh 考虑到加工的经济性及其他工艺要求，工程实际中只能作成考虑到加工的经济性及其他工艺要求，工程实际中只能作成近似的等强度梁，例如机械设备中的阶梯轴，摇臂钻床的摇近似的等强度梁，例如机械设备中的阶梯轴，摇臂钻床的摇臂等。臂等。
