1、第十六章第十六章 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续3 二元函数的连续性一 二元函数的连续性概念 连续性的定义 f2RD DP 00PD0DPP,00 0PfPffD0P定义 设为定义在上的二元函数，（为的一个聚点或孤立点），总存在，使得当时， 都有则称关于在点连续.若任给正数f0P在不致误解的情况下，也称在点连续.),(yxffDDfD0PDfD0P)()(lim00PfPfDPPP函数若在上任何点都关于集合连续，则称为若为的一个聚点，则关于在点连续等价于 有定义的孤立点必为连续点.上的连续函数.记为记为 f C (D).0PD)()(lim00PfPfDPPP0Pf)(lim0PfD
2、PPP)(0Pf0Pf若为的一个聚点，但不成立，则称为的不连续点(或称存在但不等于时, 是的可去间断点.间断点). 特别当).0 , 0(),( , 0),0 , 0(),( ,),(2222yxyxyxyxxyyxf0, 0例如 函数在点处连续.)0, 0(),(10,),(),(),(222yxmmxmxyyxyxyxxyyxf0, 0mxy m20)0, 0(),(1),(lim),(limmmmxxfyxfxmxyyx)0 , 0(f),(yxf0, 0mxy 在点沿方向连续，其中这是由于所以函数在点沿方向是连续的. 为固定实数.1 ( , )sin0f x yxyxyxy在直线上每一
3、点都间断.2 函数的增量、 全增量、全增量、 偏增量偏增量 ),(000yxP),(yxPD0 xxx0yyy),(),(),(0000yxfyxfyxfz),(),(0000yxfyyxxf),(yxf),(000yxP设则称 为函数在点的全增量.0 x0y),(),(),(000000yxfyxxfyxfx),(),(),(000000yxfyyxfyxfy如果在全增量中取或则相应的函数的增量称为偏增量.记作 一般来说，函数的全增量并不等于相应的两个偏增量之和. 0lim,0, 0,zDyxyxfD0P和一元函数一样，可用增量形式来描述连续性，时，函数关于在点连续. 3 用增量定义函数的连
4、续性即 当000lim(,)0 xxf xy f0yy0( ,)f x yx0 x000lim(,)0 xyf xy 0(, )f xyy0y若一个偏增量的极限为零，例如它表示在的两个自变量中，当固定时，作为的一元函数在连续.，则表示作为的一元函数在连续. 同理，若f00(,)xy0( ,)f x y0 x0(, )f xy0y容易证明：当在其定义域的内点连续时，在和在都连续.但反过来，二元函数对单个自变量都连续并不能保证该函数的连续性. 0001),(xyxyyxf0, 0例如函数 在点处显然不连续. 0)0 ,(), 0(xfyf0, 0),(yxfxy但由于,因此在点处对和对分别都连续.
5、 4 一般区域上连续函数性质 fa0)(afa a ax0)(xf（1）若在点连续，并且则存在点的邻域，当时,有（2）两个连续函数的和、差、积、商（若分母不为零）都是连续函数 .（3）（复合函数的连续性） D2RDyxP),(000yxu,yxv,DyxP),(000vuf,uv),(000vuQ),(000vuQ000, yxu000, yxvyxyxfyxg,DyxP),(000定理16.7 设是中的开集，函数和在点连续.又设函数在平面上点的某邻域内有定义，并在连续,其中.则复合函数在点也连续.多元初等函数：多元初等函数： 由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四由多元多项式及基本初等函数
6、经过有限次的四 则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表 示的多元函数叫示的多元函数叫多元初等函数多元初等函数。一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域是指包含在定义域内的区域或闭区域例例1 1 求极限求极限 .lim21xyyxyx xyyxyxf ),(解解是多元初等函数。是多元初等函数。定义域：定义域：.0 , 0 | ),( yxyxD0 , 0 | ),()2 , 1( 1 yxyxD点点.D 于是，于是， xyyxyx21lim2121 .23 （不连通）（不
7、连通）在在定义区域内的定义区域内的连续点求极限可用连续点求极限可用“代入法代入法”：)()()(lim000定义区域定义区域 PPfPfPP例例2 2.11lim00 xyxyyx 求求解解)11(11lim00 xyxyxyyx111lim00 xyyx.21 xyxyyx11lim00定义在区域 D 上的二元连续函数z = f (X) = f (x, y)表示了在D上的一片没有 空洞, 没有 裂缝 的连续曲面.这里条件 D 是一区域 是必要的. 若D不是区域, z = f (X)可能不是通常意义下的连续曲面.二元连续函数的几何意义二元连续函数的几何意义例例. 设 D = (x, y) |
8、x, y 均为有理数 R2. z =f (x, y)是定义在 D 上的, 在 D 上恒等于1, 在别的点上无定义的函数,即f (x, y) = 1, 当(x, y) D时,无定义, 当(x, y) D时. 如图xyzo1可知, (x0, y0) D,),(1),(lim0000yxfyxfyyxx但曲面z = f (x, y)不是通常意义下的连续曲面.二 有界闭区域上连续函数的性质 ),(yxf2RD ),(yxfD定理16.8 (有界性与最大、最小值定理)在有界闭区域上连续,则在上有界,且能取得最大值与最小值. (1) 有界性与最值性.若函数),(yxf2RD ),(yxfD0PQ),(QP
9、)()(QfPf若函数在有界闭区域上连续,则在 即对任何,总存在只依赖于的正数,使得对一切点，只要就有 (2) 一致连续性定理16.9 (一致连续性定理)上一致连续.),(yxf2RD 1P2PD)()(21PfPf)()(21PfPfDP 0)(0Pf在有界闭区域上连续,若和为内任意两点，且则对任何满足不等式的实数，必存在点，使得. 16.10 定理 (介值性定理)设函数（3）介值性与零点定理 ),(yxf2RD 1P2PD12( )0()f Pf PDP 00()0f P在有界闭区域上连续,若和为内任意两点，且必存在点，使得. （零点定理）设函数P.105 习题 66. 若 在某一区域 内
10、对变量 为连续，对变量 满足李普希兹条件，即对任何有其中 为常数，则此函数在 内连续。),(yxfxyGyxGyx ),( ,),(| ),(),(|yyLyxfyxf GGL证明证明因为 对变量 连续，所以),(yxfx, 0, 01使得当10|xx2| ),(),(|0yxfyxf取2,min1L当 时，| ,|00yyxx时，LLLyyLyxfyxfyxfyxfyxfyxfyxfyxfyxfyxf222|2| ),(),(| ),(),(| ),(),(),(),(| | ),(),(|00000000000小结二元函数连续的概念二元函数连续的概念有界闭区域上连续函数的性质有界闭区域上连续函数的性质作业：作业：P 105 1, 2，3, 4 , 5 , 6 , 7 .
