1、随机事件与概率随机事件与概率 一一自然界的现象分两类自然界的现象分两类 必然现象（确定性现象）必然现象（确定性现象） 特点：结果事先可预知。特点：结果事先可预知。 随机现象（不确定性现象）随机现象（不确定性现象） 特点：结果事先不可预知。特点：结果事先不可预知。 随机现象是否有规律可循呢？随机现象是否有规律可循呢？ 是是 随机现象在相同的条件下，大量重复试验中随机现象在相同的条件下，大量重复试验中呈现的规律性称为统计规律性。呈现的规律性称为统计规律性。二概率论就是研究随机现象统计规律的一门数二概率论就是研究随机现象统计规律的一门数 学学科。学学科。三随机试验（简称试验，用三随机试验（简称试验，
2、用E表示）表示）1. 试验可以在相同的条件下重复进行；试验可以在相同的条件下重复进行；2. 试验的所有可能结果不止一个，而且是事先试验的所有可能结果不止一个，而且是事先 已知的；已知的；3. 每次试验总是恰好出现这些可能结果中的每次试验总是恰好出现这些可能结果中的 一个，究竟出现哪一个，试验前不能确切一个，究竟出现哪一个，试验前不能确切 预言。预言。五样本空间：基本事件或样本点的全体构成的五样本空间：基本事件或样本点的全体构成的 集合，用集合，用S表示。表示。. S样本空间与基本事件的关系样本空间与基本事件的关系样本点样本点e特点：每次试验只有一个样本点出现，特点：每次试验只有一个样本点出现，
3、任两个样本点不能同时出现。任两个样本点不能同时出现。四基本事件（样本点）：随机试验的每一个可四基本事件（样本点）：随机试验的每一个可 能结果，用能结果，用e表示。表示。例例1.写出下列随机试验结果的样本空间。写出下列随机试验结果的样本空间。 1.将一枚均匀对称的硬币连续抛两次，记录两将一枚均匀对称的硬币连续抛两次，记录两次抛掷的结果；次抛掷的结果；解：解： =（正，正），（正，正）， =（正，反），（正，反）， =（反，正），（反，正）， =（反，反）；（反，反）；S= ， ， ， =（正，正），（正，（正，正），（正，反），反）， （反，正），（反，正）， （反，反）（反，反）。 1e2e3
4、e4e1e2e3e4e2.对目标进行射击，直到击中为止，记录结果；对目标进行射击，直到击中为止，记录结果； 解：解： S=1，01，001，0001，00001， 。 0表示未中，表示未中，1表示击中。表示击中。 3.在区间在区间0，1上随意取一点，记录结果；上随意取一点，记录结果；S=0，1。 4.从一批灯泡中随机地抽一只灯泡，测试它的从一批灯泡中随机地抽一只灯泡，测试它的 使用寿命，设使用寿命，设t表示寿命。表示寿命。 S=t: t0.六六.随机事件（简称事件）随机事件（简称事件）:在试验中可能发生，在试验中可能发生， 也可能不发生的事件；也可能不发生的事件；解：解： 解：解： 用数学语言
5、描述为用数学语言描述为随机试验随机试验E的样本空间的样本空间S的某的某个子集，用个子集，用A，B，C，表示，不用表示，不用X，Y，Z，表示。表示。 例例2 .掷一质地均匀的骰子两次，样本空间掷一质地均匀的骰子两次，样本空间 S=(a ，b)|1a， b6，a ， bN,用集用集 合表示事件合表示事件A=“两次点数之和为两次点数之和为8”，B=“两次两次 点数均大于点数均大于4”，C=“两次点数均为奇数两次点数均为奇数”。A=（2 ，6），（6 ，2），（3 ，5）， （5 ，3），（4 ，4）； B=（5 ，5），（5 ，6），（6 ，5）， （6 ，6） C=（1 ，1），（1 ，3），（3
6、 ，1）， （1 ，5），（5 ，1），（3 ，3）， （3 ，5），（5 ，3），（5 ，5）。解：解： 样本空间样本空间S和空集和空集 作为作为S的子集也看作事件。由的子集也看作事件。由于于S包含所有的基本事件，故在每次试验中都发包含所有的基本事件，故在每次试验中都发生，因此称为：生，因此称为：事事 然然 必必 件件 不包含任何基本事件，故在每次试验中都不发不包含任何基本事件，故在每次试验中都不发 生，因此称为：生，因此称为： 可可 能能 事事 件件 不不 必然事件必然事件S和不可能事件和不可能事件 均不是随机事件，为均不是随机事件，为研究方便，可看作随机事件的极端情况处理。研究方便，可看
7、作随机事件的极端情况处理。总结：总结： 1. 理解随机试验、基本事件、样本空间、理解随机试验、基本事件、样本空间、 随机事件的概念。随机事件的概念。 2会求随机试验的样本点、样本空间。会求随机试验的样本点、样本空间。 试验试验E的样本空间为的样本空间为S，Ai，Bi （i=1,2）都是都是S的子集（事件）。的子集（事件）。 一事件的包含与相等一事件的包含与相等 事件的包含：若事件事件的包含：若事件A发生必导致事件发生必导致事件B发生，则发生，则 称称B包含包含A或或A含于含于B中，记为中，记为 BA任意事件任意事件A均有均有 SA BAS事件的相等：事件的相等：则称事件则称事件A与与B相等，相
8、等，A=B。 BAAB且且 ABS若若二事件的的积（交）二事件的的积（交） 事件事件A与与B同事发生所构成的事件称为同事发生所构成的事件称为A与与B的的积或交，记为积或交，记为 AB或AB。 ABS（1）n个事件同时发生所构成个事件同时发生所构成 的事件，称为的积或交，的事件，称为的积或交， 记为记为 n21A,A,An21n1iin21AAAAAAA（2）可列无限多个事件）可列无限多个事件A1， A2，同事同事 发生所构成的事件称为发生所构成的事件称为A1， A2， 的积或交，记为的积或交，记为 1iiA推广：推广：n21A,A,A三互不相容事件（互斥事件）三互不相容事件（互斥事件）若若A与
9、与B不能同时发生，即则称不能同时发生，即则称A与与B互不相容（或互斥）。互不相容（或互斥）。S与互斥。与互斥。 ABBASn个事件个事件 互斥互斥 中任两个互斥，即，中任两个互斥，即，ij, i, j=1,2,3 ,n.n21A,A,An21A,A,A推广：推广：四事件的和（并）四事件的和（并） 事件事件A与与B至少有一个发生所构成的事件，至少有一个发生所构成的事件，称为称为A与与B的和（并）记为的和（并）记为AB。当。当A与与B互斥时，互斥时，AB =A+B。 BAS推广：推广：（1）n个事件至少有一个发生个事件至少有一个发生所构成的事件，称为所构成的事件，称为 的和或并，的和或并，记为记为
10、 n21A,A,An21A,A,An1iin21AAAAn1iin1iiAA当当 互斥时互斥时n21A,A,A（2）可列无限多个事件）可列无限多个事件 至少有一个至少有一个 发生所构成的事件，称为发生所构成的事件，称为 的和的和 （并），记为（并），记为 ,A,A21,A,A211ii21AAA当当 互斥时互斥时,A,A211ii1iiAAA发生而发生而B不发生所构成的事件，称为不发生所构成的事件，称为A与与B的差，记为的差，记为 BABA五五. 事件的差事件的差对任意事件对任意事件A， .AA,SA,AAABSB六六. 对立事件（逆事件）对立事件（逆事件） 由由A不发生所构成的事件，称为不发
11、生所构成的事件，称为A的对立事件的对立事件（逆事件）。记为（逆事件）。记为 A.AA, SAA,AAAA例例1掷一质地均匀的骰子，掷一质地均匀的骰子，A=“出现奇数点出现奇数点”=1，3，5，B=“出现偶数点出现偶数点”= 2，4，6，C=“出现出现4或或6”=4，6， D=“出现出现3或或5”=3，5，E=“出现的点出现的点 数大于数大于2”=3，4，5，6， 求求 .E,AE,DC,BA解：解： AB=S，A，B为对立事件，为对立事件， C B，B，D互斥，互斥，CD=E，记记C+D=E AE=3，5， =1，2。E符号符号概率论概率论集合论集合论样本空间样本空间，必然事件，必然事件空间（
12、全集）空间（全集）不可能事件不可能事件空集空集基本事件（样本点）基本事件（样本点）元素元素事件事件子集子集A A的对立事件的对立事件A A的余集的余集事件发生必然导事件发生必然导致事件致事件发发生生A A是是B B的子集的子集事件与事件相等事件与事件相等A A与与B B相等相等事件与事件至少有一个发事件与事件至少有一个发生生A A与与B B的并的并集集事件与事件同时发事件与事件同时发生生A A与与B B的交集的交集事件发生而事件不发事件发生而事件不发生生A A与与B B的差集的差集事件与事件互不相容事件与事件互不相容A A与与B B没没有公共元素有公共元素eSABA BA ABAABBABA事
13、件表示的概率论与集合论对照表事件表示的概率论与集合论对照表事件的运算性质：事件的运算性质：1.交换率：交换率： AB=BA， AB=BA 2.结合率：（结合率：（AB）C=A（ BC），）， （AB）C=A（BC）；）；3.分配率：（分配率：（AB）C=（AC）（BC），）， （AB）C=（AC）（）（BC）；）；4.对偶原则（德对偶原则（德摩根律）摩根律）： BABABAABn1iin1iiAAn1iin1iiAA例例2. A、B、C是随机试验是随机试验E的三个事件，试用的三个事件，试用 A、B、C表示下列事件：表示下列事件：1A与与B发生，发生，C不发生；不发生；2A、B、C中至少有两个发
14、生；中至少有两个发生；3A、B、C中恰好发生两个；中恰好发生两个；解：解： CAB1CABCBABCA23.ABCCABCBABCABCACAB或,BCACABCBACBACBACBA4（4）的对立事件是（）的对立事件是（2） 5等价于至少有一个发生，等价于至少有一个发生， CBA 、CABCBABCACBACBACBACBA.CBAABC4A、B、C中有不多于一个事件发生；中有不多于一个事件发生；5A、B、C中有不多于两个事件发生。中有不多于两个事件发生。例例3某射手向一目标进行三次射击，某射手向一目标进行三次射击，令令Ai=“第第i次射击命中目标次射击命中目标”，i=1,2,3. Bj =
15、“在三次射击中，命中在三次射击中，命中j次次”， j=0,1,2,3. 则：则： 3213210AAAAAAB3213213211AAAAAAAAAB3213213212AAAAAAAAAB3213AAAB 仅第一枪击中目标仅第一枪击中目标= 至少有一枪击中目标至少有一枪击中目标= 恰有一枪击中目标恰有一枪击中目标= 至少有一枪未击中目标至少有一枪未击中目标= 31AA 321AAA321321AAAAAA第一、三枪至少有一枪击中目标第一、三枪至少有一枪击中目标= 倒着看：倒着看： =恰好有两枪击中目标恰好有两枪击中目标 323121AAAAAA=至少有两枪击中目标至少有两枪击中目标 321A
16、AA321321321AAAAAAAAA321321321AAAAAAAAA总结：总结： 理解事件的关系与运算理解事件的关系与运算熟练掌握用字母表示事件熟练掌握用字母表示事件 概率论初期研究的主要对象概率论初期研究的主要对象 事件事件A、B、C的概率通常用的概率通常用P（A），P（B），P（C）表示，表示，显然显然0P（A）1。注意：概率是随机事件的函数。注意：概率是随机事件的函数。 表示某事件发生可能性大小的一种表示某事件发生可能性大小的一种 数量指标。数量指标。概率概率一古典概率的定义：一古典概率的定义：假定某个试验有有限个可能的结果假定某个试验有有限个可能的结果e1, e2, ，eN ,
17、 假定从该试验的条件及实施方法上去分假定从该试验的条件及实施方法上去分析，我们找不到任何理由认为其中某一结果析，我们找不到任何理由认为其中某一结果例如例如ei，比任一其它结果，例如，比任一其它结果，例如ej,更有优势，更有优势，则我们只好认为所有结果在试验中有同等可则我们只好认为所有结果在试验中有同等可能的出现机会，即能的出现机会，即1/N的出现机会的出现机会.2 3479108615 例如，一个袋子中装有例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同个大小、形状完全相同的球的球. 将球编号为将球编号为110 .把球搅匀，蒙上眼睛，从把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球中任取一球. 因为抽取时这些球
18、是因为抽取时这些球是完全平等的，我们没有理完全平等的，我们没有理由认为由认为10个球中的某一个个球中的某一个会比另一个更容易取得会比另一个更容易取得 . 也就是说，也就是说，10个球中的任个球中的任一个被取出的机会是相等一个被取出的机会是相等的，均为的，均为1/10. 1324 5 6 7 8 9 1010个球中的任一个被取个球中的任一个被取出的机会都是出的机会都是1/102 3479108615 我们用我们用 i 表示取到表示取到 i号球，号球， i =1,2,10 . 称这样一类随机试验称这样一类随机试验为为古典概型古典概型.34791086152且每个样本点且每个样本点(或者说或者说基本
19、事件基本事件)出现的可能出现的可能性相同性相同 .S=1,2,10 ,则该试验的样本空间则该试验的样本空间如如i =2若随机试验若随机试验E的样本空间的样本空间S满足：满足： 等等可可能能性性性性相相等等每每个个样样本本点点发发生生的的可可能能有有限限性性只只有有有有限限个个样样本本点点则称则称E为古典概型试验。为古典概型试验。 在古典概型的情况下，事件在古典概型的情况下，事件A的概率定义为：的概率定义为： 样本点总数样本点总数A所含样本点数A所含样本点数)( AP这样就把求概率问题转化为这样就把求概率问题转化为计数问题计数问题 .排列组合是计算古典概率的重要工具排列组合是计算古典概率的重要工
20、具 .二排列组合二排列组合基本计数原理基本计数原理 这里我们先简要复习一下计算古典概率这里我们先简要复习一下计算古典概率所用到的所用到的1. 加法原理加法原理设完成一件事有设完成一件事有m种方式，种方式，第一种方式有第一种方式有n1种方法，种方法，第二种方式有第二种方式有n2种方法种方法,； 第第m种方式有种方式有nm种方法种方法,无论通过哪种方法都可以完成无论通过哪种方法都可以完成这件事，这件事，则完成这件事总共则完成这件事总共有有n1 + n2 + + nm 种方法种方法 .例如，某人要从甲地到乙地去例如，某人要从甲地到乙地去,甲地甲地乙地乙地可以乘火车可以乘火车,也可以乘轮船也可以乘轮船
21、.火车有两班火车有两班轮船有三班轮船有三班乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法?3 + 2 种方法种方法回答是回答是基本计数原理基本计数原理则完成这件事共有则完成这件事共有种不同的方法种不同的方法 .mnnn212. 乘法原理乘法原理设完成一件事有设完成一件事有m个步骤，个步骤，第一个步骤有第一个步骤有n1种方法，种方法，第二个步骤有第二个步骤有n2种方法种方法,； 第第m个步骤有个步骤有nm种方法种方法,必须通过每一步骤必须通过每一步骤,才算完成这件事，才算完成这件事，例如，若一个男人有三顶帽子和两例如，若一个男人有三顶帽子和两件背心，问他可以有多少种
22、打扮？件背心，问他可以有多少种打扮？可以有可以有 种打扮种打扮23排列和组合的区别：排列和组合的区别：顺序不同是顺序不同是不同的排列不同的排列3把不同的钥匙的把不同的钥匙的6种排列种排列而组合不管而组合不管顺序顺序从从3个元素取出个元素取出2个个的排列总数有的排列总数有6种种从从3个元素取出个元素取出2个个的组合总数有的组合总数有3种种623A323C1、排列、排列: 从从n个不同元素取个不同元素取 k个个（1 k n)的不同排列总数为：的不同排列总数为： k = n时称全排列时称全排列!12)2)(1(nnnnpAnnn排列、组合的几个简单公式排列、组合的几个简单公式)!(!) 1()2)(
23、1(knnknnnnAkn从从n个不同元素取个不同元素取 k个（允许重复）个（允许重复）（1 k n)的不同排列总数为：的不同排列总数为：knnnn 例如：从装有例如：从装有4张卡片的盒中张卡片的盒中有放回地摸取有放回地摸取3张张3241n=4,k =3123第第1张张4123第第2张张4123第第3张张4共有共有4.4.4=43种可能取法种可能取法!)!(!kknnkACknkn2、组合、组合: 从从n个不同元素取个不同元素取 k个个（1 k n)的不同组合总数为：的不同组合总数为： knC常记作常记作kn，称为组合数。，称为组合数。!kCAknkn组合系数组合系数 又常称为二项式系数，因为
24、又常称为二项式系数，因为它出现在下面的二项式展开的公式中：它出现在下面的二项式展开的公式中：kn3、组合系数与二项式展开的关系、组合系数与二项式展开的关系knknknbaknba0)(令令 a=-1,b=101210nnnnnn)(nnnnnn2210利用该公式，可得到许多有用的组合公式：利用该公式，可得到许多有用的组合公式：令令 a=b=1,得得knknknbaknba0)(nmnmxxx)()()(111由由221102010jnjjmjjnmjxjnxjmxjnm有有比较两边比较两边 xk 的系数，可得的系数，可得 iknimknmki 0运用二项式展开运用二项式展开4、n个不同元素分为
25、个不同元素分为k组，各组元素数目组，各组元素数目分别为分别为r1,r2,rk的分法总数为的分法总数为nrrrrrrnkk2121,!r1个个元素元素r2个个元素元素rk个个元素元素n个元素个元素kkrrrrnrnCCC211!21krrrn因为因为三古典概率的计算：三古典概率的计算： 例在哈市电话号码薄中，任意取一个电话号码，例在哈市电话号码薄中，任意取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率？求后面四个数字全不相同的概率？设设A=电话号码后面四个数字全不相同，则电话号码后面四个数字全不相同，则 504. 01010)(84104AAP例例 2一批产品中有一批产品中有10个正品和个正品和2个
26、次品，任意抽取个次品，任意抽取 两次，每次抽出一个，抽出后不放回，求第二两次，每次抽出一个，抽出后不放回，求第二 次抽到次品的概率？次抽到次品的概率？设设A=第二次抽到次品，则第二次抽到次品，则 111112111212110CCCCCC)A(P2122212110AAAA61解：解： 解：解： 注意上下注意上下一致，上一致，上面用排列面用排列下面也用下面也用排列。排列。例例3将将A，B，B，I，I，L，O，P，R，T，Y等等 11个字母随机地排成一行，那末恰好排成个字母随机地排成一行，那末恰好排成 单词单词PROBABILITY的概率是多少？的概率是多少？ 设设A=恰好排成单词恰好排成单词P
27、ROBABILITY，则，则 !114! 2 ! 2!111)A(P或或 !114112131415261718291101111)A(P解：解： 例例4将将r个人随机地分配到个人随机地分配到n个房间里，设个房间里，设 =某指定某指定r个房间中各有一人。个房间中各有一人。 =恰有恰有r个个 房间中各有一人，房间中各有一人， =某指定房间恰有某指定房间恰有k个个 人，人，kr。求。求 ， ， 。 1A2A3A)A(P1)A(P2)A(P3r1n! r)A(Prrn2n! rc)A(Prkrkr3n) 1n(c)A(P解：解： 例例5袋中有袋中有a个黑球，个黑球，b个白球，若随机地把球个白球，若随
28、机地把球 一个接一个地摸出来，求一个接一个地摸出来，求A=“第第k次摸出的次摸出的 球是黑球球是黑球”的概率，（的概率，（ka+b）.解解1: 若把若把a+b个球编号（使球可辨），把个球编号（使球可辨），把a+b个个球的一种全排列作为一个基本事件，基本球的一种全排列作为一个基本事件，基本事件总数为（事件总数为（a+b）!, 第第k次摸得黑球有次摸得黑球有a种种可能，另外可能，另外a+b1次摸球的排列有次摸球的排列有（a+b1）!种，则种，则 )ba (a)!ba ()!1ba (a)A(P解解2： 若若a个黑球是相同，个黑球是相同，b个白球也是相同的，个白球也是相同的，把把a+b个球的一种全排
29、列作为一个基本事件，个球的一种全排列作为一个基本事件，基本事件总数为基本事件总数为 ! b! a)!ba ( A所包含的基本事件数为所包含的基本事件数为 ，则，则 ! b)!1a ()!1ba ()ba (a! b! a)!ba (! b)!1a ()!1ba ()A(P此结论说明抽签与次序无关此结论说明抽签与次序无关把把2n只鞋分成只鞋分成n堆堆,每堆每堆2只只的分法总数为的分法总数为而出现事件而出现事件A的分法数为的分法数为n!,故故nnn2)!2(! 2! 2 ! 2)!2()!2(2 !2/)!2(!)(nnnnAPnn例例. n双相异的鞋共双相异的鞋共2n只，随机地分成只，随机地分成
30、n堆，堆，每堆每堆2只只 . 问问:“各堆都自成一双鞋各堆都自成一双鞋”(事件事件A)的概率是多少？的概率是多少？解：解：四古典概率的性质：四古典概率的性质： 1对任意事件对任意事件A，有，有0P（A）1； 2P（S）=1；若事件若事件A、B互斥，则互斥，则 P（A+B）=P（A）+P（B）；）； 推广：推广： 若若 互斥，则：互斥，则： n21A,A,A)A(P)A(P)A(P)AAA(Pn21n21这是概率的加法公式或概率的有限可加性。这是概率的加法公式或概率的有限可加性。 )A(P1)A(P . 40)(P . 5设设A、B为任意两事件，则为任意两事件，则 P（AB）=P（A）P（AB）
31、；）； 推广：推广： S)()(ABAPBP0)( ABP移项得移项得(6),便得便得(7) .再由再由)(ABA)()(ABPAP由可加性由可加性BA，BA ）（）（）（APBPABP）（）（BPAP6若若则则且且(7)(6)S)()()()(ABBPAPABBAPBAPBAB 又因又因再由性质再由性质 3便得便得 (8) .)(ABBAABAB)()()()(ABPBPAPBAP(8)7（一般概率加法公式一般概率加法公式）对任意事件）对任意事件A、B有有 推广：推广： P(ABC)= P (A) + P (B) + P (C) P (AB) P (AC) P (BC) + P (ABC)
32、；注意：注意：概率的前三条性质是它的本质属性，后四概率的前三条性质是它的本质属性，后四 条性质是导出性质。条性质是导出性质。 利用性质可简化运算利用性质可简化运算一般：设一般：设 为为n个事件，则个事件，则n21A,A,AnjijiniiniiAAPAPAP111)()()(nkjikjiAAAP1)()() 1(211nnAAAP例例1 将一颗骰子抛掷将一颗骰子抛掷4次，问至少出一次次，问至少出一次“6”点的概率是多少？点的概率是多少？令令 事件事件A=至少出一次至少出一次“6”点点A发生发生出出1次次“6”点点 出出2次次“6”点点出出3次次“6”点点 出出4次次“6”点点直接计算直接计算
33、A的概率较麻烦的概率较麻烦, 我们先来计算我们先来计算A的的对立事件对立事件A=4次抛掷中都未出次抛掷中都未出“6”点点的概率的概率.解：解： )(1)(APAP于是于是 =0.5181296625 因此因此 = =0.482)(AP6666由于将一颗骰子抛掷由于将一颗骰子抛掷4次次,共有共有 =1296种等可能结果种等可能结果,5555A而导致事件而导致事件 =4次抛掷中都未出次抛掷中都未出“6”点点的结果数有的结果数有 =625种种 例例2 有有r 个人，设每个人的生日是个人，设每个人的生日是365天的天的任何一天是等可能的，试求事件任何一天是等可能的，试求事件“至少有两至少有两人同生日人
34、同生日”的概率的概率. rrAAP)365()(365rrAAPAP)365(1)(1)(365A为求为求P(A), 先求先求P( )解：解： = r 个人的生日都不同个人的生日都不同A则则A=至少有两人同生日至少有两人同生日令令用上面的公式可以计算此事出现的概率为用上面的公式可以计算此事出现的概率为 =1- -0.524=0.476)(AP 美国数学家伯格米尼曾经做过一个美国数学家伯格米尼曾经做过一个别开生面的实验，在一个盛况空前、别开生面的实验，在一个盛况空前、人山人海的世界杯足球赛赛场上，他人山人海的世界杯足球赛赛场上，他随机地在某号看台上召唤了随机地在某号看台上召唤了22个球迷，个球迷
35、，请他们分别写下自己的生日，结果竟请他们分别写下自己的生日，结果竟发现其中有两人同生日发现其中有两人同生日.即即22个球迷中至少有两人同生日的概率个球迷中至少有两人同生日的概率为为0.476. 这个概率不算小，因此它的出现不这个概率不算小，因此它的出现不值得奇怪值得奇怪. 计算后发现，这个概率随着计算后发现，这个概率随着球迷人数的增加而迅速地增加，如下页球迷人数的增加而迅速地增加，如下页表所示：表所示： 表表 3.1 人数人数 至少有两人同至少有两人同 生日的概率生日的概率 20 0.411 21 0.444 22 0.476 23 0.507 24 0.538 30 0.706 40 0.8
36、91 50 0.970 60 0.994 所有这些概率都是在假定所有这些概率都是在假定一个人的生日在一个人的生日在 365天的任天的任何一天是等可能的前提下计何一天是等可能的前提下计算出来的算出来的. 实际上实际上,这个假定这个假定并不完全成立，有关的实际并不完全成立，有关的实际概率比表中给出的还要大概率比表中给出的还要大 . 当人数超过当人数超过23时，打赌说至时，打赌说至少有两人同生日是有利的少有两人同生日是有利的.总结：总结： 1熟练掌握古典概率的性质；熟练掌握古典概率的性质；2会计算古典概率（会判定和计算）。会计算古典概率（会判定和计算）。 早在概率论发展初期，人们就认识到，早在概率论
37、发展初期，人们就认识到，只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不够的够的.请看演示请看演示 把等可能推广到无限个样本点场合把等可能推广到无限个样本点场合,人们人们引入了引入了几何概型几何概型. 由此形成了确定概率的另由此形成了确定概率的另一方法一方法几何方法几何方法.几何概率几何概率1 定义定义: 设有一个可度量区域设有一个可度量区域S（这个区域可以是（这个区域可以是 直线区域、平面区域或空间区域），直线区域、平面区域或空间区域），向向 区域内任意掷一质点区域内任意掷一质点M，此点落于，此点落于S内任内任 一位置是等可能的，且落在一位置是等可能的，且落在S内
38、任何子区内任何子区 域域A上的可能性与上的可能性与A的度量（如长度，面的度量（如长度，面 积，积，）成正比，而与）成正比，而与A的位置和形状的位置和形状 无关，无关，则这个试验称为几何概型试验；则这个试验称为几何概型试验； 并定义并定义M落在落在A中的概率中的概率P（A）为：）为：）（）（的几何度量的几何度量的几何度量的几何度量SLALSAAP)(1样本空间无限样本空间无限无限性；无限性； 2每个样本点发生的可能性相同每个样本点发生的可能性相同 等可能性。等可能性。特点：特点：请看演示请看演示会面问题会面问题例例1（约会问题）甲、乙两人约定在（约会问题）甲、乙两人约定在6点到点到7点之间在点之
39、间在 某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟， 过时即可离去，求两人能会面的概率。过时即可离去，求两人能会面的概率。以以x, y分别表示甲乙两人到达约会地点的时间，则分别表示甲乙两人到达约会地点的时间，则两人能够会面的充要条件是：两人能够会面的充要条件是：|xy|15. 在平面在平面 上建立直角坐标系，如图上建立直角坐标系，如图则（则（x, y）的所有可能结果是边）的所有可能结果是边长为长为60的正方形，图中阴影表示的正方形，图中阴影表示可会面的时间。可会面的时间。设设A=两人能会面，则两人能会面，则167604560222SASSAP)(解：解
40、： 0 15156060yxyx15xy15例例2甲、乙两人约定在下午甲、乙两人约定在下午1点到点到2点之间到某车站乘公点之间到某车站乘公 共汽车，这段时间内有共汽车，这段时间内有4班公共汽车，发车时间分别班公共汽车，发车时间分别 为为1：15，1：30，1：45，2：00。如果规定见车就。如果规定见车就 上，求两个人乘同一辆公共汽车的概率。上，求两个人乘同一辆公共汽车的概率。设甲、乙到达车站的时间分别为设甲、乙到达车站的时间分别为x, y 则则1x2, 1y2, 确定平面确定平面S， 如图正方形，设如图正方形，设A=两人两人 乘同一辆公共汽车，则：乘同一辆公共汽车，则： A发生的充要条件是：
41、发生的充要条件是： 两人到达时间两人到达时间x, y在同一在同一 发车区间，即阴影部分。发车区间，即阴影部分。 故故 P（A）=4/16=1/4。01122yx解：解： 二二. 性质性质: 3若若 互斥，则：互斥，则： nAAA,21)()()()(nnAPAPAPAAAP2121古典概率的其他性质对几何概率也同样成立。古典概率的其他性质对几何概率也同样成立。1对任意事件对任意事件A，有，有0P（A）1；2P（S）=1；蒲丰投针试验蒲丰投针试验 法国科学家蒲丰于法国科学家蒲丰于1777年发现了随机年发现了随机投针的概率与圆周率投针的概率与圆周率之间的关系，提供之间的关系，提供了早期学者们用随机
42、试验求了早期学者们用随机试验求 值的范例值的范例.请看演示请看演示 在充分多次试验中，事件的频率总在充分多次试验中，事件的频率总在一个定值附近摆动，而且，试验次数在一个定值附近摆动，而且，试验次数越多，一般来说摆动越小越多，一般来说摆动越小. 这个性质叫这个性质叫做频率的稳定性做频率的稳定性. 频率稳定性频率稳定性掷硬币试验掷硬币试验掷骰子试验掷骰子试验高尔顿钉板试验高尔顿钉板试验 统计概率是以事件的频率具有稳定性为基统计概率是以事件的频率具有稳定性为基础的，下面先介绍事件频率的概念。础的，下面先介绍事件频率的概念。1 频率定义：频率定义：设设A为联系于某一试验的事件，将为联系于某一试验的事件
43、，将 试验在相同的条件下重复进行试验在相同的条件下重复进行n次，次， 用用m表示表示A出现的次数，则比值出现的次数，则比值 m/n称为事件称为事件A的相对频率，的相对频率， 记为记为fn(A),即即nmAfn)(一般情况下：一般情况下： ，只有当，只有当n充分大充分大时，频率才呈现出稳定性。时，频率才呈现出稳定性。)()(AfAf21二二. 统计概率统计概率: 在一组固定条件下，重复做在一组固定条件下，重复做n次试验次试验 ， 如果当如果当n增大时，事件增大时，事件A出现的频出现的频 率率fn(A)围绕着某一个常数围绕着某一个常数p摆动；而摆动；而 且一般说来，随着且一般说来，随着n的增大，这
44、种摆的增大，这种摆 动的幅度越来越小，则称常数动的幅度越来越小，则称常数p为事为事 件件A的概率，即的概率，即 P（A）=p。此定义适合于一切类型的试验此定义适合于一切类型的试验，当当n充分大时，频率作为概率的近似值，即充分大时，频率作为概率的近似值，即 ，足以满足实际需要。，足以满足实际需要。)()(APnmAfn例例1用某种药物对患有胃溃疡的用某种药物对患有胃溃疡的512个病人进个病人进 行治疗，结果行治疗，结果368人有明显疗效，现有胃人有明显疗效，现有胃 溃疡病人预服此药，你能对其效果作何溃疡病人预服此药，你能对其效果作何 估计？估计？有明显效果的频率为：有明显效果的频率为： ，由统，
45、由统计概率定义该患者服此药有明显效果的可计概率定义该患者服此药有明显效果的可能性为能性为0.72。720512368.解：解： 定理：定理：事件频率具有如下性质：事件频率具有如下性质：1. 对任意事件对任意事件A，有，有10)( Afn21)( Sfn)()()()(knnknAfAfAfAAAf21213若若 为互不相容事件，为互不相容事件，则：则： kAAA,21古典概率的其他性质对统计概率也同样成立。古典概率的其他性质对统计概率也同样成立。)()()()(nnAPAPAPAAAP 2121由概率是频率的数学抽象，可以推得统计概率由概率是频率的数学抽象，可以推得统计概率具有如下性质：具有如
46、下性质：nAAA,213. 若若 互不相容，则互不相容，则1. 0P（A）1；2. P（S）=1； 在学习几何和代数时，我们已经知道在学习几何和代数时，我们已经知道公理是数学体系的基础公理是数学体系的基础. 数学上所说的数学上所说的“公理公理”，就是一些不加证明而公认的前，就是一些不加证明而公认的前提，然后以此为基础，推演出所讨论对象提，然后以此为基础，推演出所讨论对象的进一步的内容的进一步的内容. 即即通过规定概率应具备的通过规定概率应具备的基本性质来定义概率基本性质来定义概率. 下面介绍用公理给出的概率定义下面介绍用公理给出的概率定义. 1933年，前苏联数学家柯年，前苏联数学家柯尔莫哥洛
47、夫给出了概率的尔莫哥洛夫给出了概率的公理公理化定义化定义. 柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简单，极为简单， 但在此基础上建立起了概率论但在此基础上建立起了概率论的宏伟大厦的宏伟大厦.概率的公理化定义概率的公理化定义公理公理2 P(S)=1 规范性规范性 (2)公理公理3 若事件若事件A1, A2 , 互不相容，则有互不相容，则有 (3)这里事件个数可以是有限或无限的这里事件个数可以是有限或无限的 . 可列可加性或完全可加性可列可加性或完全可加性)()()(2121APAPAAP公理公理1 P(A) 0 非负性非负性 (1) 设设E是随机试验，是随机试验，S
48、是它的样本空间，对是它的样本空间，对于于S中的每一个事件中的每一个事件A，赋予一个实数，记为，赋予一个实数，记为P(A) ，称为事件，称为事件A的概率，如果集合函数的概率，如果集合函数 P( ) 满足下述三条公理满足下述三条公理:推论推论1：.)(0P证明：证明：,)()()(,PSPSPSS。）（则0P推论推论2： 若 互不相容，则： nAAA,21)()()()(nnAPAPAPAAAP2121证明：证明：).()()()()(nnnAPAPAPAAAPAAAP212121证明：证明：同理可证：同理可证：4.）（）（，则则若若BPAPBA ）（）（）（且且APBPABP 推论推论5. 设设
49、A、B为任意俩事件，为任意俩事件， 则则P（AB）=P（A）P（AB）；）；推论推论6. (一般概率加法公式一般概率加法公式)对任意事件对任意事件A、B有有 P（AB）=P（A）+P（B）P（AB）；）；推论推论3：0P（A）1。)()(APAP 1 .)().()()()(11 APAPAPAAPSP)()(APAP 1推广推广: P (ABC) =P (A) + P (B) + P (C) P (AB) P (AC) P (BC) + P (ABC)；即即 古典概率的性质也是一般公理化概率的性质。古典概率的性质也是一般公理化概率的性质。古典概率、几何概率、统计概率都是公理化概率古典概率、几
50、何概率、统计概率都是公理化概率的特殊情况，而公理化概率是它们的数学抽象。的特殊情况，而公理化概率是它们的数学抽象。总结：总结：1. 了解几何概率、统计概率、概率的公了解几何概率、统计概率、概率的公 理化定义；理化定义； 2. 会判定和计算几何概率。会判定和计算几何概率。例例1 设元件盒中装有设元件盒中装有50个电阻，个电阻，20个电感，个电感，30个电容，从盒中任取个电容，从盒中任取30个元件，求所取元个元件，求所取元件中至少有一个电阻同时至少有一个电感的件中至少有一个电阻同时至少有一个电感的概率概率. )(1)(ABPABP)(1BAP)()()(1BAPBPAP理解题意理解题意,用字母表示
