1、下下回回停停第一节第一节 一维随机变量一维随机变量 及其分布及其分布(3)五、连续型随机变量五、连续型随机变量六、典型的连续型六、典型的连续型 随机变量及其分布随机变量及其分布五、连续型五、连续型随机变量随机变量 定义定义 对于随机变量对于随机变量X，若存在非负可积函若存在非负可积函 xyypxFd)()(则称则称X为连续型随机变量为连续型随机变量,且称且称p(x) 为密度函为密度函注注 此定义中涉及三个名词此定义中涉及三个名词 连续型随机变量连续型随机变量, 1. 密度函数密度函数 数数 p(x) ( x R), 使得使得X 的分布函数的分布函数数数,或概率密度或概率密度. 密度函数密度函数
2、,分布函数分布函数.设设X为连续型随机变量为连续型随机变量, p(x) 为为X的密度函数的密度函数,(1) ;0)(Rxxp (2) ; 1)( dxxp(3) ;)()()(dxxpaFbFbXaPba (4) ; 0 cXPF(x)为为X的分布函数的分布函数 ,则则2. .密度函数的性质密度函数的性质0, cXccX. 0 xxpccd)(lim0 0cXcPcXP 而而lim0cXcP . 0 cXP前前3个性质显然成立个性质显然成立,下面只给出第下面只给出第4个个性质的证明性质的证明证证1 性质性质4说明说明对于任意可能值对于任意可能值c ,连续型随机连续型随机2为连续型随机变量，则为
3、连续型随机变量，则若若XbXaP bXaP 连续型随机变量的概率与区间的开闭无关连续型随机变量的概率与区间的开闭无关0)( AP1)( APA = A = 3bXaPbXaP 注注变量取变量取 c 的概率等于零的概率等于零.的分布函数为：的分布函数为：设连续型随机变量设连续型随机变量 X12)()1( BAF解解 xxBAxFarctan)(;)1(BA及及常系数常系数求求;)1 , 1()2(内的概率内的概率落在落在随机变量随机变量 X.)3(的分布密度的分布密度随机变量随机变量X02)( BAF121 BA解之得解之得例例1)1()1(11)2( FFXP2111)()()3(xxFxp
4、)4121()4121( 21 六、典型的连续型随机变量的分布六、典型的连续型随机变量的分布1.均匀分布均匀分布(1) 定义定义具有概率密度：具有概率密度：设连续型随机变量设连续型随机变量 X 其它其它01)(bxaabxp,上服从均匀分布上服从均匀分布在区间在区间则称则称baX.,baUX记为记为 ., 1, 0)(bxbxaabaxaxxF分布函数为分布函数为:(2) 均匀分布的性质均匀分布的性质则则如果如果,baUX; 01 bXPaXP.2abcddXcPbdca 时，有时，有当当 设随机变量设随机变量 X 在在 2, 5 上服从均匀分布上服从均匀分布, 现现 X 的分布密度函数为的分
5、布密度函数为 ., 0, 52,31)(其它其它xxp设设 A 表示表示“对对 X 的观测值大于的观测值大于 3”,解解即即 A= X 3 .例例2对对 X 进行三次独立观测进行三次独立观测 ,试求至少有两次观测值试求至少有两次观测值大于大于3 的概率的概率.2 YP.2720 因而有因而有设设Y 表示对表示对 X进行进行3次独立观测中次独立观测中, 观测值大于观测值大于则则).32,3( BY)321()32(223 C0333)321()32( C3)( XPAP由由于于,32d3153 x3的次数的次数,的密度函数为的密度函数为若随机变量若随机变量 X(1)定义定义texFxtd)()(
6、 22221 相应的分布函数为相应的分布函数为: xexpx222)(21)(服从正态分布，服从正态分布，为常数，则称为常数，则称与与其中其中X , 0 ).,(2 NX记为记为2.正态分布正态分布( (高斯分布高斯分布) )服从标准正态分布，服从标准正态分布，时，称时，称，特别当特别当X10 )(x 相应的分布函数记为相应的分布函数记为texxtd21)(22 xexx2221)( ),(),1 , 0(xNX 相应的密度函数记为相应的密度函数记为记为记为;)1对称对称曲线关于曲线关于x ;21)(,)2xpx最大值最大值取得取得时时当当 ; 0)(,)3xpx时时当当;)4处处有有拐拐点点
7、曲曲线线在在x ;)5轴轴为为渐渐近近线线曲曲线线以以 x(2) 正态概率密度函数的特性正态概率密度函数的特性xyOx = 21)(xpy ,)7的大小时的大小时改变改变当固定当固定越越大大，图图形形越越高高越越瘦瘦，越越小小而而形形状状在在改改变变,.图形越矮越胖图形越矮越胖图形的形状图形的形状的大小时的大小时改变改变当固定当固定)(,)6xp;,轴轴作作平平移移只只是是沿沿着着不不变变xxyOx = )(xpy 图形的对称轴不变，图形的对称轴不变，)(xpx = )(xpy 2121正态分布的应用正态分布的应用: : 正态分布是概率论中最重要的分正态分布是概率论中最重要的分布布, 例如测量
8、例如测量误差误差,随机噪声随机噪声, 学生成绩学生成绩,产品的尺寸等产品的尺寸等, 大量的随机现象可以用大量的随机现象可以用正态分布描述正态分布描述.正态分布与标准正态分布的关系正态分布与标准正态分布的关系: :).1 , 0(,),(2NYXYNX那么那么如果如果 明明，下下面面我我们们给给出出简简单单的的说说的的分分布布函函数数的的表表达达式式可可以以求求由由YY)(yXPyYPyFY yXPuuyd2)(exp2122 则则令令, ut标准正态分布的性质标准正态分布的性质:1)为为偶偶函函数数；)(x ),(1)(xx ；5 .0)0( 2)ttFyYd2exp212 ).1 , 0(
9、NY所以所以;21)0()(max xM数数表表示示；的的原原函函数数不不能能用用初初等等函函)(x 121)(22dxedxxx 由由可得可得.222 dxex3)4)5)21),1 , 0( XPNX求求若若)1()2(21FFXP .33),(2 XPNX求求若若解解可得可得由由)1 , 0( NXY 例例4解解136. 03841. 03977. 021 XP则则知知，查附表查附表, 3841. 0)1(, 3977. 0)2(2 )1()2( 例例33333 XPXP得得查附表查附表的定义可知，的定义可知，根据根据2),(1)()(xxx 的值的值则则由本例可以看出，如果由本例可以看
10、出，如果XNX),(2 )3()3(33 YP则则,65998. 0)3( 1)3(233 XP3997. 0165998. 02 ，这就，这就之外的概率为之外的概率为落在落在0027. 0)3,3( .6 原理原理是质量管理上所谓的是质量管理上所谓的 则则设设),(2 NX bXaPbXaP解解 本例给出了当随机变量本例给出了当随机变量X服从正态分布时服从正态分布时,如如)()( abbXaP)()( ab例例5果我们要计算关于它的概率问题果我们要计算关于它的概率问题,则可以转化为标则可以转化为标准正态分布进行计算准正态分布进行计算.的概率密度为的概率密度为设连续型随机变量设连续型随机变量
11、X . 0 , 0, 0,1)(xxexFx 相应的分布函数为相应的分布函数为).(, ExpX记作记作分布分布的指数的指数服从参数为服从参数为则称则称为常数为常数其中其中 X,0 . 0, 0, 0,)(xxexpx 3. .指数分布指数分布定义定义 指数分布也是常用分布之一指数分布也是常用分布之一,常用它来描常用它来描即对于即对于性”的特点性”的特点指数分布具有“无记忆指数分布具有“无记忆.|tXPsXtsXP 因此因此tstseee /)(/ |sXPtsXPsXtsXP 则则若若任意的任意的),(, 0, 0 ExpXts 述各种述各种“寿命寿命”问题问题,如电子元器件的寿命如电子元器
12、件的寿命,生生物物的寿命的寿命.设某类日光灯管的使用寿命设某类日光灯管的使用寿命 X 服从参数为服从参数为 . 0, 0, 0,1)(20001xxexFxX 的分布函数为的分布函数为解解 =1/2000的指数分布的指数分布(单位单位:小时小时)(1)任取一只这种灯管任取一只这种灯管, 求能正常使用求能正常使用1000小时以小时以上的概率上的概率. (2)有一只这种灯管已经正常使用了有一只这种灯管已经正常使用了1000 小时以小时以上上,求还能使用求还能使用1000小时以上的概率小时以上的概率. 例例61000)1( XP10001 XP)1000(1F .607. 021 e10002000
13、)2( XXP10001000,2000 XPXXP10002000 XPXP . 0, 0, 0,1)(20001xxexFx1000120001 XPXP)1000(1)2000(1FF .607. 021 e指数分布的重要性质指数分布的重要性质 :“无记忆性无记忆性”. . 0, 0, 0,1)(20001xxexFx内容小结内容小结2. 常见连续型随机变量的分布常见连续型随机变量的分布 xttpxFd)()(. 1 连续型随机变量连续型随机变量均匀分布均匀分布正态分布正态分布( (高斯分布高斯分布) )指数分布指数分布 .)()(为概率密度函数为概率密度函数为分布函数，为分布函数，xp
14、xF备用题备用题 000)(3xxkexpx.1 . 0, XPk 并求并求试确定常数试确定常数11)(03 xkexxpxdd由由设随机变量设随机变量 X 的概率密度为的概率密度为. 3 k所以所以7408. 031 . 01 . 03 xeXPxd例例 1-1解解例例 2-1程程上服从均匀分布，求方上服从均匀分布，求方在在设设)5 , 0(k02442 kkxx有实根的概率有实根的概率.,0)2(16162时时当当 kk,0)1)(2()2(2时时即即 kkkk,12有有实实根根时时或或亦亦即即 kk.53d5152 xp则有实根的概率为则有实根的概率为解解例例 5-1 某地抽样调查结果表
15、明，考生的外语成绩某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩(百分制百分制), 服从正态分布，平均成绩为服从正态分布，平均成绩为 72分，分，96分以上占考生总数的分以上占考生总数的2.3%, 试求考生的外试求考生的外语成绩在语成绩在 60分至分至 84分之间的概率分之间的概率.解解依题意，考生外语成绩依题意，考生外语成绩 X),(2 N，且且其其中中72 023. 096 XP96196 XPXP于于是是977. 0023. 01 96XP又又)96( )24()7296( 977. 0)24( 查表，知查表，知977. 0)2( 的的单单调调增增加加性性，得得由由)(x224 12 )12,72(2NX因因而而8460 XP故故)127260()127284( )1()1( )1(1)1( 1)1(2 查表，得查表，得841. 0)1( 682. 01841. 028460 XP再见再见
