1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第三单元 基本初等函数 ( )及应用 教材复习课 “ 基本初等函数 ( )” 相关基础知识一课过 指数与对数的基本运算 过双基 一 、 根式与幂的运算 1根式的性质 (1)(n a)n a. (2)当 n 为奇数时， n an a. (3)当 n 为偶数时， n an |a|? a a ， a a (4)负数的偶次 方根无意义 (5)零的任何次方根都等于零 2有理数指数幂 (1)分数指数幂： 正分数指数幂： amn n am(a0， m， n N*，且 n 1) 负分数指数幂： a mn 1amn 1n am(a0， m， n N*，且 n 1) 0 的正分数
2、指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 (2)有理数指数幂的运算性质 ar as ar s(a0， r， s Q) (ar)s ars(a0， r， s Q) (ab)r arbr(a0， b0， r Q) 二、对数及对数运算 1对数的定义 一般地，如果 ax N(a0，且 a1) ，那么数 x 叫作以 a 为底 N 的对数，记作 x loga N，其中 a 叫作对数的 底数 ， N 叫作 真数 2对数的性质 (1)loga1 0， logaa 1. (2)alogaN N， logaaN N. =【 ;精品教育资源文库 】 = (3)负 数 和 零 没有对数 3对数的运算性质 如果 a0
3、，且 a1 ， M 0， N 0，那么 (1)loga(M N) logaM loga N. (2)logaMN logaM loga N. (3)logaMn nlogaM(n R) (4)换底公式 logab logmblogma(a0 且 a1 ， b0， m0，且 m1) 小题速通 1化简 a23 b 1 ?12 a?12 b136 a b5(a0， b0)的结果是 ( ) A a B ab C a2b D.1a 解析：选 D 原式 a3?1 b12 a?12 b13a16 b56 a?111362 b ?151362 1a. 2若 x log43，则 (2x 2 x)2 ( ) A.
4、94 B.54 C.103 D.43 解析：选 D 由 x log43，得 4x 3，即 4 x 13， (2x 2 x)2 4x 2 4 x 3 2 13 43. 3. 2 2 4log23 4 log213 ( ) A 2 B 2 2log23 C 2 D 2log23 2 解析：选 B 2 2 4log23 4 log213 23 2 log23 2 log23log23 2 2log23. 4已知 f(x) 2x 2 x，若 f(a) 3，则 f(2a) ( ) A 11 B 9 C 7 D 5 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析：选 C 由题意可得 f(a) 2a 2 a 3，则
5、 f(2a) 22a 2 2a (2a 2 a)2 2 7. 清易错 1在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数易忽视字母的符号 2在对数运算时，易忽视真数大于零 1化简 x3x 的结果是 ( ) A x B. x C x D. x 解析：选 A 依题意知 x0， y0， x 2y0， 故 x y 不符合题意 ， 舍去 所以 x 4y， 即 xy 4. 答案： 4 二次函数 过双基 1 二次函数解析式的三种形式 (1)一般式： f(x) ax2 bx c(a0) (2)顶点式： f(x) a(x m)2 n(a0) (3
6、)零点式： f(x) a(x x1)(x x2)(a0) 2二次函数的图象和性质 解析式 f(x) ax2 bx c(a 0) f(x) ax2 bx c(a 0) 图象 定义域 R R 值域 ? ?4ac b24a ， ? ， 4ac b24a =【 ;精品教育资源文库 】 = 单调性 在 ? ? ， b2a 上单调递减； 在 ? ? b2a， 上单调递增 在 ? ? ， b2a 上单调递增； 在 ? ? b2a， 上单调递减 对称性 函数的图象关于直线 x b2a对称 小题速通 1若二次函数 y 2x2 4x t 的图象的顶点在 x 轴上，则 t 的值是 ( ) A 4 B 4 C 2 D
7、 2 解析：选 C 二次函数的图象的顶点在 x 轴上， 16 8t 0，可得 t 2. 2 (2018 唐山模拟 )如果函数 f(x) x2 ax 3 在区间 ( ， 4上单调递减，那么实数 a 的取值范围为 ( ) A 8， ) B ( ， 8 C 4， ) D 4， ) 解析：选 A 函数 f(x)图象的对称轴方程为 x a2，由题意得 a24 ，解得 a8. 3 (2017 宜昌二模 )函数 f(x) 2x2 6x( 2 x2) 的值域是 ( ) A 20,4 B ( 20,4) C.? ? 20， 92 D.? ? 20， 92 解析：选 C 由函数 f(x) 2x2 6x 可知，二次
8、函数 f(x)的图象开口向下，对称轴为x 32，当 2 x0，4ac 164a 0，? a0，ac 4 0. 答案： a0， ac 4 幂函数 过双基 1幂函数的定义 一般地，形如 y x 的函数称为幂函数，其中 x 是自变量， 为常数 2常见的 5 种幂函数的图象 3常见的 5 种幂函数的性质 函数 特征 性质 y x y x2 y x3 y x12 y x 1 定义域 R R R 0， ) x|x R，且 x0 值域 R 0， ) R 0， ) y|y R， 且 y0 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 ( ， 0减，0， ) 增 增 增 ( ， 0)减， (0， ) 减 定点
9、(0,0)， (1,1) (1,1) =【 ;精品教育资源文库 】 = 小题速通 1幂函数 y f(x)的图象过点 (4,2)，则幂函数 y f(x)的图象是 ( ) 解析：选 C 令 f(x) x ，则 4 2， 12， f(x) x12.故 C 正确 2 (2018 贵阳监测 )已知幂函数 y f(x)的图象经过点 ? ?13， 3 ，则 f? ?12 ( ) A.12 B 2 C. 2 D. 22 解析：选 C 设幂函数的解析式为 f(x) x ，将 ? ?13， 3 代入解析式得 3 3，解得 12， f(x) x 12， f? ?12 2，故选 C. 3若函数 f(x) (m2 m
10、1)xm是幂函数，且在 x (0， ) 上为增函数，则实数 m 的值是 ( ) A 1 B 2 C 3 D 1 或 2 解析：选 B f(x) (m2 m 1)xm是幂函数， m2 m 1 1，解得 m 1 或 m 2.又f(x)在 x (0， ) 上是增函数，所以 m 2. 清易错 幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象 与坐标轴相交，则交点一定是原点 幂函数 y xm2 2m 3(m Z)的图象如图所示，则 m 的值为( ) A 10，且a1) a 1 0 a 1
11、图象 定义域 R 值域 (0， ) 性质 当 x 0 时， y 1，即过定点 (0,1) 当 x 0 时， y 1；当 x 0 时，0 y 1 当 x 0 时， 0 y 1；当x 0 时， y 1 在 R 上是增函数 在 R 上是减函数 小题速通 1函数 f(x) ax 2 1(a0，且 a1) 的图象必经过点 ( ) A (0,1) B (1,1) C (2,0) D (2,2) 解析：选 D 由 f(2) a0 1 2，知 f(x)的图象必过点 (2,2) 2函数 f(x) 1 2x的定 义域是 ( ) A ( ， 0 B 0， ) C ( ， 0) D ( ， ) 解析：选 A 要使 f
12、(x)有意义须满足 1 2x0 ，即 2x1 ，解得 x0. 3函数 y ax a(a0，且 a1) 的图象可能是 ( ) 解析：选 C 当 x 1 时， y a1 a 0，所以函数 y ax a 的图象过定点 (1,0)，结合选项可知选 C. 4设 a ? ?35 25， b ? ?25 35， c ? ?25 25，则 a， b， c 的大小关系是 ( ) A acb B abc C cab D bca 解析：选 A 构造指数函数 y ? ?25 x(x R)，由该函数在定义域内单调递减可得 b0 时，有 ? ?35 x? ?25 x，故 ? ?35 25? ?25 25，即ac，故 ac
13、b. 5下列四类函数中，具有性质 “ 对任意的 x0， y0，函数 f(x)满足 f(x y) f(x)f(y)”的是 ( ) A幂函数 B对数函数 C指数函数 D余弦函数 解析：选 C 由指数运算的规律易知， ax y ax ay，即令 f(x) ax，则 f(x y) f(x)f(y)，故该函数为指数函数 清易错 指数函数 y ax(a0，且 a1) 的图象和性质与 a 的取值有关，要特别注意区分 a1 或00，且 a 1)在区间 1,2上的最大值比最小值大 a2，则 a 的值为_ 解析：当 a1 时， f(x) ax为增函数， f(x)max f(2) a2， f(x)min f(1)
14、a. a2 a a2.即 a(2a 3) 0. a 0(舍去 )或 a 321. a 32. 当 00， 且a1) a1 01 时， y (0， ) 当 01 时， y ( ， 0) 在 (0， ) 上为 增函数 在 (0， ) 上为 减函数 小题速通 1若函数 f(x) loga(3x 2)(a0，且 a1) 的图象经过定点 A，则 A 点坐标是 ( ) A.? ?0， 23 B.? ?23， 0 C (1,0) D (0,1) 答案： C 2已知 a0，且 a1 ，函数 y ax与 y loga( x)的图象可能是 ( ) 解析：选 B 由题意知， y ax的定义域为 R， y loga(
15、 x)的定义域为 ( ， 0)，故排除 A、 C；当 01时， y ax在 R 上单调递增， y loga( x)在 ( ， 0)上单调递减，结合 B、 D 图象知， B 正确 3函数 y log2|x 1|的单调递减区间为 _，单调递增区间为 _ 解析：作出 函数 y log2x 的图象，将其关于 y 轴对称得到函数 ylog2|x|的图象，再将图象向左平移 1 个单位长度就得到函数 y log2|x1|的图象 (如图所示 )由图知，函数 y log2|x 1|的单调递减区间为 ( ， 1)，单调递增区间为 ( 1， ) 答案： ( ， 1) ( 1， ) 4函数 f(x) loga(x2 2x 3)(a0， a1) 的定义域为 _ 解析：由题意可得 x2 2x 30
