1、四、模糊关系1.模糊关系的定义定义211所谓A，B两集合的直积中的一个模糊关系R，是指以为论域的一个模糊子集，序偶的隶属度为一般地，若论域为n个集合的直积，则它所对应的是n元模糊关系R，其隶属度函数为n个变量的函数。显然当隶属度函数值只取“0”或“1”时，模糊关系就退化为普通关系。例26设有七种物品：苹果、乒乓球、书、篮球、花，桃、菱形组成的一个论域U，并设分别为这些物品的代号，则。现在就物品两两之间的相似程度来确定它们的模糊关系。假设物品之间完全相似者为“1”、完全不相似者为“0”，BbAabaBA,),(BA),(ba。),(baRnAAA21),(21nRaaa721,xxx721,xx
2、xU假设物品之间完全相似者为“1”、完全不相似者为“0”，其余按具体相似程度给出一个01之间的数，就可确定出一个U上的模糊关系R，列表如下R苹果x1乒乓球x2书x3篮球x4花x5桃x6菱形x7苹果x11.00.700.70.50.60乒乓球x20.71.000.90.40.50书x3001.00000.1篮球x40.70.901.00.40.50花x50.50.400.41.00.40桃x60.60.500.50.41.00菱形x7000.10001.0下面我们来看一下模糊关系与模糊控制的主要环节模糊推理之间的关系。对于确定的控制系统而言，系统的输入输出存在一种确定的关系也称普通关系。同样，对
3、于模糊的控制系统，系统的输入输出也存在某种关系通常称为模糊关系，而这种模糊关系是通过定义在不同论域上的模糊变量之间的模糊条件语句来表示的。假设有如下一条模糊规则其中，条件部模糊集A定义为，结论部模糊集B定义为。为了建模糊关系，先来考虑一下A和B的直积，记为。其中，是有序 对的集合，即B(v)THENA(u)FI或BA UuuA/ )(VvvB/ )(BA)292(),/() )(, )(min(vuvuBABVUAVU ),(vu。VvUuvuVU,/ ),( 例设；则由式（229）可知对于以上这种模糊集合的表示形式也可以很方便地用模糊关系矩阵R来表示;3/2 . 02/7 . 01/1/ )
4、(;4,3,2,1;3,2,1uuVUA4/2 . 03/4 . 02/6 . 01/8 . 0/ )(vvB)4,3/(2 . 0)3 ,3/(2 . 0)2,3/(2 . 0) 1 ,3/(2 . 0)4 , 2/(2 . 0)3 , 2/(4 . 0)2,2/(6 . 0) 1 , 2/(7 . 0)4, 1/(2 . 0)3, 1/(4 . 0)2, 1/(6 . 0) 1 , 1/(8 . 0 BA123410.80.60.40.220.70.60.40.230.20.20.20.2vu为了进一步深入地分析模糊关系矩阵的内在含义和计算方法，引入笛卡尔积算子。定义 2-12 笛卡尔积（
5、算子）若分别是论域中的模糊集，则的笛卡尔积是在积空间中的一个模糊集，其隶属度函数为直积（极小算子）：或代数积：对于连续情况，关系矩阵可以定义为为了便于区分起见，我们引入两个记号分别表示笛卡尔积（算子）两种运算规则，即直积（极小算子）用表示，代数积用表示。 tnAAA21、nUUU、21nAAA21、nUUU21),(2121nAnAAuuu)302()(, )(, )(min2211nAnAAuuu)312()()()(),(22112121nAnAAnAnAAuuuuuu),/()()(),/(),(vuvtuvuvuBARBVUAVURtminAP例27考虑如下模糊条件语句如果C是慢的，则
6、A是快的。其中，C，A分别属于两个不同的论域 U，V。其隶属度函数分别为那么它们的直积为。慢快100/080/060/040/3 . 020/7 . 00/1;100/180/160/7 . 040/3 . 020/00/0CA0000000000000000003 . 03 . 03 . 03 . 0007 . 07 . 07 . 03 . 000117 . 03 . 000) 1 ,0min() 1 ,0min() 1 ,0min() 1 ,0min() 1 ,0min() 1 ,0min() 1 ,3 . 0min() 1 ,3 . 0min() 1 ,7 . 0min() 1 ,7 ,
7、 0min() 1 , 1min() 1 , 1min()7 . 0,0min()3 . 0,0min()0,0min()0,0min()7 . 0,0min()3 . 0,0min()0,0min()0,0min()7 . 0,0min()3 . 0,0min()0,0min()0,0min()7 . 0,3 . 0min()3 . 0,3 . 0min()0,3 . 0min()0,3 . 0min()7 . 0,7 . 0min()3 . 0,7 . 0min()0,7 . 0min()0,7 . 0min()7 . 0, 1min()3 . 0, 1min()0, 1min()0, 1
8、min(),()min(vuAC)()(vtuACCvuA)()(vtuACCvuA从这个简单的例子可以看出，代数积运算子比取小算子产生更平滑的模糊关系表面。从中我们也可以体会到，模糊关系实际上反映的是模糊系统的输入输出关系。因此，它也是模糊系统模型的重要表示法之一。由于模糊关系R实际上是一个模糊子集。因此它的运算完全服从于模糊子集的法则（如交、并、补等）特别是当论域为有限集时，模糊关系R也可以用矩阵来表示，并称之为模糊矩阵。定义213设以及，将序偶的隶属度0000000000000000003.03.021.009.0007.07.049.021.000117.03.000),()(vuAC
9、APBA,21nuuuAmvvvB,21)(BAFR),(jivu称矩阵为模糊矩阵。模糊矩阵是模糊数学的主要运算工具。一个模糊关系虽然可以用模糊集合表达式来表示，但比不上用模糊矩阵表示更为简单明了，特别是在模糊关系的合成运算中。当论域是离散的有限域时，模糊矩阵的元素是用模糊关系的隶属度表示的。关系与矩阵是一一对应的，因此，关系的运算与矩阵的运算也有一一对应的性质和规律，具体的交、并等运算同模糊集合的运算相类似。这里不再重复。2、模糊关系的合成对于有些系统，只依赖单一的条件、结合推理是不够的。因此存在多重推理现象，如IFA THEN B, IF B THEN C这样一类控制规则，其控制输出变量是
10、C，那么，人们不禁要问，A和C之间是否存在某种定量的关系呢？答案是肯定的。寻求这种关系的方法就是模糊关系的合成。对于普通关系也存在关系合成计算。如A和B是父子关系，B和C是夫妻关系，则A和C就会形成一种新的关系，即公媳父子 夫妻。推广,1,0),(jijirvuR记作jirmnjirR)(),(jivuR到模糊概念域，模糊关系也存在关系的合成，其合成的方法是通过模糊关系矩阵来进行的。先来看一个简单的例子例28某家中子女与父母的长像相似关系R为模糊关系，可表示为也可以用模糊矩阵R来表示该家中父母与祖父母的相似关系也是模糊关系，可表示为用模糊矩阵S可表示为R父母子0.20.8女0.60.11 .
11、06 . 08 . 02 . 0RS祖父祖母父0.50.7母0.1001 . 07 . 05 . 0S那么，在该家中孙子、孙女与祖父、祖母的相似程度应该如何呢？模糊关系的合成运算就是为了解决诸如此类问题而提出来的。现在先给出问题的结果再来明确其定义。针对此例，一个简单的模糊关系合成运算为这一计算结果表明孙子与祖父、祖母的相似程度为0.2、0.2；而孙女与祖父、祖母的相似程度为0.5、0.6。定义214模糊关系合成：如果R和S分别为笛卡尔空间上的模糊关系，并记为。其隶属度函数的计算方法。6 , 05 , 02 , 02 , 0)01 . 0()7 . 06 . 0() 1 . 01 . 0()5
12、 . 06 . 0()08 . 0()7 . 02 . 0() 1 . 08 . 0()5 . 02 . 0(01 . 07 . 05 . 01 . 06 . 08 . 02 , 0 SRWV和VUSR上确界（Sup)算子与模糊集合的运算定律相似，模糊关系合成算子sup-min存在如下特征分配律WwVvUuwvvuSRSRV,) ),(),(supWwVvUuwvvuSRV,) ),(, ),(min(maxminsupnmnmnmRRRRRRRRRRIIR1000)()()()()()()()()()()()(SRTRSTRSTSRSTRSRTRSTRSTSRSTR 结合律：包含逆运算注意，模糊关系合成运算不满足交换率，即。TSRTSR)()(RTRSTHENTSIF,TTTRSSR)(RSSR
