1、报告人：鲁胜强报告人：鲁胜强数学建模培训讲座数学建模培训讲座-数学建模竞赛中的优化问题-95A:飞行管理问题鲁胜强一个飞行管理问题一个飞行管理问题 1.1 问题描述问题描述 1995年全国大学生数学建模竞赛中的年全国大学生数学建模竞赛中的A题（题（“一个一个飞行管理问题飞行管理问题”）。）。 在约在约10000米高空的某边长为米高空的某边长为160km的正方形区的正方形区域内，经常有若干架飞机做水平飞行，区域内每域内，经常有若干架飞机做水平飞行，区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据，架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理，当一架欲进入该区域的飞机以便进行飞行
2、管理，当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘时，记录其数据后，要立即计算并到达区域边缘时，记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞。判断是否会与区域内的飞机发生碰撞。 鲁胜强 现假定条件如下：现假定条件如下： 不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8km； 飞机飞行方向角调整幅度不应超过飞机飞行方向角调整幅度不应超过30； 所有飞机飞行速度均为所有飞机飞行速度均为800kmh； 进入该区域的飞机在到达该区域边缘时，进入该区域的飞机在到达该区域边缘时，与区域内飞机的距离应在与区域内飞机的距离应在60km以上；以上； 最多需考虑最多需考虑6架飞机；
3、架飞机； 不必考虑飞机离开此区域后的情况。不必考虑飞机离开此区域后的情况。鲁胜强 请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型，请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型，列出计算步骤，对以下数据进行计算（方向角误差列出计算步骤，对以下数据进行计算（方向角误差不超过不超过0.01），要求飞机飞行方向角调整的幅度），要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。尽量小。 该区域四个定点的坐标为（该区域四个定点的坐标为（0，0）、（）、（160，0）、）、（160，160）、（）、（0，160）。记录数据见表）。记录数据见表21。 鲁胜强表表21 飞机位置和方向角记录数据飞机位置和方向角记录数据 飞机编号
4、横坐标纵坐标方向角（）飞机编号横坐标飞机编号横坐标纵坐标方向角（）飞机编号横坐标x纵坐标纵坐标y方向角（）方向角（）飞机编飞机编号号横坐横坐标标纵坐纵坐标标方向角方向角（）（）飞机编飞机编号号横坐横坐标标x x纵坐纵坐标标y y方向角方向角（）（）1 11501501401402432434 414514550501591592 2858585852362365 51301301501502302303 31551551551552202205 5新进入新进入0 00 05252说明：方向角指飞行方向与说明：方向角指飞行方向与x轴正向的夹角。轴正向的夹角。试根据实际应用背景对你的模型进行评价和
5、推广试根据实际应用背景对你的模型进行评价和推广 鲁胜强 * 对问题仔细阅读对问题仔细阅读, 首先抓住题目中的首先抓住题目中的关键词关键词“管理管理”进行联想进行联想. 抓住诸如抓住诸如“碰撞碰撞”、“调整调整”、“避免避免碰撞碰撞”、“立即立即”、“判断判断”等等词语等等词语. . * * 联系解决问题的方案联系解决问题的方案, ,不加约束继不加约束继续联想，再将关键词搭配起来续联想，再将关键词搭配起来. . 1. 问题的前期分析问题的前期分析鲁胜强160km160km飞行位置示意图飞行位置示意图鲁胜强立即立即 判断判断 碰撞碰撞 条件条件 实时实时 算法算法 避免避免 碰撞碰撞 调整调整 方
6、向角方向角 实时实时 幅度尽量幅度尽量小小 相对相对距离距离优化问题优化问题优化算法优化算法优化调整方案优化调整方案鲁胜强问题的初步理解和想法问题的初步理解和想法 飞行管理问题是优化问题飞行管理问题是优化问题,在调整方向在调整方向角的幅度尽量小的同时，还必须注意角的幅度尽量小的同时，还必须注意调整方案及算法的实时性调整方案及算法的实时性.鲁胜强2. 问题探究问题探究 （1）优化问题的目标函数为何？）优化问题的目标函数为何？方向角调整的尽量小方向角调整的尽量小方向角如何表示方向角如何表示方向角的概念是什方向角的概念是什么么方向角的平方和方向角的平方和目标函数目标函数鲁胜强 任意两架飞机的距离大于
7、任意两架飞机的距离大于8 公里；公里； 飞机飞行方向角调整的幅度不应超过飞机飞行方向角调整的幅度不应超过 30 ；l（2）优化问题的约束条件为何？）优化问题的约束条件为何？两点间距离表示方法两点间距离表示方法判断避免碰撞的依判断避免碰撞的依据据把飞机视为点把飞机视为点总结：目标函数和约束条件中都含有方总结：目标函数和约束条件中都含有方向角。向角。鲁胜强（3）分析6架飞机目前碰撞情况 描点作图；描点作图； 分析飞机在飞行区域的时间；分析飞机在飞行区域的时间； 判断判断5架飞机此刻的情况；架飞机此刻的情况； 判断新进入飞机与其他判断新进入飞机与其他5架飞机碰撞的情况。架飞机碰撞的情况。鲁胜强（4）
8、求解方法）求解方法 特殊到一般：先考虑特殊到一般：先考虑2架，然考虑架，然考虑3架架 优化问题为非线性规划问题，编程求解。优化问题为非线性规划问题，编程求解。总结：初等算法和高等算法都可。总结：初等算法和高等算法都可。创新之处：算法。创新之处：算法。鲁胜强模型一及求解模型一及求解 模型建立模型建立 这个问题显然是一个优化问题。设第这个问题显然是一个优化问题。设第i 架飞架飞机在调整时的方向角为机在调整时的方向角为 （题目中已给（题目中已给出），调整后的方向为出），调整后的方向为 ，题目中就是要求飞机飞行方向角调整的幅题目中就是要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小，因此有化的目的函数可以是：度尽量
9、小，因此有化的目的函数可以是： （1）621| .ii0(1,2,6)iiii0i鲁胜强 为了建立这个问题的优化模型，只需要明确约束条件就可为了建立这个问题的优化模型，只需要明确约束条件就可以了。一个简单的约束是飞机飞行方向角调整的幅度不应以了。一个简单的约束是飞机飞行方向角调整的幅度不应超过超过30，即，即 （2） | 30 .鲁胜强 题目中要求进入该区域的飞机在到达该区域边缘时，题目中要求进入该区域的飞机在到达该区域边缘时，与区域内的飞机的距离应在与区域内的飞机的距离应在60km以上。这个条件以上。这个条件是个初始条件，很容易验证目前所给的数据是满足是个初始条件，很容易验证目前所给的数据是
10、满足的，因此本模型中可以不予考虑。剩下的关键是的，因此本模型中可以不予考虑。剩下的关键是 要满足题目中描述的任意两架位于该区域内的飞机要满足题目中描述的任意两架位于该区域内的飞机的距离应该大于的距离应该大于8km。但这个问题的难点在于飞机。但这个问题的难点在于飞机是动态的，这个约束不好直接描述，为此我们首先是动态的，这个约束不好直接描述，为此我们首先需要描述每架飞机的飞行轨迹。需要描述每架飞机的飞行轨迹。鲁胜强 记飞机飞行速率为（记飞机飞行速率为（800kmh），以当前），以当前时刻为时刻为0时刻。设第时刻。设第 架飞机在调整时的位架飞机在调整时的位置坐标为置坐标为 （已知条件），时刻的位（已
11、知条件），时刻的位置坐标为置坐标为 ，则，则 （3）00(,)iixy(,)ttiixy00cos,sin.ttiiiiiixxvtyyvti鲁胜强 如果要严格表示两架位于该区域内的飞机如果要严格表示两架位于该区域内的飞机的距离应大于的距离应大于8km，则需要考虑每架飞机，则需要考虑每架飞机在区域内的飞行时间的长度。记在区域内的飞行时间的长度。记Ti 为第为第 架飞机飞出区域的时间，即架飞机飞出区域的时间，即 （4） 0argmin0:cos0160sin0160iiiiTtxvtvt0i或，或y或i鲁胜强 记记 时刻第时刻第 架飞机与第架飞机与第 架飞机的距离架飞机的距离为为 ，并记，并记
12、，这时在区，这时在区域内飞机不相撞的约束条件就变成了域内飞机不相撞的约束条件就变成了 （5） 其中其中 （6） 此外，经过计算可以得到此外，经过计算可以得到tij( )ijr t2( ) ( )64ijijftr t2( ) ( )640(0)ijijijftr ttT min ,.ijijTT T鲁胜强 （7） （8） （9） （10） 0020022( )(coscos)(sinsin)64ijiijjiijjijijijijf txvtxvtyvtyvtzb zc2 sin,2ijijzvt00002 ()sin()cos,22ijijijijijbxxyy00 200 2()()64.
13、ijijijcxxyy鲁胜强 所以所以 是一个关于是一个关于 t 的二次函数，表示的的二次函数，表示的是一条开口向上的抛物线。当是一条开口向上的抛物线。当 即即 （记为（记为 ）时，）时， 函数取最小函数取最小值值 。注意到。注意到 （初始时刻不相（初始时刻不相撞），如果撞），如果 （即（即 ）则此时约束条）则此时约束条件（件（5）一定成立，所以）一定成立，所以 如果如果 且且 ，只要在右端点的函数值，只要在右端点的函数值非负即可，即非负即可，即( )ijft/ 2,ijijzb /4 sin2ijijtbv *ijt( )ijft/4ijijbc(0)0ijijfc/20ijb0ijb 0i
14、jb *ijijtT鲁胜强 （11）如果 且 ，只需要 求最小值 即可，即 （12）实际上，约束（11）表示的是 在右端点的函数值非负，这个约束在（12）的条件下也是自然成立的，所以可以是对约束（11）不再附加且的条件。 ()0;ijijf T0ijb *0ijijtT*( )/40ijijijijftbc 240.ijijbc( )ijft( )ijftijT鲁胜强 于是我们的模型就是于是我们的模型就是 （13） （14） （15） （16） 621min| ;ii2. .|30 ,ist()0;ijijfT2*40.(0,0)ijijijijijbcbtT鲁胜强模型求解模型求解 上面这是一
15、个非线性规划模型，虽然是严格满足题目上面这是一个非线性规划模型，虽然是严格满足题目要求的模型，但得到的模型逻辑关系比较复杂，约束要求的模型，但得到的模型逻辑关系比较复杂，约束（16）是在一定条件下才成立的约束，而且其中的）是在一定条件下才成立的约束，而且其中的计算式（计算式（4）也含有相当复杂的关系式，使用）也含有相当复杂的关系式，使用LINGO软件不太容易将模型很方便的输入，因为逻辑处理不软件不太容易将模型很方便的输入，因为逻辑处理不是是LINGO的优势所在。即使想办法把这个模型输入的优势所在。即使想办法把这个模型输入到到LINGO，也不一定能求出好的解（笔者尝试过，也不一定能求出好的解（笔
16、者尝试过，但是但是LINGO运行时有时会出现系统内部错误，可能运行时有时会出现系统内部错误，可能是系统有问题，无法继续求解）。而且，在实时飞行是系统有问题，无法继续求解）。而且，在实时飞行调度中显然需要快速求解，所以下面我们想办法简化调度中显然需要快速求解，所以下面我们想办法简化模型。模型。鲁胜强 这个模型麻烦之处就在于，要求严格表示这个模型麻烦之处就在于，要求严格表示两架飞机的飞行距离应大于两架飞机的飞行距离应大于8km，所以需，所以需要考虑每架飞机在区域内的飞行时间的长要考虑每架飞机在区域内的飞行时间的长度，比较繁琐。注意到区域对角线的长度度，比较繁琐。注意到区域对角线的长度只有只有 ，任
17、何一架飞机在所考虑的区域，任何一架飞机在所考虑的区域内停留的时间不会超内停留的时间不会超过过 。因此这里我们。因此这里我们简化一下问题；简化一下问题； 160 2max160 2/800 0.2 20.283( )Th鲁胜强 不再单独考虑每架飞机在区域内停留的时不再单独考虑每架飞机在区域内停留的时间，而是以最大时间间，而是以最大时间 （这是已经是一个常（这是已经是一个常数）代替之，此时所有数）代替之，此时所有 ，这实际上，这实际上强化了问题的要求，即考虑了有些飞机可强化了问题的要求，即考虑了有些飞机可能已经飞出区域，但仍不允许两架飞机的能已经飞出区域，但仍不允许两架飞机的距离小于距离小于8km
18、。 maxTmaxijTT鲁胜强程序：程序： MODEL: TITLE 飞行管理问题的非线性规划模型飞行管理问题的非线性规划模型; SETS: Plane/1.6/: x0, y0, cita0, cita1, d_cita; ! cita0表示初始角度，表示初始角度，cita1为调整后的角为调整后的角度度,d_cita为调整的角度为调整的角度; link(plane, plane)|&1 #LT# &2: b,c; ENDSETS DATA:鲁胜强1501402438585236150155220.5145501591301502300052x0 y0 cita0 =鲁胜强max_cita
19、= 30;T_max = 0.283;V=800;ENDDATAINIT:d_cita = 0 0 0 0 0 0;ENDINITfor(plane: cita1 - cita0 = d_cita);for(link(i,j): b(i,j) = -2*(x0(i) -x0(j)*sin (cita1(i)+cita1(j)*3.14159265/360) +2*(y0(i) -y0(j)*cos (cita1(i)+cita1(j)*3.14159265/360); c(i,j) = (x0(i) -x0(j) 2 + (y0(i) -y0(j) 2 - 64;);! 避免碰撞的条件避免碰撞
20、的条件;! 右端点非负右端点非负;for(link(i,j): Right 鲁胜强(2*V*T_max*sin(cita1(i)-cita1(j)*3.14159265/360)2 + b(i,j)*(2*V*T_max*sin(cita1(i)-cita1(j)*3.14159265/360) + c(i,j) 0);! 最小点非负最小点非负;for(link(i,j): Minimum if(b(i,j)#lt#0 #and# -b(i,j)/4/V/sin(cita1(i)-cita1(j)*3.14159265/360) #gt#0 #and# -b(i,j)/4/V/sin(cita
21、1(i)-cita1(j)*3.14159265/360) #lt#T_max , b(i,j)2-4*c(i,j),-1) 0);!for(link(i,j): if(b(i,j)#lt#0, b(i,j)2-4*c(i,j), -1) ij(2)由圆状模型导出的方程由圆状模型导出的方程讨论讨论ij的改变量与第的改变量与第i第第j两架飞机飞行方向角改变量两架飞机飞行方向角改变量i, j的关系的关系由题目条件知由题目条件知|vi|=A=800，可用复数表示速度，可用复数表示速度iiiAev设第设第i，j飞机飞行方向改变前的速度分别为飞机飞行方向改变前的速度分别为jiijiiAevAev11,改
22、变后的速度分别为改变后的速度分别为)(2)(2,jjiiijiiAevAev改变前后相对速度分别为改变前后相对速度分别为)()()()(222111jjiijiiijiijiijiijeeAvvveeAvvv两者之商的幅角就是两者之商的幅角就是ijjjiijjjjiiiiiiiiijijiiiieeAeeAvvjijjiisincossincos)sin()cos()sin()cos()()()(12)2cos2(sin2sin2)2cos2(sin2sin2jijijiijiiijiiijiiii22sin22sin2jiijiijiie2jiij定理：对第定理：对第i，第，第j两架飞机，其
23、相对速度方向两架飞机，其相对速度方向ij的改变量的改变量ij等于等于两飞机飞行方向角改变量之和的一半，即两飞机飞行方向角改变量之和的一半，即2jiij模型模型目标函数：目标函数：|)|min(max|min61iii或Min其中其中为各飞机方向角调整量的最大值为各飞机方向角调整量的最大值或为或为约束条件：约束条件：调整方向角时不能超过调整方向角时不能超过300：6 , 2 , 1,30|ii调整飞行方向后飞机不能碰撞：调整飞行方向后飞机不能碰撞：ijjiij|2|模型为模型为 6 , 2 , 1,30|, 6 , 2 , 1.,| )(21|. .|min61ijijitsiijjiijii化
24、为线性规划模型化为线性规划模型时当0ijijijijijijij|时当0ijijijijijijij|由于由于i可正可负，为使各变量均非负，引入新变量：可正可负，为使各变量均非负，引入新变量：2121,iiiii使模型模型化为化为0,303030220220. .min212121212121212121iiiiiiiiiiijijjjiiijijijjjiiijts时，时，模型求解模型求解ij的计算的计算)|8arcsin(jiijxx model:sets:plane/1.6/:x0,y0;link(plane,plane):alpha,sin2;endsetsfor(link(i,j)|
25、i#ne#j:sin2(i,j)=64/(x0(i)-x0(j)2+(y0(i)-y0(j)2););for(link(i,j)|i#ne#j:(sin(alpha*3.14159265/180.0)2=sin2;);data:x0=150,85,150,145,130,0;y0=140,85,155,50,150,0;enddataendALPHA( 1, 1) 1.234568 ALPHA( 1, 2) 5.391190 ALPHA( 1, 3) 752.2310 ALPHA( 1, 4) 5.091816 ALPHA( 1, 5) 2000.963 ALPHA( 1, 6) 2.2345
26、07 ALPHA( 2, 1) 5.391190 ALPHA( 2, 2) 1.234568 ALPHA( 2, 3) 4.804024 ALPHA( 2, 4) 6.613460 ALPHA( 2, 5) 5.807866 ALPHA( 2, 6) 3.815925 ALPHA( 3, 1) 752.2310 ALPHA( 3, 2) 4.804024 ALPHA( 3, 3) 1.234568 ALPHA( 3, 4) 4.364672 ALPHA( 3, 5) 1102.834 ALPHA( 3, 6) 2.125539 ALPHA( 4, 1) 5.091816ALPHA( 4, 2)
27、 6.613460 ALPHA( 4, 3) 4.364672 ALPHA( 4, 4) 1.234568 ALPHA( 4, 5) 4.537692 ALPHA( 4, 6) 2.989819 ALPHA( 5, 1) 2000.963 ALPHA( 5, 2) 5.807866 ALPHA( 5, 3) 1102.834 ALPHA( 5, 4) 4.537692 ALPHA( 5, 5) 1.234568 ALPHA( 5, 6) 2.309841 ALPHA( 6, 1) 2.234507 ALPHA( 6, 2) 3.815925 ALPHA( 6, 3) 2.125539 ALPH
28、A( 6, 4) 2.989819 ALPHA( 6, 5) 2.309841 ALPHA( 6, 6) 1.234568ijJ=123456i=10.0000005.39119032.2309535.09181620.9633612.23450725.3911900.0000004.8040246.6134605.8078663.815925332.2309534.8040240.0000004.36467222.8336542.12553945.0918166.6134604.3646720.0000004.5376922.989819520.9633615.80786622.833654
29、4.5376920.0000002.30984162.2345073.8159252.1255392.9898192.3098410.000000整理可得整理可得ij的值（单位角度）的值（单位角度）也可以用也可以用MATLAB计算计算ij的值的值x=150,85,150,145,130,0;y=140,85,155,50,150,0;k=length(x);alpha=zeros(k);for i=1:k for j=1:k if i=j alpha(i,j)=0; else alpha(i,j)=(180/3.14159265)*asin(8/sqrt(x(i)-x(j)2+(y(i)-y(
30、j)2); end endendalpha计算计算ij的值程的值程序为序为计算结果为计算结果为 0 5.391190237223 5.391190237223 032.230952672331 4.804023933797 5.091816448550 6.61346048987220.963360893128 5.807866243421 2.234506736995 3.81592477539932.230952672331 5.091816448550 4.804023933798 6.613460489872 0 4.364671899111 4.364671899111 0 22.8
31、33654204009 4.537692462402 2.125538857551 2.98981913904520.963360893128 2.234506736995 5.807866243421 3.815924775399 22.833654204009 2.125538857551 4.537692462403 2.989819139045 0 2.309841365405 2.309841365405 0ij的计算的计算:)()(ijjiijxxangvvanga=150,85,150,145,130,0;b=140,85,155,50,150,0;x=a+b*i;c=243,2
32、36,220.5,159,230,52*pi/180;v=exp(i*c);k=length(a);for i=1:k for j=1:k beita(i,j)=(angle(v(i)-v(j)-angle(x(j)-x(i)*180/pi; endendbeita用用matlab程序编写程序编写beita = 0 109.2636 -128.2500 24.1798 -186.9349 14.4749 109.2636 0 -88.8711 -42.2436 -92.3048 9.0000 231.7500 271.1289 0 12.4763 301.2138 0.3108 24.1798
33、 -42.2436 12.4763 0 5.9692 -3.5256 173.0651 267.6952 -58.7862 5.9692 0 1.9144 14.4749 9.0000 0.3108 -3.5256 1.9144 0运算结果运算结果最优解的计算最优解的计算用用LINGO求解求解程序如下程序如下model:sets:plane/1.6/:cita;link(plane,plane):alpha,beta;endsetsmin=sum(plane:abs(cita);for(plane(i): bnd(-30,cita(i),30); );for(link(i,j)|i#ne#j:
34、 abs(beta(i,j)+0.5*cita(i)+0.5*cita(j) alpha(i,j); );data:alpha=0.000000,5.391190,32.230953,5.091816,20.963361,2.234507, 5.391190,0.000000,4.8040024,6.813460,5.807866,3.815925,32.230953,4.804024,0.000000,4.364672,22.833654,2.125539,5.091816,6.613460,4.363673,0.000000,4.537692,2.989819, 20.963361,5.8
35、07866,22.833654,4.537692,0.000000,2.309841,2.234507,3.815925,2.125539,2.989819,2.309841,0.000000; beta=0.000000 109.263642 -128.250000 24.179830 173.065051 13.474934109.263642 0.000000 -88.871096 -42.243563 -92.304847 9.000000-128.250000 -88.87096 0.000000 12.476311 -58.786243 0.31080924.179830 -42.
36、243563 12.476311 0.000000 5.969234 -3.525606174.065051 -92.304846 -58.786244 5.969234 0.000000 1.91438314.474934 9.000000 0.310809 -3.525606 1.913383 0.000000;enddataend用用MATLAB计算编程如下计算编程如下function f,g=plane(x)alph=0.000000,5.391190,32.230953,5.091816,20.963361,2.234507,5.391190,0.000000,4.8040024,6
37、.813460,5.807866,3.815925,32.230953,4.804024,0.000000,4.364672,22.833654,2.125539,5.091816,6.613460,4.363673,0.000000,4.537692,2.989819,20.963361,5.807866,22.833654,4.537692,0.000000,2.309841,2.234507,3.815925,2.125539,2.989819,2.309841,0.000000; bet=0.000000 109.263642 -128.250000 24.179830 173.065
38、051 13.474934109.263642 0.000000 -88.871096 -42.243563 -92.304847 9.000000-128.250000 -88.87096 0.000000 12.476311 -58.786243 0.31080924.179830 -42.243563 12.476311 0.000000 5.969234 -3.525606174.065051 -92.304846 -58.786244 5.969234 0.000000 1.91438314.474934 9.000000 0.310809 -3.525606 1.913383 0.
39、000000;f=abs(x(1)+abs(x(2)+abs(x(3)+abs(x(4)+abs(x(5)+abs(x(6);g(1)= alpha(1,2) -abs(beta(1,2)+0.5*x(1)+0.5*x(2);g(2)= alpha(1,3) -abs(beta(1,3)+0.5*x(1)+0.5*x(3);g(3)= alpha(1,4) -abs(beta(1,4)+0.5*x(1)+0.5*x(4);g(4)= alpha(1,5) -abs(beta(1,5)+0.5*x(1)+0.5*x(5);g(5)= alpha(1,6) -abs(beta(1,6)+0.5*x
40、(1)+0.5*x(6);g(6)= alpha(2,3) -abs(beta(2,3)+0.5*x(2)+0.5*x(3);g(7)= alpha(2,4) -abs(beta(2,4)+0.5*x(2)+0.5*x(4);g(8)= alpha(2,5) -abs(beta(2,5)+0.5*x(2)+0.5*x(5);g(9)= alpha(2,6) -abs(beta(2,6)+0.5*x(2)+0.5*x(6);g(10)= alpha(3,4) -abs(beta(3,4)+0.5*x(3)+0.5*x(4);g(11)= alpha(3,5) -abs(beta(3,5)+0.5
41、*x(3)+0.5*x(5);g(12)= alpha(3,6) -abs(beta(3,6)+0.5*x(3)+0.5*x(6);g(13)= alpha(4,5) -abs(beta(4,5)+0.5*x(4)+0.5*x(5);g(14)= alpha(4,6) -abs(beta(4,6)+0.5*x(4)+0.5*x(6);g(15)= alpha(5,6) -abs(beta(5,6)+0.5*x(5)+0.5*x(6);执行程序执行程序x0=0,0,0,0,0,0; v1=-30*ones(1,6); v2=30*ones(1,6);opt=;x= constr(plane,x0
42、,opt,v1,v2)结果：结果：x = -0.00000576637983 -0.00000576637983 2.58794980234726 -0.00001243487985 0.00003620473095 1.04151019765274最优解：最优解：o654o3211.041500,2.58790, 0模型检验模型检验各飞行方向按此方案调整后，系统各架飞机均满足各飞行方向按此方案调整后，系统各架飞机均满足|ij+( I+ j)/2|ij ,结果是正确的。结果是正确的。模型的评价与推广模型的评价与推广（1）此模型采用圆状模型分析碰撞问题是合理的，同时采用相对）此模型采用圆状模型分
43、析碰撞问题是合理的，同时采用相对速度作为判别标准，既体现了碰撞的本质（相对运动），又简化了速度作为判别标准，既体现了碰撞的本质（相对运动），又简化了模型的计算；模型的计算；（2）建模中用了适当的简化，将一个复杂的非线性规划问题简）建模中用了适当的简化，将一个复杂的非线性规划问题简化为线性规划问题，既求到合理的解，又提高了运算速度，这对化为线性规划问题，既求到合理的解，又提高了运算速度，这对解决高速飞行的飞机碰撞问题是十分重要的。此模型对题目所提解决高速飞行的飞机碰撞问题是十分重要的。此模型对题目所提供的例子计算得出的结果是令人满意的。供的例子计算得出的结果是令人满意的。（3）由对称性知模型中的
44、约束个数是）由对称性知模型中的约束个数是 （n是飞机数），所有约是飞机数），所有约束条件数是束条件数是 ，计算量增加不大。，计算量增加不大。2nC2)7(42nnnCn鲁胜强建模方案二：建模方案二：1.问题分析问题分析目的：不碰撞目的：不碰撞手段：调整飞行方向角手段：调整飞行方向角要求：调整的幅度尽量小要求：调整的幅度尽量小求解思路：求解思路：(1) 找出不碰撞的条件找出不碰撞的条件,可用可用matlab画出各画出各架飞机在架飞机在t=0时刻的位置和飞行方向时刻的位置和飞行方向(2)求调整幅度的极小值求调整幅度的极小值 鲁胜强题目的条件题目的条件(1) 飞机在正方形区域内水平飞行。飞机在正方形
45、区域内水平飞行。 根据根据 (1)可将飞机飞行的空域视为二维平面可将飞机飞行的空域视为二维平面xoy中的一个正方形区域中的一个正方形区域,顶点为顶点为(0,0),(160,0),(160,160),(0,160)。 根据根据 (1)可将飞机飞行的空域视为二维平面可将飞机飞行的空域视为二维平面xoy中的一个正方形区域中的一个正方形区域,顶点为顶点为(0,0),(160,0),(160,160),(0,160)。 可用可用matlab画出各架飞机在画出各架飞机在t=0时刻的位置和时刻的位置和飞行方向飞行方向画图程序为：画图程序为：plan1 在用在用matlab进行飞机动态模拟：进行飞机动态模拟：
46、plan2鲁胜强 从模拟的结果以及计算可知，如果从模拟的结果以及计算可知，如果不调整飞机方向，飞机不调整飞机方向，飞机6和和5发生碰撞，发生碰撞，然后然后6和和3发生碰撞。发生碰撞。2.符号含义如下符号含义如下:Pi代表第代表第i架飞机，新进入为第架飞机，新进入为第6架；架；Xi(t),yi(t) 第第i架飞机的位置坐标，他们都是时间的函数，架飞机的位置坐标，他们都是时间的函数，xi0,yi0是他们的初始值；是他们的初始值； v飞行速度，为常数飞行速度，为常数800km/h;i 第第i架飞机飞行方向角，架飞机飞行方向角， i 0为初始值；为初始值；i 第第i架飞机飞行方向角架飞机飞行方向角i
47、的调整值；的调整值；dij(t)- 第第i架飞机与第架飞机与第j架飞机之间的距离，他是时间的函数架飞机之间的距离，他是时间的函数 鲁胜强 4.模型的建立模型的建立 记记: 第第i架飞机的飞行方向角架飞机的飞行方向角: i,调整量调整量: i, (调整后调整后) i= i0,+ i, t时刻，飞机的位置为：时刻，飞机的位置为： 两架飞机的距离的平方：两架飞机的距离的平方：d2ij (t)= (xi0+vtcos i - xj0-vtcos j)2 +(yi0+vtsin i - yj0-vtsin j)2 题目要求飞机飞行方向角调整的幅度尽题目要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小量小,因此目标取为
48、因此目标取为 3.模型假设模型假设(1) 飞机进入区域边缘时飞机进入区域边缘时,立即作出计算立即作出计算,每架飞机按照计每架飞机按照计算后的指示立即作方向角改变算后的指示立即作方向角改变;(2) 每架飞机在整个过程中至多改变一次方向每架飞机在整个过程中至多改变一次方向;(3) 忽略飞机转向的影响忽略飞机转向的影响(转弯半径和转弯时间的影响转弯半径和转弯时间的影响);00( )cos( )siniiiiiix txvty tyvt 61|ii 鲁胜强(2)约束条件约束条件条件条件 1 飞机飞行方向角调整的幅度不应超过飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度度. 得到得到 |i |30,i=16,条
49、件条件 2 飞机不碰撞的标准为二者距离大于飞机不碰撞的标准为二者距离大于8公里公里 。 总结以上结果得如下优化模型总结以上结果得如下优化模型 这是一个非线性规划模型这是一个非线性规划模型.612min|64. .1,6,|/ 6iiijids ti jij 鲁胜强为了简化计算，令为了简化计算，令vt=l,将将l离散化，经预先计算可知，碰离散化，经预先计算可知，碰撞可能发生在撞可能发生在94l112范围之内，把范围之内，把l放宽到放宽到90l112，经初步估算经初步估算1和和2不发生碰撞，可不考虑不发生碰撞，可不考虑1和和2，可编写程，可编写程序如下序如下plan3用多点迭代的方法可得最优解：用
50、多点迭代的方法可得最优解： 3 =0.04954弧度弧度： 6 = 0.138弧度，其他的不用调整，目标函数值为弧度，其他的不用调整，目标函数值为0.06334弧度弧度鲁胜强为了参加数学建模竞赛，需要掌握多少数学（工具）？为了参加数学建模竞赛，需要掌握多少数学（工具）？数学建模与数学工具的关系“问题问题”“工具工具”优化模型与软件优化模型与软件锤子与钉子锤子与钉子 哪些数学工具可以用于解决实际问题？哪些数学工具可以用于解决实际问题？ 多多益善；运用自如多多益善；运用自如鲁胜强课后练习课后练习 对三种方法中的求解过程进行实际操作对三种方法中的求解过程进行实际操作. 2. 查找优秀论文另类解法中的
