1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 高考达标检测（三十五） 圆的方程命题 3 角度 求方程、算最值、定轨迹 一、选择题 1原点位于圆 x2 y2 2ax 2y (a 1)2 0(a1)的 ( ) A圆内 B圆上 C圆外 D均有可能 解析：选 C 把原点坐标代入圆的方程得 (a 1)20(a1)，所以点在圆外，故选 C. 2已知圆 C 与直线 y x 及 x y 4 0 都相切，圆心在直线 y x 上，则圆 C 的方程为 ( ) A (x 1)2 (y 1)2 2 B (x 1)2 (y 1)2 2 C (x 1)2 (y 1)2 2 D (x 1)2 (y 1)2 2 解析：选 D 由题意知 x
2、 y 0 和 x y 4 0 之间的距离为 |4|2 2 2，所以 r 2. 又因为 y x 与 x y 0， x y 4 0 均垂直， 所以由 y x 和 x y 0 联立得交点坐标为 (0,0)， 由 y x 和 x y 4 0 联立得交点坐标为 (2， 2)， 所以圆心坐标为 (1， 1)， 所以圆 C 的标准方程为 (x 1)2 (y 1)2 2. 3 (2018 广州测试 )圆 (x 1)2 (y 2)2 1 关于 直线 y x 对称的圆的方程为 ( ) A (x 2)2 (y 1)2 1 B (x 1)2 (y 2)2 1 C (x 2)2 (y 1)2 1 D (x 1)2 (y
3、 2)2 1 解析：选 A 圆心 (1,2)关于直线 y x 对称的点为 (2,1)， 圆 (x 1)2 (y 2)2 1 关于直线 y x 对称的圆的方程为 (x 2)2 (y 1)2 1. 4一束光线从点 ( 1,1)出发，经 x 轴反射到圆 C： (x 2)2 (y 3)2 1 上的最短路径长度是 ( ) A 4 B 5 C 3 D 2 解析：选 A 由题 意可得圆心 C(2,3)，半径为 r 1, 点 A 关于 x 轴的对称点为 A( 1， 1), 求得 |A C| 5, 故要求的最短路径的长为 |A C| r 5 1 4. =【 ;精品教育资源文库 】 = 5已知点 M 是直线 3x
4、 4y 2 0 上的动点，点 N 为圆 (x 1)2 (y 1)2 1 上的动点，则 |MN|的最小值是 ( ) A.95 B 1 C.45 D.135 解析：选 C 因为圆心 ( 1， 1)到点 M 的距离的最小值为点 ( 1， 1)到直线 3x 4y 2 0 的距离 d | 3 4 2|5 95，所以点 N 到点 M 的距离 |MN|的最小值为 95 1 45. 6若圆 (x 3)2 (y 5)2 r2上有且只有两个点到直线 4x 3y 2 的距离等于 1，则半径 r 的取值范围是 ( ) A (4,6) B 4,6 C 4,6) D (4,6 解析：选 A 易求圆心 (3， 5)到直线
5、4x 3y 2 的距离为 5. 令 r 4，可知圆上只有一点到已知直线的距离为 1； 令 r 6，可知圆上有三点到已知直线的距离为 1， 所以 半径 r 取值范围在 (4,6)之间符合题意 7已知圆 C 关于 x 轴对称，经过点 (0,1)，且被 y 轴分成两段弧，弧长之比为 2 1，则圆的方程为 ( ) A x2 ? ?y 33 2 43 B x2 ? ?y 33 2 13 C.? ?x 33 2 y2 43 D.? ?x 33 2 y2 13 解析：选 C 设圆的方程为 (x a)2 y2 r2(a0)， 圆 C 与 y 轴交于点A(0,1)， B(0， 1)， 由弧长之比为 2 1， 易
6、知 OCA 12 ACB 12120 60 ， 则 tan 60 |OA|OC| 1|OC| 3， 所以 a |OC| 33 ， 即圆心坐标为 ? ? 33 ， 0 ， r2 |AC|2 12 ? ? 33 2 43.所以圆的方程为 ? ?x 33 2 y2 43. 8已知圆 C： (x 3)2 (y 4)2 1 和两点 A( m,0)， B(m， 0)(m0)若圆 C 上存在点P，使得 APB 90 ，则 m 的最大值为 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A 7 B 6 C 5 D 4 解析：选 B 根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心 C 的坐标为 (3,4)，半径 r 1，且
7、|AB| 2m，因为 APB 90 ，连接 OP，易知 |OP| 12|AB| m.要求 m 的最大值，即求圆 C上的点 P 到原点 O 的最大距离因为 |OC| 32 42 5，所以 |OP|max |OC| r 6，即 m 的最大值为 6. 二、填空题 9在平面直角坐标系内 ，若圆 C： x2 y2 2ax 4ay 5a2 4 0 上所有的点均在第四象限内，则实数 a 的取值范围为 _ 解析：圆 C 的标准方程为 (x a)2 (y 2a)2 4， 所以圆心为 ( a,2a)，半径 r 2， 故由题意知? a2，|2a|2，解得 a 2， 故实数 a 的取值范围为 ( ， 2) 答案： (
8、 ， 2) 10当方程 x2 y2 kx 2y k2 0 所表示的圆的面积取最大值时，直线 y (k 1)x 2的倾斜角 _. 解析：由题意知，圆的半径 r 12 k2 4 4k2 12 4 3k21 ， 当半径 r 取最大值时，圆的面积最大，此时 k 0， r 1， 所以直线方程为 y x 2，则有 tan 1， 又 0， ) ，故 34 . 答案： 34 11已知圆 C： x2 y2 2x 4y 1 0 的圆心在直线 ax by 1 0 上，则 ab 的取值范围是 _ 解析：把 圆的方程化为标准方程为 (x 1)2 (y 2)2 4， 圆心坐标为 ( 1,2)， 根据题意可知，圆心在直线
9、ax by 1 0 上， =【 ;精品教育资源文库 】 = 把圆心坐标代入直线方程得， a 2b 1 0，即 a 1 2b， 则 ab (1 2b)b 2b2 b 2? ?b 14 2 18 18， 当 b 14时， ab 有最大值 18，故 ab 的取值范围为 ? ? ， 18 . 答案： ? ? ， 18 12已知圆 O： x2 y2 1，直线 x 2y 5 0 上的动点 P，过点 P 作圆 O 的一条切线，切点为 A，则 |PA|的最小值为 _ 解析：过 O 作 OP 垂直于直线 x 2y 5 0，过 P 作圆 O 的切线 PA，连接 OA， 易知此时 |PA|的值最小由点到直线的距离公
10、式，得 |OP| |10 20 5|12 2 5. 又 |OA| 1，所以 |PA| |OP|2 |OA|2 2. 答案： 2 三、解答题 13 (2018 湖南六校联考 )已知直线 l： 4x 3y 10 0，半径为 2 的圆 C 与 l 相切，圆心 C 在 x 轴上且在直线 l 的右上方 (1)求圆 C 的方程； (2)过点 M(1,0)的直线与圆 C 交于 A， B 两点 (A 在 x 轴上方 )，问在 x 轴正半轴上是否存在定点 N，使得 x 轴平分 ANB？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 解： (1)设圆心 C(a,0)? ?a 52 ，则 |4a 10|5 2?
11、a 0 或 a 5(舍去 ) 所以圆 C 的方程为 x2 y2 4. (2)当直线 AB x 轴时， x 轴平分 ANB. 当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y k(x 1)， N(t,0)， A(x1， y1)， B(x2， y2)， 由? x2 y2 4，y k x ， 得 (k2 1)x2 2k2x k2 4 0， 所以 x1 x2 2k2k2 1， x1x2k2 4k2 1. 若 x 轴平分 ANB， 则 kAN kBN? y1x1 t y2x2 t 0?k x1x1 t k x2x2 t 0 ?2x1x2 (t 1)(x1 x2) 2t 0 ? k2k2 1 2k2
12、 tk2 1 2t 0?t 4， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以当点 N 为 (4,0)时，能使 x 轴平分 ANB. 14在 OAB 中，已知 O(0,0)， A(8,0)， B(0,6)， OAB 的内切圆的方程为 (x 2)2 (y 2)2 4， P 是圆上一点 (1)求点 P 到直线 l： 4x 3y 11 0 的距离的最大值和最小值； (2)若 S |PO|2 |PA|2 |PB|2，求 S 的最大值和最小值 解： (1)由题意得圆心 (2,2)到直线 l： 4x 3y 11 0 的距离 d |42 32 11|42 32 255 5 2，故点 P 到直线 l 的距离的最大值
13、为 5 2 7，最小值为 5 2 3. (2)设点 P 的坐标为 (x， y)， 则 S x2 y2 (x 8)2 y2 x2 (y 6)2 3(x2 y2 4x 4y) 4x 100 4x 88， 而 (x 2)24 ，所以 2 x 22 ， 即 0 x4 ，所以 16 4x0 ，所以 72 S88 ， 即当 x 0 时， Smax 88，当 x 4 时， Smin 72. 1已知圆 O： x2 y2 1，圆 B： (x 3)2 (y 4)2 4， P 是平面内一动点，过点 P 作圆O，圆 B 的切线，切点分别为 D， E，若 |PE| |PD|，则点 P 到坐标原点 O 的距离的最小值为_
14、 解析：设 P(x， y)，因为 |PE| |PD|， |PD|2 |OD|2 |PO|2， |PE|2 |BE|2 |PB|2， 所以 x2 y2 1 (x 3)2 (y 4)2 4， 整理得： 3x 4y 11 0, 点 P 到坐标原点 O 的距离的最小值就是点 O 到 3x 4y 11 0 的距离， 所以点 P 到坐标原点 O 的距离的最小值为 1132 42 115. 答案： 115 2已知圆 C 过点 P(1,1)，且与圆 M： (x 2)2 (y 2)2 r2(r 0)关于直线 x y 2 0对称 (1)求 圆 C 的方程； (2)设 Q 为圆 C 上的一个动点，求 PQ MQ 的
15、最小值 解： (1)设圆心 C(a， b)，由已知得 M( 2， 2)， =【 ;精品教育资源文库 】 = 则? a 22 b 22 2 0，b 2a 2 1，解得? a 0，b 0， 则圆 C 的方程为 x2 y2 r2， 将点 P 的坐标代入得 r2 2，故圆 C 的方程为 x2 y2 2. (2)设 Q(x， y)，则 x2 y2 2， PQ MQ (x 1， y 1)( x 2， y 2) x2 y2 x y 4 x y 2. 令 x 2cos ， y 2sin ， 所以 PQ MQ x y 2 2(sin cos ) 2 2sin? ? 4 2， 又 ? ?sin? ? 4 min 1，所以 PQ MQ 的最小值为 4.
