湖南省永州市2020-2021学年高一下学期期末质量监测数学试卷（含答案）.rar

永州市 2021 年上期高一期末质量监测试卷数学第 1页（共 4 页）永州市 2021 年上期高一期末质量监测试卷数学命题人： 廖信亮（新田一中）刘广奇（祁阳一中）蒋勇华（永州一中）陈小平（永州四中）审题人： 席俊雄（永州市教科院）考生注意：1全卷满分 150 分，时量 120 分钟2考生务必将选择题和填空题的答案填入答卷相应的答题栏内一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数1 2zi= -的虚部是A1B2C2-D2i-2已知| 1,1aa b= = - ，则(2)aa b -=A3B1C2D03已知ABC的三边长分别为5,3,120ABBCABC=，则=ACA7B19C13D64某校共有男女学生共有 1500 人，采用分层抽样的方法抽取容量为 100 人的样本，样本中男生有 55 人，则该校女生人数是A825B800C750D6755 在ABC中，, ,a b c分别是角,A B C所对的边，2, sin2sin3cABC， 则ABC的面积为A3B2 3C2D46,m n是两条不同直线，,a b是两个不同的平面，则下列说法正确的是A若 m，n，则 mnB若 mn，n， 则 mC若,ma ab则 mD若,nnab则7现有一个底面半径为 4cm，高为 6cm的圆柱形铁块，将其磨制成一个球体零件，则该球体零件的最大体积是A3256cm3B336cmC3251cm3D340cm8 在ABC中，90BAC=，2, | | 1AD AB ACADAB =+=，与BC 方向相同的单位向量为e，则向量AB 在BC 上的投影向量为A12eB12e-C32eD32e-永州市 2021 年上期高一期末质量监测试卷数学第 2页（共 4 页）二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，完全选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分9 已知复数( 1)zi i （i 为虚数单位） ，对于复数z的以下描述，正确的有A| 2z B22ziCz的共轭复数为1iDz在复平面内对应的点在第三象限10抛掷一枚质地均匀的骰子两次，观察骰子两次出现的点数，下列说法正确的有A试验的样本空间中有 36 个基本事件B第一次投掷中，事件“出现偶数点”与事件“出现点数小于 3”是互斥事件C试验中两次骰子点数和为 7 的概率是16D试验中两次骰子点数之和最可能出现的是 811在ABC中，ABc ，BCa ，CAb ，下列命题为真命题的有A若| |ab，则sinsinABB若0a b ，则ABC为锐角三角形C若0a b ，则ABC为直角三角形D若() ()0bcabac，则ABC为直角三角形12如图，正方体1111ABCDABC D-的棱长为 1，点P是棱1CC上的一个动点（包含端点） ，则下列说法正确的是A存在点P，使DP面11AB DB二面角1PBBD-的平面角大小为60C1PBPD+的最小值是5DP到平面11AB D的距离最大值是33三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13已知圆锥的底面半径为 1，高为3，则该圆锥的侧面积是14高一某班举行党史知识竞赛，其中 12 名学生的成绩分别是：61、67、73、74、76、82、82、87、90、94、97、98，则该小组 12 名学生成绩的 75%分位数是15已知在ABC中，,6=ABAC BC，点H为ABC的垂心，则BH BC =16在三棱锥DABC-中，点O是棱 AC 上的点.2OCOA=，6,10,8ODOBOCBCDCDB=,则三棱锥DABC-的体积是永州市 2021 年上期高一期末质量监测试卷数学第 3页（共 4 页）四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤17 （本题满分 10 分）在平面直角坐标系中，已知向量(1,1),(2, 1)ab=-（1）求|3|-ab；（2）若2,=-=+mab ntab ，mn，求实数t的值18 （本题满分12分）社会的进步与发展，关键在于人才，引进高素质人才对社会的发展具有重大作用某市进行人才引进，需要进行笔试和面试，一共有200 名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在40,100内，将笔试成绩按照40,50),50,60),90,100分组，得到如图所示频率分布直方图（1）求频率分布直方图中a的值；（2）求全体应聘者笔试成绩的众数和平均数（每组数据以区间中点值为代表） ；（3）若计划面试 150 人，请估计参加面试的最低分数线19（本题满分 12 分） 如图， 在棱锥PABCD-中，E为PD的中点， 平面PAD平面ABCD，111,9022ABBCADAPBADABC （1）证明：CE平面PAB；（2）求异面直线CE与PA所成的角的大小永州市 2021 年上期高一期末质量监测试卷数学第 4页（共 4 页）20 （本题满分 12 分）某学校为举办庆祝建党 100 周年演讲比赛活动，需要 2 名同学担任主持人经过初选有甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学进入了最后的主持人选拔（1）若这 5 名同学通过选拔的可能性相同，求甲和乙都通过选拔的概率；（2）已知甲、乙、丙是男生，丁、戊是女生，要求主持人为一男一女，男生和女生分成两组分别选拔若每个男生通过选拔的可能性相同，每个女生通过选拔的可能性也相同，求男生甲和女生丁至少有一人通过选拔的概率21 （本题满分 12 分）如图，三棱柱111ABCABC中，侧面11BBCC为菱形，1ACAB（1）证明：1ABBC；（2）若1ACAB，160CBB，ABBC，求直线11AB与平面1ACB所成的角22.（本题满分 12 分）已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，且3sincosbcCCa+=+（1）求A；（2）若3a =，ABCD的外心为O，求|23|OAOBOC +的最小值永州市 2021 年上期高一期末质量监测试卷数学参考答案第 1页（共 5 页）永州市 2021 年上期高一期末质量监测试卷数学参考答案一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案CAADBDBB二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分题号9101112答案BDACACDAC三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13、2p14、9215、1816、12 11四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（本小题 8 分）解： （1）33(1,1)(2, 1)(1,4)-=-=ab，2 分所以22|3|1417.-=+=ab5 分（2）22(1,1)(2, 1)(0,3),(1,1)(2, 1)(2,1)mabntabttt=-=-=+=+-=+-，7 分因为mn，所以0 (2) 3(1)0m ntt= +-= ，解得1.t =10 分18.解：（1）由题意有(0.0050.0100.0300.015) 101aa2分解得0.020a 3 分（2）应聘者笔试成绩的众数为：70807525 分应聘者笔试成绩的平均数为：450.05550.1650.2750.3850.2950.1574.5.7 分（3）由直方图可知，90,100中有：2000.153080,90中有2000.2409 分70,80中有：200 0.36060,70中有2000.240.10 分设分数线定为x，则60,70 x(70)0.02200304060150 x.11 分解得65x . 12 分永州市 2021 年上期高一期末质量监测试卷数学参考答案第 2页（共 5 页）19.（本小题 12 分）解： （1）取PA的中点F，连接,EF FB因为E为PD的中点所以FEAD,12FEAD=2 分又1,90 .2BCADBADABC 所以BCAD所以，/ /BCFE，所以四边形BCEF为平行四边形 .4 分所以，CEBF又CE 平面PAB，BF 平面PAB所以，CE平面PAB6 分（2）由已知，BAAD,平面PAD 平面ABCD,平面PAD平面ABCDAD=所以，BA平面PAD，PA平面PAD所以，BAPA, 由（1） ，CEBF所以，异面直线CE与PA所成的角等于BF与PA所成的角9 分即AFB（或其补角）为异面直线CE与PA所成的角在BAFD中，1ABAF=，90BAF=，所以45AFB=所以，异面直线CE与PA所成的角是4512 分20.（本小题满分 12 分）解： （1）可知从 5 人中选出 2 人的样本空间为=W甲乙、甲丙、甲丁、甲戊、乙丙、 乙丁、乙戊、丙丁、丙戊、丁戊，共 10 个基本事件，3 分记事件=A“甲和乙都通过选拔”，则=A甲乙，4 分由古典概型公式知( )1( )()10n AP An=W.5 分（2）记=B“男生甲通过选拔”，=C“女生丁通过选拔”，=D“男生甲和女生丁至少有一人通过选拔”.易知 B、C 是相互独立事件，6 分又可知=BDCBCBC+，8 分由古典概型知11( ), ( )32P BP C=,9 分所以()= ()()()()P DP BCBCBCP BCP BCP BC+=+11211142.32323263=+=11 分即男生甲和女生丁至少有一人通过选拔的概率是23.12 分永州市 2021 年上期高一期末质量监测试卷数学参考答案第 3页（共 5 页）21.（本小题满分 12 分）解： （1）连结1BC，交1CB于点O,连结AO.因为四边形11CBBC为菱形，所以11BCCB,O是1CB的中点2 分又因为1ACAB=所以1AOCB3 分所以1CB面ABO，又AB 面ABO4 分所以1ABBC5分（2）因为AB11AB，所以直线11AB与面1ACB所成角等于直线AB与面1ACB所成角.6 分因为1ACAB，所以AOCO=， 7 分又因为BCAB ，BO为公共边所以BOCBOA，所以90COBAOB=，即AOBO，9 分所以BO 面1ACB,所以BAO是直线AB与面1ACB所成角. 10 分因为160CBB所以60BAOBCO=，所以直线AB与面1ACB所成角等于60所以直线11AB与面1ACB所成角等于60.12 分22.（本小题满分 12 分）解： （1）化为3 sincosbcaCaC+=+，由正弦定理得，sinsin3sinsinsincosBCACAC+=+，又sinsin()sincoscossinBACACAC=+=+，所以cossinsin3sinsinACCAC+=，2 分即1 cos3sinAA+=， 3 分亦即22cos2 3sincos222AAA=，4 分显然，cos02A，所以，3tan23A=，由于(0,)22Ap所以，263AApp=.5 分（2）由正弦定理，322sinsin60aRA=，则1OAOBOC =，6 分这说明，ABCD的三个顶点均在单位圆上， 且3,3BCAp=,23BOCp=， 固定BC,则动点A在优弧BC（不包括端点）上，记,OA OBOA OCab= ,如图永州市 2021 年上期高一期末质量监测试卷数学参考答案第 4页（共 5 页）当点A在CD（不包括点C）上时,23pab=+,此时2,0,33ppapb.当点A在DE上时,43pab+=,即43pab=-，此时,33ppapbp.以上两种情形，24cos()cos()cos33ppbba+=-=.2|23|1 4 9 1246OAOBOCOB OCOA OBOA OC+= + + ，7 分84cos6cosab=+284cos()6cos3pbb=+84cos2 3sinbb=+-2382 7(cossin)77bb=+-82 7cos()bj=+这里32sin,cos77jj=.9 分此时，当23cos,sin77bb= -=时，|23|OAOBOC+ 取得最小值为82 771-=-. 10 分当点A在EB（不包括点B）上时，23pab=-此时20,33ppabp2|23|1 4 9 1246OAOBOCOB OCOA OBOA OC+= + + 284cos6cos84cos()6cos84cos2 3sin3pabbbbb=+=+-+=+2382 7(cossin)82 7sin()77bbbq=+=+， 11 分若sin()1bq+= -，则23cos,sin77bb= -= -与2,3pbp矛盾，所以2|23|82 7OAOBOC+ - 综上，23OAOBOC+ 的最小值82 771-=-. 12 分解法二： （坐标化）由正弦定理，322sinsin60aRA=，则1OAOBOC =，6 分这说明，ABCD的三个顶点均在单位圆上，且23,33BCABOCpp=，永州市 2021 年上期高一期末质量监测试卷数学参考答案第 5页（共 5 页）固定BC,不妨设3131(,), (,)2222BC-,建系如图，动点A在优弧BC（不包括端点）上,设7(cos ,sin ),66Appaa a -，则3 3323(cos ,sin )(3, 1)(,)22OAOBOC aa+=+ -+-35(cos,sin)22aa=+-8 分所以22235|23|(cos)(sin)83cos5sin22OAOBOCaaaa+=+-=+- 3582 7(cossin)82 7cos()2 72 7aaaq=+-=+10 分这里，35cos,sin,(0,)22 72 7pqqq=显然3sinsin23pq=，则(,)3 2p pq，那么5(,)63ppaq+可见，当aqp+=时，即35cos,sin2 72 7aa= -=时23OAOBOC+ 取得最小值82 771-=-.12 分说明说明：若设3131(,), (,)2222CB-时，则3523(cos,sin)22OAOBOCaa+=- 2223523(cos)(sin)83cos5sin22OAOBOCaaaa+=-+-=- 5383cos5sin82 7(sincos)82 7sin()2 72 7aaaaaj=-=-+=-+此时， 当53sin,cos2 72 7aa=时，23OAOBOC+ 取得最小值82 771-=-建系不同，式子的表达式也不同，根据具体情况酌情给分