天津市和平区2020-2021学年高一下学期期末数学试卷(解析版).doc

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1、2020-2021学年天津市和平区高一(下)期末数学试卷一、选择题(共9小题,每小题4分,共36分).1设z,则z的虚部是()A1BiC1Di2已知向量(1,2),(x,3),若,则x()ABC6D63用m、n表示两条不同的直线,用、表示两个不同的平面,则下列命题正确的是()A若m,m,则B若m,n,则mnC若m,m,则D若mn,n,则m4给定一组数据:102,100,103,104,101,这组数据的第60百分位数是()A102B102.5C103D103.55若向量,满足(1,0),(1,),则在上的投影向量为()ABCD6在ABC中,若abcosC,则ABC是()A锐角三角形B钝角三角形

2、C直角三角形D等腰三角形7从分别写有“1,2,3,4,5”的5张卡片中,随机抽取一张不放回,再随机抽取一张,则抽得的两张卡片上的数字一个是奇数一个是偶数的概率是()ABCD8在正三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱长为,底面三角形的边长为1,则BC1与侧面ACC1A1所成角的正弦值为()ABCD9已知正方形ABCD的边长为2,E是BC的中点,F是线段AE上的点,则的最小值为()ABC1D1二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.10已知复数z(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则|z| 11某校现有高一学生210人,高二学生270人,高三学生300人,用分层抽样的方法从这三个年级的

3、学生中随机抽取n名学生进行问卷调查,如果已知从高一学生中抽取的人数为7,那么从高三学生中抽取的人数应为 12如图是某工厂对一批新产品长度(单位:mm)检测结果的频率分布直方图估计这批产品的中位数为 13设A、B、C为三个随机事件,其中A与B是互斥事件,B与C互为对立事件,P(A),P(C),则P(AB) 14已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为24,则这个球的体积为 15若点G是ABC的重心,点M、N分别在AB、AC上,且满足,其中x+y1若,则AMN与ABC的面积之比为 三、解答题:本大题共5小题,共6+83+1040分,要求写出文字说明,解答过程或演算步骤.16已知

4、|2,|3,向量与的夹角为(1)求|;(2)若2与m垂直,求实数m的值17ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足ccosA+acosCa(1)求的值;(2)若a1,求ABC的面积18如图,斜三棱柱ABCA1B1C1中,侧面AA1C1C是菱形,AC1与A1C交于点O,E是AB的中点求证:(1)OE平面BCC1B1;(2)若AC1A1B,求证:AC1BC19在一次猜灯谜活动中,共有20道灯谜,两名同学独立竞猜,甲同学猜对了15个,乙同学猜对了8个假设猜对每道灯谜都是等可能的,设事件A为“任选一灯谜,甲猜对”,事件B为“任选一灯谜,乙猜对”(1)任选一道灯谜,记事件C为“恰有一个人猜对

5、”,求事件C发生的概率;(2)任选一道灯谜,记事件D为“甲、乙至少有一个人猜对”,求事件D发生的概率20如图,在四棱锥PABCD中,平面ABCD平面PCD,四边形ABCD为矩形,PCPD,PCPDAD2,M为PA的中点(1)求异面直线AB与PD所成的角;(2)求证:平面ACP平面MCD;(3)求二面角CMDP的余弦值参考答案一、选择题(共9小题,每小题4分,共36分).1设z,则z的虚部是()A1BiC1Di解:z,z的虚部是1故选:A2已知向量(1,2),(x,3),若,则x()ABC6D6解:,32x0,解得故选:B3用m、n表示两条不同的直线,用、表示两个不同的平面,则下列命题正确的是(

6、)A若m,m,则B若m,n,则mnC若m,m,则D若mn,n,则m解:若m,m,则或与相交,故A错误;若m,n,则mn或m与n异面,故B错误;若m,则内存在直线nm,又m,n,而n,故C正确;若mn,n,则m或n或n与相交,相交也不一定垂直,故D错误故选:C4给定一组数据:102,100,103,104,101,这组数据的第60百分位数是()A102B102.5C103D103.5解:50.63,第60百分位数是第三与第四个数的平均数,即103.5故选:D5若向量,满足(1,0),(1,),则在上的投影向量为()ABCD解:由题意可得,在上的投影向量为|cos,(1,),|2,为单位向量,(1

7、,0),且与夹角为,|cos2故选:D6在ABC中,若abcosC,则ABC是()A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D等腰三角形解:由余弦定理得cosC,把cosC代入abcosC得:ab,2a2a2+b2c2,a2+c2b2,即三角形为直角三角形故选:C7从分别写有“1,2,3,4,5”的5张卡片中,随机抽取一张不放回,再随机抽取一张,则抽得的两张卡片上的数字一个是奇数一个是偶数的概率是()ABCD解:抽得的两张卡片上的数字一个是奇数一个是偶数的概率是故选:B8在正三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱长为,底面三角形的边长为1,则BC1与侧面ACC1A1所成角的正弦值为()ABCD解:如图,分

8、别取BC,B1C1的中点M,N由正三棱柱ABCA1B1C1易证,MN平面ABC连接MA,易知MA,BC,MN两两垂直以M为原点直线MA,MB,MN分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系Mxyz:由已知得:A(,0,0),C(0,0),C1(0,),B(0,0)所以(,0),(0,0,),(0,1,),设平面ACC1A1的法向量为(x,y,z),所以,即,令x1,则y,z0,故(1,0)设BC1与侧面ACC1A1所成角为,则sin|cos|故选:D9已知正方形ABCD的边长为2,E是BC的中点,F是线段AE上的点,则的最小值为()ABC1D1解:建立如图的坐标系,则A(0,0),B(2,0),E

9、(2,1),C(2,2),因为F是线段AE上的点;故可设F(2a,a);0a1;则(2a,a),(2a2,a2);2a(2a2)+a(a2)5a26a5(a)2;a时的取小值:故选:B二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.10已知复数z(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则|z|解:z(1+i)(1+2i)1+3i+2i21+3i,故答案为:11某校现有高一学生210人,高二学生270人,高三学生300人,用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查,如果已知从高一学生中抽取的人数为7,那么从高三学生中抽取的人数应为10解:设从高三学生中抽取的人数应为x,

10、根据分层抽样的定义和方法可得,解得 x10,故答案为1012如图是某工厂对一批新产品长度(单位:mm)检测结果的频率分布直方图估计这批产品的中位数为22.5解:由频率分布直方图,得:10,20)的频率为(0.02+0.04)50.3,20,25)的频率为0.0850.4,估计这批产品的中位数为:20+522.5故答案为:22.513设A、B、C为三个随机事件,其中A与B是互斥事件,B与C互为对立事件,P(A),P(C),则P(AB)解:A、B、C为三个随机事件,其中A与B是互斥事件,B与C互为对立事件,P(A),P(C),P(B)1P(C)1,P(AB)P(A)+P(B)故答案为:14已知一个

11、正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为24,则这个球的体积为 解:由几何体的空间结构特征可知,正方体的体对角线为球的直径,设正方体的棱长为a,则 6a224,a2,设球的半径为R,则:(2R)222+22+2212,则,其体积:故答案为:15若点G是ABC的重心,点M、N分别在AB、AC上,且满足,其中x+y1若,则AMN与ABC的面积之比为 解:设BC的中点为D,则+,又,即,+,x,又x+y1,y,即,故答案为:三、解答题:本大题共5小题,共6+8×3+1040分,要求写出文字说明,解答过程或演算步骤.16已知|2,|3,向量与的夹角为(1)求|;(2)若2与m垂直

12、,求实数m的值解:(1)|2,|3,向量与的夹角为,|;(2)由2与m垂直,得(2)(m)0,2m+4+(8+m)08m+36+(8+m)23()0解得:m17ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足ccosA+acosCa(1)求的值;(2)若a1,求ABC的面积解:(1)由正弦定理,ccosA+acosCa可化为:sinCcosA+cosCsinAsinA,也就是sin(A+C)sinA由三角形内角和定理得sin(A+C)sin(B)sinB即sinBsinA 由正弦定理可得ba,故(2)由a1可知b1而,由余弦定理可知又0C,于是18如图,斜三棱柱ABCA1B1C1中,侧面A

13、A1C1C是菱形,AC1与A1C交于点O,E是AB的中点求证:(1)OE平面BCC1B1;(2)若AC1A1B,求证:AC1BC【解答】证明:(1)连结BC1侧面AA1C1C是菱形,AC1与A1C交于点OO为AC1的中点E是AB的中点OEBC1;OE平面BCC1B1,BC1平面BCC1B1OE平面BCC1B1(2)侧面AA1C1C是菱形AC1A1CAC1A1B,A1CA1BA1,A1C平面A1BC,A1B平面A1BCAC1平面A1BCBC平面A1BCAC1BC19在一次猜灯谜活动中,共有20道灯谜,两名同学独立竞猜,甲同学猜对了15个,乙同学猜对了8个假设猜对每道灯谜都是等可能的,设事件A为“

14、任选一灯谜,甲猜对”,事件B为“任选一灯谜,乙猜对”(1)任选一道灯谜,记事件C为“恰有一个人猜对”,求事件C发生的概率;(2)任选一道灯谜,记事件D为“甲、乙至少有一个人猜对”,求事件D发生的概率解:(1)设事件A为“任选一灯谜,甲猜对”,事件B为“任选一灯谜,乙猜对”则P(A),P(B),任选一道灯谜,记事件C为“恰有一个人猜对”,则事件C发生的概率P(C)P(A)+P()(2)任选一道灯谜,记事件D为“甲、乙至少有一个人猜对”,甲、乙至少有一个人猜对的对立事件是“甲、乙均没有猜对”,则事件D发生的概率P(D)11P(A)1P(B)1(1)(1)20如图,在四棱锥PABCD中,平面ABCD

15、平面PCD,四边形ABCD为矩形,PCPD,PCPDAD2,M为PA的中点(1)求异面直线AB与PD所成的角;(2)求证:平面ACP平面MCD;(3)求二面角CMDP的余弦值【解答】(1)解:因为四边形ABCD为矩形,所以ABCD,则PDC即为异面直线AB与PD所成的角,在PCD中,PCPD,PCPD2,所以PDC45,故异面直线AB与PD所成的角为45;(2)证明:平面ABCD平面PCDCD,ADCD,AD平面ABCD,所以AD平面PCD,又PC平面PCD,所以ADPC,又PCPD,PDADD,则PC平面PAD,MD平面PAD,所以PCMD,因为PDAD2,M为AP的中点,所以MDAP,因为PCAPA,PC,AP平面PAC,则MD平面APC,又MD平面PAC,故平面ACP平面MCD;(3)解:由(2)可知,MCMD,PMMD,则CMP为二面角CMDP的平面角,因为PC2,MP,则,所以cosCMP,故二面角CMDP的余弦值为

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