1、2020-2021学年天津市和平区高一（下）期末数学试卷一、选择题（共9小题，每小题4分，共36分）.1设z，则z的虚部是（）A1BiC1Di2已知向量（1，2），（x，3），若，则x（）ABC6D63用m、n表示两条不同的直线，用、表示两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A若m，m，则B若m，n，则mnC若m，m，则D若mn，n，则m4给定一组数据：102，100，103，104，101，这组数据的第60百分位数是（）A102B102.5C103D103.55若向量，满足（1，0），（1，），则在上的投影向量为（）ABCD6在ABC中，若abcosC，则ABC是（）A锐角三角形B钝角三角形
2、C直角三角形D等腰三角形7从分别写有“1，2，3，4，5”的5张卡片中，随机抽取一张不放回，再随机抽取一张，则抽得的两张卡片上的数字一个是奇数一个是偶数的概率是（）ABCD8在正三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成角的正弦值为（）ABCD9已知正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，F是线段AE上的点，则的最小值为（）ABC1D1二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.10已知复数z（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则|z| 11某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的
3、学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为 12如图是某工厂对一批新产品长度（单位：mm）检测结果的频率分布直方图估计这批产品的中位数为 13设A、B、C为三个随机事件，其中A与B是互斥事件，B与C互为对立事件，P（A），P（C），则P（AB） 14已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为24，则这个球的体积为 15若点G是ABC的重心，点M、N分别在AB、AC上，且满足，其中x+y1若，则AMN与ABC的面积之比为 三、解答题：本大题共5小题，共6+83+1040分，要求写出文字说明，解答过程或演算步骤.16已知
4、|2，|3，向量与的夹角为（1）求|；（2）若2与m垂直，求实数m的值17ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足ccosA+acosCa（1）求的值；（2）若a1，求ABC的面积18如图，斜三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，E是AB的中点求证：（1）OE平面BCC1B1；（2）若AC1A1B，求证：AC1BC19在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了15个，乙同学猜对了8个假设猜对每道灯谜都是等可能的，设事件A为“任选一灯谜，甲猜对”，事件B为“任选一灯谜，乙猜对”（1）任选一道灯谜，记事件C为“恰有一个人猜对
5、”，求事件C发生的概率；（2）任选一道灯谜，记事件D为“甲、乙至少有一个人猜对”，求事件D发生的概率20如图，在四棱锥PABCD中，平面ABCD平面PCD，四边形ABCD为矩形，PCPD，PCPDAD2，M为PA的中点（1）求异面直线AB与PD所成的角；（2）求证：平面ACP平面MCD；（3）求二面角CMDP的余弦值参考答案一、选择题（共9小题，每小题4分，共36分）.1设z，则z的虚部是（）A1BiC1Di解：z，z的虚部是1故选：A2已知向量（1，2），（x，3），若，则x（）ABC6D6解：，32x0，解得故选：B3用m、n表示两条不同的直线，用、表示两个不同的平面，则下列命题正确的是（
6、）A若m，m，则B若m，n，则mnC若m，m，则D若mn，n，则m解：若m，m，则或与相交，故A错误；若m，n，则mn或m与n异面，故B错误；若m，则内存在直线nm，又m，n，而n，故C正确；若mn，n，则m或n或n与相交，相交也不一定垂直，故D错误故选：C4给定一组数据：102，100，103，104，101，这组数据的第60百分位数是（）A102B102.5C103D103.5解：50.63，第60百分位数是第三与第四个数的平均数，即103.5故选：D5若向量，满足（1，0），（1，），则在上的投影向量为（）ABCD解：由题意可得，在上的投影向量为|cos，（1，），|2，为单位向量，（1
7、，0），且与夹角为，|cos2故选：D6在ABC中，若abcosC，则ABC是（）A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D等腰三角形解：由余弦定理得cosC，把cosC代入abcosC得：ab，2a2a2+b2c2，a2+c2b2，即三角形为直角三角形故选：C7从分别写有“1，2，3，4，5”的5张卡片中，随机抽取一张不放回，再随机抽取一张，则抽得的两张卡片上的数字一个是奇数一个是偶数的概率是（）ABCD解：抽得的两张卡片上的数字一个是奇数一个是偶数的概率是故选：B8在正三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成角的正弦值为（）ABCD解：如图，分
8、别取BC，B1C1的中点M，N由正三棱柱ABCA1B1C1易证，MN平面ABC连接MA，易知MA，BC，MN两两垂直以M为原点直线MA，MB，MN分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Mxyz：由已知得：A（，0，0），C（0，0），C1（0，），B（0，0）所以（，0），（0，0，），（0，1，），设平面ACC1A1的法向量为（x，y，z），所以，即，令x1，则y，z0，故（1，0）设BC1与侧面ACC1A1所成角为，则sin|cos|故选：D9已知正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，F是线段AE上的点，则的最小值为（）ABC1D1解：建立如图的坐标系，则A（0，0），B（2，0），E
9、（2，1），C（2，2），因为F是线段AE上的点；故可设F（2a，a）；0a1；则（2a，a），（2a2，a2）；2a（2a2）+a（a2）5a26a5（a）2；a时的取小值：故选：B二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.10已知复数z（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则|z|解：z（1+i）（1+2i）1+3i+2i21+3i，故答案为：11某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为10解：设从高三学生中抽取的人数应为x，
10、根据分层抽样的定义和方法可得，解得 x10，故答案为1012如图是某工厂对一批新产品长度（单位：mm）检测结果的频率分布直方图估计这批产品的中位数为22.5解：由频率分布直方图，得：10，20）的频率为（0.02+0.04）50.3，20，25）的频率为0.0850.4，估计这批产品的中位数为：20+522.5故答案为：22.513设A、B、C为三个随机事件，其中A与B是互斥事件，B与C互为对立事件，P（A），P（C），则P（AB）解：A、B、C为三个随机事件，其中A与B是互斥事件，B与C互为对立事件，P（A），P（C），P（B）1P（C）1，P（AB）P（A）+P（B）故答案为：14已知一个
11、正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为24，则这个球的体积为 解：由几何体的空间结构特征可知，正方体的体对角线为球的直径，设正方体的棱长为a，则 6a224，a2，设球的半径为R，则：（2R）222+22+2212，则，其体积：故答案为：15若点G是ABC的重心，点M、N分别在AB、AC上，且满足，其中x+y1若，则AMN与ABC的面积之比为 解：设BC的中点为D，则+，又，即，+，x，又x+y1，y，即，故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共6+8×3+1040分，要求写出文字说明，解答过程或演算步骤.16已知|2，|3，向量与的夹角为（1）求|；（2）若2与m垂直
12、，求实数m的值解：（1）|2，|3，向量与的夹角为，|；（2）由2与m垂直，得（2）（m）0，2m+4+（8+m）08m+36+（8+m）23（）0解得：m17ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足ccosA+acosCa（1）求的值；（2）若a1，求ABC的面积解：（1）由正弦定理，ccosA+acosCa可化为：sinCcosA+cosCsinAsinA，也就是sin（A+C）sinA由三角形内角和定理得sin（A+C）sin（B）sinB即sinBsinA 由正弦定理可得ba，故（2）由a1可知b1而，由余弦定理可知又0C，于是18如图，斜三棱柱ABCA1B1C1中，侧面A
13、A1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，E是AB的中点求证：（1）OE平面BCC1B1；（2）若AC1A1B，求证：AC1BC【解答】证明：（1）连结BC1侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点OO为AC1的中点E是AB的中点OEBC1；OE平面BCC1B1，BC1平面BCC1B1OE平面BCC1B1（2）侧面AA1C1C是菱形AC1A1CAC1A1B，A1CA1BA1，A1C平面A1BC，A1B平面A1BCAC1平面A1BCBC平面A1BCAC1BC19在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了15个，乙同学猜对了8个假设猜对每道灯谜都是等可能的，设事件A为“
14、任选一灯谜，甲猜对”，事件B为“任选一灯谜，乙猜对”（1）任选一道灯谜，记事件C为“恰有一个人猜对”，求事件C发生的概率；（2）任选一道灯谜，记事件D为“甲、乙至少有一个人猜对”，求事件D发生的概率解：（1）设事件A为“任选一灯谜，甲猜对”，事件B为“任选一灯谜，乙猜对”则P（A），P（B），任选一道灯谜，记事件C为“恰有一个人猜对”，则事件C发生的概率P（C）P（A）+P（）（2）任选一道灯谜，记事件D为“甲、乙至少有一个人猜对”，甲、乙至少有一个人猜对的对立事件是“甲、乙均没有猜对”，则事件D发生的概率P（D）11P（A）1P（B）1（1）（1）20如图，在四棱锥PABCD中，平面ABCD
15、平面PCD，四边形ABCD为矩形，PCPD，PCPDAD2，M为PA的中点（1）求异面直线AB与PD所成的角；（2）求证：平面ACP平面MCD；（3）求二面角CMDP的余弦值【解答】（1）解：因为四边形ABCD为矩形，所以ABCD，则PDC即为异面直线AB与PD所成的角，在PCD中，PCPD，PCPD2，所以PDC45，故异面直线AB与PD所成的角为45；（2）证明：平面ABCD平面PCDCD，ADCD，AD平面ABCD，所以AD平面PCD，又PC平面PCD，所以ADPC，又PCPD，PDADD，则PC平面PAD，MD平面PAD，所以PCMD，因为PDAD2，M为AP的中点，所以MDAP，因为PCAPA，PC，AP平面PAC，则MD平面APC，又MD平面PAC，故平面ACP平面MCD；（3）解：由（2）可知，MCMD，PMMD，则CMP为二面角CMDP的平面角，因为PC2，MP，则，所以cosCMP，故二面角CMDP的余弦值为
