1、2019-2020学年北京市朝阳区高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1cos（）ABCD2已知复数z2i，则z的共轭复数等于（）A0B2iC2iD43已知ABC中，AB2，BC3，AC，则cosB（）ABCD4下列正确的命题的序号是（）平行于同一条直线的两条直线平行；平行于同一条直线的两个平面平行；垂直于同一个平面的两条直线平行；垂直于同一个平面的两个平面垂直ABCD5如图，在正方形ABCD中，E是AB边的中点，设，则（）A+BC+D6如图记录了某校高一年级6月第一周星期一至星期五参加乒乓球训练的学生人数通过图中的数据计算这五天参加乒乓球训练的学生的平均数和中位数后，教练发现图
2、中星期五的数据有误，实际有21人参加训练则实际的平均数和中位数与由图中数据星期得到的平均数和中位数相比，下列描述正确的是（）A平均数增加1，中位数没有变化B平均数增加1，中位数有变化C平均数增加5，中位数没有变化D平均数增加5，中位数有变化7如图，在边长为1的菱形ABCD中，DAB60，则|（）ABC1D8如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，PA1，则侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的大小是（）A30B45C60D909已知平面向量，满足|2，|1，则“与+2互相垂直”是“”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要
3、条件10连接空间几何体上的某两点的直线，如果把该几何体绕此直线旋转角（0360），使该几何体与自身重合，那么称这条直线为该几何体的旋转轴如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一平面内则这个八面体的旋转轴共有（）A7条B9条C13条D14条二、填空题（共6小题）.11复数zi（1+i）所对应的点在第 象限12如图，设O是边长为1的正六边形ABCDER的中心，写出图中与向量相等的向量 （写出两个即可）13已知在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为（0，0），（1，0），（2，1），若，则点D的坐标为 14某班数学兴趣小组组织了线上“统计”全章知识的学习心得交流：
4、甲同学说：“在频率分布直方图中，各小长方形的面积的总和小于1”；乙同学说：“简单随机抽样因为抽样的随机性，可能会岀现比较极端的样本，相对而言，分层随机抽样的样本平均数波动幅度更均匀”；丙同学说：“扇形图主要用于直观描述各类数据占总数的比例”；丁同学说：“标准差越大，数据的离散程度越小”以上四人中，观点正确的同学是 15如图，在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，终边分别是射线OA和射线OB，且射线OA和射线OB关于x轴对称，射线OA与单位圆的交点为A（，），则sin ，cos（）的值是 16某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样大的四面体得到的（如图）则该几何
5、体共有 个面；如果被截正方体的棱长是50cm，那么石凳的表面积是 cm2三、解答题：本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17（16分）某单位工会有500位会员，利用“健步行APP”开展全员参与的“健步走奖励”活动假设通过简单随机抽样，获得了50位会员5月10日的走步数据如下：（单位：万步）1.1 1.4 1.3 1.6 0.3 1.6 0.9 1.4 1.4 0.91.4 1.2 1.5 1.6 0.9 1.2 1.2 0.5 0.8 1.01.4 0.6 1.0 1.1 0.6 0.8 0.9 0.8 1.1 0.40.8 1.4 1.6 1.2 1.0 0.6
6、 1.5 1.6 0.90.71.3 1.1 0.8 1.0 1.2 0.6 0.5 0.2 0.8 1.4频率分布表：分组频数频率0.2，0.4）20.040.4，0.6）a0.060.6，0.8）50.100.8，1.0）110.221.0，1.2）80.161.2，1.4）70.141.4，1.6bc合计501.00（）写出a，b，c的值；（）（i）绘制频率分布直方图；（）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计该单位所有会员当日步数的平均值；（）根据以上50个样本数据，估计这组数据的第70百分位数你认为如果定1.3万步为健步走获奖标准，一定能保证该单位至少30%的工会会员
7、当日走步获得奖励吗？说明理由18（16分）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，B，a3（）若A，求b；（）若_，求c的值及ABC的面积请从b，sinC2sinA，这两个条件中任选一个，将问题（）补充完整，并作答注意，只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择两种情况作答，以第一种情况的解答计分19（18分）已知函数f（x）2sinxcosx+2cos2x（）求f（0）的值；（）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（）将函数yf（x）的图象向右平移个单位，得到函数yg（x）的图象，若函数yg（x）在0，m上有且仅有两个零点，求m的取值范围20（20分）如图1，设正方形ABCD边长为1
8、，M，N分别为AB，BC的中点，沿DM，MN，ND把图形折成一个四面体，使A，B，C三点重合于点P，如图2（）求证：MN平面PDE；（）设F为DE的中点，在图2中作出过点F与平面PMN平行的平面，并说明理由；（）求点P到平面DMN的距离参考答案一、选择题（共10小题）.1cos（）ABCD解：coscos（）cos故选：A2已知复数z2i，则z的共轭复数等于（）A0B2iC2iD4解：因为复数z2i，则z的共轭复数2i；故选：C3已知ABC中，AB2，BC3，AC，则cosB（）ABCD解：由余弦定理可得，cosB故选：C4下列正确的命题的序号是（）平行于同一条直线的两条直线平行；平行于同一条
9、直线的两个平面平行；垂直于同一个平面的两条直线平行；垂直于同一个平面的两个平面垂直ABCD解：由公理4可得平行于同一条直线的两条直线平行，故正确；平行于同一条直线的两个平面平行或相交，故错误；由线面垂直的性质定理可得，垂直于同一个平面的两条直线平行，故正确；垂直于同一个平面的两个平面可能相交或平行，比如正方体的相对的两个底面就与侧面垂直，但它们平行，故错误故选：D5如图，在正方形ABCD中，E是AB边的中点，设，则（）A+BC+D解：因为在正方形ABCD中，E是AB边的中点，设，则+；故选：A6如图记录了某校高一年级6月第一周星期一至星期五参加乒乓球训练的学生人数通过图中的数据计算这五天参加乒
10、乓球训练的学生的平均数和中位数后，教练发现图中星期五的数据有误，实际有21人参加训练则实际的平均数和中位数与由图中数据星期得到的平均数和中位数相比，下列描述正确的是（）A平均数增加1，中位数没有变化B平均数增加1，中位数有变化C平均数增加5，中位数没有变化D平均数增加5，中位数有变化解：实际星期五的数据为21人，比原来星期五的数据多了21165人，平均数应增加1原来从星期一至星期五的数据分别为20，26，16，22，16按从小到大的顺序排列后，原来的中位数是20，实际从星期一至星期五的数据分别为20，26，16，22，21按从小到大的顺序排列后，实际的中位数是21故选：B7如图，在边长为1的菱
11、形ABCD中，DAB60，则|（）ABC1D解：根据题意，故选：D8如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，PA1，则侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的大小是（）A30B45C60D90解：PA底面ABCD，CD平面ABCD，CDPA，又底面ABCD是正方形，CDAD，而PAADA，CD平面PAD，得CDPD，可知PDA为侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的平面角在RtPAD中，由PAAD1，可得PDA45即侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的大小是45故选：B9已知平面向量，满足|2，|1，则“与+2互相垂直”是“”的（）A充分而不必要条件B必要
12、而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解：“与+2互相垂直，（）（+2）0，|22|2+0，2，故“与+2互相垂直”是“”的既不充分也不必要条件故选：D10连接空间几何体上的某两点的直线，如果把该几何体绕此直线旋转角（0360），使该几何体与自身重合，那么称这条直线为该几何体的旋转轴如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一平面内则这个八面体的旋转轴共有（）A7条B9条C13条D14条解：由对称性结合题意可知，过EF、AC、BD的直线为旋转轴，此时旋转角最小为90；过正方形ABCD，AECF，BEDF对边中点的直线为旋转轴，共6条，此时旋转角最小为180；过
13、八面体相对面中心的连线为旋转轴，共4条，此时旋转角最小为120综上，这个八面体的旋转轴共有13条故选：C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上11复数zi（1+i）所对应的点在第二象限解：zi（1+i）1+i，复数zi（1+i）所对应的点的坐标为（1，1），在第二象限故答案为：二12如图，设O是边长为1的正六边形ABCDER的中心，写出图中与向量相等的向量，（写出两个即可）解：由题可得：与相等的向量是：，；故答案为：，13已知在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为（0，0），（1，0），（2，1），若，则点D的坐标为（1，1）解：设D（x，y）；则（x，y
14、）；（1，1）；因为，故；即D（1，1）；故答案为：（1，1）14某班数学兴趣小组组织了线上“统计”全章知识的学习心得交流：甲同学说：“在频率分布直方图中，各小长方形的面积的总和小于1”；乙同学说：“简单随机抽样因为抽样的随机性，可能会岀现比较极端的样本，相对而言，分层随机抽样的样本平均数波动幅度更均匀”；丙同学说：“扇形图主要用于直观描述各类数据占总数的比例”；丁同学说：“标准差越大，数据的离散程度越小”以上四人中，观点正确的同学是乙丙解：在频率分布直方图中，各小长方形的面积的总和等于1，故甲的观点错误；“简单随机抽样因为抽样的随机性，可能会岀现比较极端的样本，相对而言，分层随机抽样的样本平
15、均数波动幅度更均匀”；故乙的观点正确，“扇形图主要用于直观描述各类数据占总数的比例”，故丙的观点正确；“标准差越大，数据的离散程度越大”，故丁的观点错误故答案为：乙丙15如图，在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，终边分别是射线OA和射线OB，且射线OA和射线OB关于x轴对称，射线OA与单位圆的交点为A（，），则sin，cos（）的值是解：由题意，射线OA与单位圆的交点为A（，），射线OA和射线OB关于x轴对称，射线OB与单位圆的交点为B（，），由三角函数的定义可知，cos，sin，sin，cos，可得：cos（）coscos+sinsin（）（）+（）故答案为：，16某广场设置了一
16、些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样大的四面体得到的（如图）则该几何体共有14个面；如果被截正方体的棱长是50cm，那么石凳的表面积是7500+2500cm2解：由题意知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，8个底面三角形，再加上6个小正方形，所以该几何体共有14个面；如果被截正方体的棱长是50cm，那么石凳的表面积是S表面积82525sin60+62525（7500+2500）（cm2）故答案为：14，7500+2500三、解答题：本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17（16分）某单位工会有500位会员，利用“健步行APP”开展全员参与的“健步走奖励
17、”活动假设通过简单随机抽样，获得了50位会员5月10日的走步数据如下：（单位：万步）1.1 1.4 1.3 1.6 0.3 1.6 0.9 1.4 1.4 0.91.4 1.2 1.5 1.6 0.9 1.2 1.2 0.5 0.8 1.01.4 0.6 1.0 1.1 0.6 0.8 0.9 0.8 1.1 0.40.8 1.4 1.6 1.2 1.0 0.6 1.5 1.6 0.90.71.3 1.1 0.8 1.0 1.2 0.6 0.5 0.2 0.8 1.4频率分布表：分组频数频率0.2，0.4）20.040.4，0.6）a0.060.6，0.8）50.100.8，1.0）110.2
18、21.0，1.2）80.161.2，1.4）70.141.4，1.6bc合计501.00（）写出a，b，c的值；（）（i）绘制频率分布直方图；（）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计该单位所有会员当日步数的平均值；（）根据以上50个样本数据，估计这组数据的第70百分位数你认为如果定1.3万步为健步走获奖标准，一定能保证该单位至少30%的工会会员当日走步获得奖励吗？说明理由解：（）因为0.04+0.06+0.10+0.22+0.16+0.14+c1，c+0.721，c0.28，因为共50 人，b0.285014，a0.06503，a3，b14，c0.28（）（i）频率分布直方图
19、如下图所示（ii）设平均值为，则有0.012+0.03+0.08+0.198+0.176+0.182+0.421.088，则该单位所有会员当日步数的平均值为1.088万步（）70%5035，70%分位数为第35和36个数的平均数，1.4，1.6共有14人，且1.3有2个， 第35和第36个数均为1.3，70% 分位数为1.3，设x为会员步数，则x1.3万时，人数不少于30%， 能保证30%的工会会员获得奖励18（16分）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，B，a3（）若A，求b；（）若_，求c的值及ABC的面积请从b，sinC2sinA，这两个条件中任选一个，将问题（）补充完整，并
20、作答注意，只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择两种情况作答，以第一种情况的解答计分解：（）由B，a3，A，由正弦定理可得，则b，（）若选由余弦定理可得b2c2+a22accosB，即13c2+923c，整理可得c23c40，解得c4，c1（舍去），SABCacsinB343；若选sinC2sinA，可得c2a，c6SABCacsinB6319（18分）已知函数f（x）2sinxcosx+2cos2x（）求f（0）的值；（）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（）将函数yf（x）的图象向右平移个单位，得到函数yg（x）的图象，若函数yg（x）在0，m上有且仅有两个零点，求m的取值范围解：（
21、）函数f（x）2sinxcosx+2cos2xsin2x+cos2x+1sin（2x+）+1，f（x）sin（2x+）+1，故f（0）sin+12（）由函数的解析式为f（x）sin（2x+）+1可得，它的最小正周期为令2k2x+2k+，求得kxk+，可得它的单调递增区间为k，k+，kZ（）将函数yf（x）的图象向右平移个单位，得到函数yg（x）sin（2x+）+1sin2x+1的图象，若函数yg（x）在0，m上有且仅有两个零点，则在0，m上有且仅有两个实数，满足 sin2x+10，即 sin2x在0，m上，2x0，2m，2m，求得m20（20分）如图1，设正方形ABCD边长为1，M，N分别为A
22、B，BC的中点，沿DM，MN，ND把图形折成一个四面体，使A，B，C三点重合于点P，如图2（）求证：MN平面PDE；（）设F为DE的中点，在图2中作出过点F与平面PMN平行的平面，并说明理由；（）求点P到平面DMN的距离【解答】（）证明：如图，在正方形ABCD中，连接AC，则BDAC，M，N分别为AB，BC的中点，MNAC，BDMN，折叠后，有PEMN，DEMN，又PEDEE，可得MN平面PDE；（）解：在平面DMN内，过F作GHMN，使得GHDMG，GHDNH，F为DE的中点，G，H分别为DM，DN的中点，取DP的中点K，连接GK，HK，可得GKPM，由GHMN，GH平面PMN，MN平面PMN，可得GH平面PMN，同理可得，GK平面PMN，又GHHKH，GH平面GHK，GK平面GHK，平面GHK平面PMN，即平面GHK为所作平面；（）解：由已知可得，DPPM，DPPN，又PMPNP，DP平面PMN，且DP等于正方形的边长为1，PMPN，PMN为等腰直角三角形，再由已知求得DMDN，MN，设点P到平面DMN的距离为h，由VDPMNVPDMN，可得，解得h即点P到平面DMN的距离为
