1、LOGO第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲主讲教师：雷主讲教师：雷 钧钧Email: 构件构件 Component, Structural member杆杆(bar)： 承受轴向拉、压力承受轴向拉、压力轴轴(shaft)： 承受扭矩承受扭矩梁梁(beam)：承受横向力：承受横向力l7.1 7.1 平面弯曲的概念平面弯曲的概念常见受弯构件的横截面都有竖直对称轴 yyyyy纵向对称面：纵向对称面： 轴线轴线x 和竖直对称和竖直对称轴轴y 所确定的平面。所确定的平面。yxyx7.1 7.1 平面弯曲的概念平面弯曲的概念y 竖直对称轴竖直对称轴（受力方向）（受力方向）纵向对称面纵向对称面PqmFAFB受
2、力特点：受力特点： 外力（包括力偶）位于纵向对称面内。外力（包括力偶）位于纵向对称面内。变形特点：变形特点： 梁的轴线在纵向对称面内弯成一条平面曲线。梁的轴线在纵向对称面内弯成一条平面曲线。AxB轴线轴线7.1 7.1 平面弯曲的概念平面弯曲的概念分析梁的内力、变形都是在计算简图上进行的。简化包括三方面：1、构件几何形状的简化、构件几何形状的简化将梁简化为直杆，用轴线表示。将梁简化为直杆，用轴线表示。3、载荷的简化、载荷的简化2、支座的简化、支座的简化固定铰支座固定铰支座活动铰支座活动铰支座固定端固定端集中载荷集中载荷分布载荷分布载荷集中力偶集中力偶梁的简化以及静定梁的分类梁的简化以及静定梁的
3、分类 简支梁简支梁 Simply supported beamABP2P1YAYBXA梁的种类梁的种类悬臂梁悬臂梁 Cantilever beamABP1P2MAYAXAP1P2外伸梁外伸梁 Beam with an overhang (overhangs) ABCYAYBXA7.2 基本方法画内力图基本方法画内力图表示剪力与弯矩沿梁轴变化的曲线称为表示剪力与弯矩沿梁轴变化的曲线称为。习惯上称为习惯上称为 沿梁轴线建立沿梁轴线建立 x 轴轴 ，用，用 x 表示横截面的位置，则各横截表示横截面的位置，则各横截面上的剪力、弯矩可以表示为坐标的函数：面上的剪力、弯矩可以表示为坐标的函数：梁横截面上的
4、剪力、弯矩随着截面的位置而变化。梁横截面上的剪力、弯矩随着截面的位置而变化。 QQFFxMM x l 图示简支梁图示简支梁AB的的C点处作用一集中力点处作用一集中力P，作该梁的，作该梁的FQ、M 图。图。例例7-1abPCAB1)1)求约束力求约束力2)2)列剪力、弯矩方程列剪力、弯矩方程3)3)作作FQ、M 图图AC段：段：CB段：段：AbF =PlQAbF ( x )FPlBaF =PlAbM(x)= F x =PxlQBaF ( x )FPl BaM(x)= F (l - x)=P(l - x)l( 0 x a )( a x l )( a x l )( 0 x a)解：解：FAFBPlb
5、PlaQmaxaFP(ab)lPlabM maxPlabFQxMxPlMlba412max 建立坐标轴建立坐标轴 x1)求约束力求约束力2)列剪力、弯矩方程列剪力、弯矩方程AC段：段：CB段：段：3)作作FQ、 M 图图xABmF = F =lQAmF ( x )FlAmM(x)= F x =xlQAmF ( x )FlBmM(x)=F (l - x)=(l - x)l-( 0 x a)( 0 x a)( a x l)( a x l)例例7-2 简支梁简支梁AB的作用一集中力偶的作用一集中力偶m，作该梁的，作该梁的FQ、M 图。图。CabmABlFBFA解：解：FQxMxlmalmblmQma
6、xmFl )(maxbaalmM 建立坐标轴建立坐标轴 x1)1)求约束力求约束力由对称性知：由对称性知：2)2)列剪力、弯矩方程列剪力、弯矩方程3)3)作作FQ、M 图图AB1F = F =ql2221)(xqxxqlxM 12QF ( x )qlqx22121qxqlx ( 0 x l )( 0 x l )xFQxMx12QmaxFql 2max81qlM 281qlql21解：解：ql2128122221qlllqlqlM 极极值值 图示简支梁受均布载荷图示简支梁受均布载荷q 的作用，作该梁的的作用，作该梁的FQ、M 图。图。BqAl例例7-3FAFB建立坐标轴建立坐标轴 x从梁的左端向
7、右端分析，在集中力的作用点，从梁的左端向右端分析，在集中力的作用点，剪力剪力图有突变，图有突变，突变量等于集中力的大小；弯矩值不变。遇突变量等于集中力的大小；弯矩值不变。遇P, ,FQ 图图；遇遇 P, ,FQ 图图。（力偶）（力偶）（弯矩图）（弯矩图）（力偶矩）（力偶矩）（剪力）（剪力）遇遇 m ，M 图图遇遇m，M 图图总结总结FQ、 M 图的特征和规律图的特征和规律载荷集度载荷集度 、剪力、弯矩的微分关系、剪力、弯矩的微分关系)(xqP0Mx为什么后两个梁微元用为什么后两个梁微元用 M1，Q1，而不用而不用dM，dQ？Pdx1QQQ1MM M0Mdx1MM MQ1QQdxdQQQ)(xq
8、MdMM 0dQQqdxQ02QdxdMMdx)qdx(MqdxdQQdxdMqdxdQdxMd22ql指明弯矩图凹凸方向指明弯矩图凹凸方向ql(+)剪力图剪力图斜率为斜率为q221ql(+)弯矩图弯矩图斜率为斜率为0斜率最大斜率最大q为正，弯矩图凹口向上为正，弯矩图凹口向上dxdQQ Q)(xqMdMM 01QQPQ010QdxMMMM021Qdx)MM(dxPMPQ 1dxQQdxPM)(211001M , dx01QQQ01QQdxMM01010MM,dx在力偶作用点，弯矩突变！剪力不变在力偶作用点，弯矩突变！剪力不变在集中力作用点，剪力突变！弯矩不变在集中力作用点，剪力突变！弯矩不变0
9、Mdx1MM MQ1QQPdx1QQQ1MM M根据根据载荷集度、剪力和弯矩之间的微分关系载荷集度、剪力和弯矩之间的微分关系7.2 简便方法画内力图简便方法画内力图规定规定: 1、 梁轴线左端为坐标原点，梁轴线左端为坐标原点， x 轴向右。轴向右。 2、 q 向上为正。向上为正。QdFqdx QdMFdx qdxMd 221、剪力图在某截面处切线的斜率等于梁上对应、剪力图在某截面处切线的斜率等于梁上对应 截面处的截面处的载荷集度。载荷集度。2、弯矩图在某截面处切线的斜率等于梁上对应截面处的剪力。、弯矩图在某截面处切线的斜率等于梁上对应截面处的剪力。3、弯矩图开口方向（凹向）与、弯矩图开口方向（
10、凹向）与 q 指向一致。指向一致。1 控制截面的概念控制截面的概念 外力规律发生变化的截面外力规律发生变化的截面 集中力、集中力偶作用的集中力、集中力偶作用的横截面，分布荷载起点和终点处的横截面。横截面，分布荷载起点和终点处的横截面。2 绘制绘制FQ,M 图的方法图的方法（1）与梁对齐平行画出代表梁的线段；）与梁对齐平行画出代表梁的线段；（2）确定控制截面的）确定控制截面的FQ ,M 值；值；（3）利用微分关系，画出控制截面之间的）利用微分关系，画出控制截面之间的FQ , M 图形。图形。7.2 用简便方法直接画用简便方法直接画FQ、M图图1、q=0段，段， FQ 图水平；图水平； M 图斜直
11、线。图斜直线。2、q=常数常数 0段段， FQ 图下斜直线；图下斜直线；M 图抛物线，开口向下。图抛物线，开口向下。FQ=0 的截面，的截面， M 有极值。有极值。FQxMxm=3.6kNmq=10kN/mP=3kN0.6m1.2mABCDE0.6m1.8kNm5kN0.5mRA=10kNRB=5kN3kN7kNkNmM25. 125. 05 . 0105 . 05 右右侧侧极极值值2.4kNm1.25kNm1.2kNm5kN集中力与力偶作用的实际情况及相关内力图集中力与力偶作用的实际情况及相关内力图例题例题FBAB简支梁FAqaaCDxD作剪力图和弯矩图作剪力图和弯矩图STEP 1：求反力求
12、反力01202ABAFFqaFaqaa1434ABFqaFqaSTEP 2：分段求值分段求值截面截面FQMA右右CB左左241qaqa4300qa41qa41STEP 3：作剪力图和弯矩图作剪力图和弯矩图AC段：段：QF0dqdxCB段：段：QFdqdx qaqaaxD43水平线水平线下斜直线下斜直线Aqa41C（+）BDqa43xD（-）截面截面FQA右右CB左左qa41qa41qa43axD43AC段：段：14QdMFqadxCB段：段：qdxMd22二次曲线二次曲线在在D处，处，M取极值取极值QdMFdx上斜直线上斜直线ACBD2329qa241qaaxD43（+）Aqa41CBDqa43xD（+）（-）截面截面MA右右CB左左241qa00上凸曲线上凸曲线0QdMFdx 作业：P166-167 71(a)，(c) 72(a)，(f)
