1、第五部分第五部分 常用建模方法常用建模方法5.1 分类与聚类方法分类与聚类方法5.2 综合评价方法综合评价方法5.3 预测方法简介预测方法简介5.4 满意度数学建模概述满意度数学建模概述第第1414讲讲 常用建模方法介绍常用建模方法介绍 5.3 预测方法简介预测方法简介统计预测方法 时间序列预测方法 灰色预测模型 灰色预测的分类及预测方法 微分方程预测方法 预测就是根据过去和现在的信息预测未来。 一、统计预测方法一、统计预测方法1。统计预测需要满足两个原则：连贯性原则连贯性原则：是指事物的发展是按一定规律进行的，在其发展过程中，这种规律贯彻始终，不应受到破坏，它的未来发展与其过去和现在的发展没
2、有什么根本的不同；类推原则类推原则：是指事物必须有某种结构，其升降起伏变动不是杂乱无章的，而是有章可循的。事物变动的这种结构性可用数学方法加以模拟，根据所测定的模型，类比现在，预测未来。2。统计预测的步骤：由于回归预测方法已在“线性回归”章节做过介绍，故本节重点介绍趋势外推法、时间序列平滑预测方法。 （一）趋势外推法（一）趋势外推法 当预测对象依时间变化呈现某种上升或下降趋势，没有明显的周期波动，且能找到一个合适的函数曲线反映这种变化趋势时，就可以用趋势外推法进行预测。 趋势外推法的两个假定： a。假设事物发展过程没有跳跃式变化。 b。假定事物的发展因素也决定事物未来的发展，其条件是不变或变化
3、不大。 趋势外推法可细分为“多项式曲线趋势外推法多项式曲线趋势外推法”、“指指数曲线趋势外推法数曲线趋势外推法”、“生长曲线趋势外推法生长曲线趋势外推法”等。 1. 多项式曲线趋势外推法多项式曲线趋势外推法 多项式曲线趋势外推法即是利用多项式曲线逼近事务的现有数据，并以此预测事务的将来发展情况，逼近函数为：nnttbtbtbby2210n 1为线性趋势外推；n 2为二次多项式趋势外推；为二次多项式趋势外推；n 3为三次多项式趋势外推。22201201211(,)()()nntttttQ b b byyybbtb t最小值myyy21,设有一组统计数据令 ，得 4231202322102210t
4、btbtbyttbtbtbtytbtbnby解这个三元一次方程组即可得到0 1 2()b bb参数的值。 2. 指数曲线趋势外推法指数曲线趋势外推法 指数曲线的预测模型为： 0)( aaeybtt对上式两边取对数得： lnlntyabtln,lnttYy AatYAbt令，则有就把指数曲线模型转化为直线模型了。这样，修正的指数曲线预测模型为： 0)c0,1( abeayctt例例1 下表是我国1952年到1983年社会商品零售总额（按当年价格计算），分析预测我国社会商品零售总额。表 1952年到1983年社会商品零售总额年份年份时序总额年份年份时序总额年份年份时序总额（t）（ yt ）（t）（
5、 yt ）（t）（ yt ）195219521276.81963196312604.5197419742311641953195323481964196413638.219751975241271195419543381.11965196514670.319761976251339195519554392.21966196615732.8197719772614331956195654611967196716770.519781978271559195719576474.21968196817737.3197919792818001958195875481969196918801.519801
6、980292140195919598638197019701985819811981302350196019609696.91971197120929.2198219823125701961196110607.71972197221102319831983322849196219621160419731973221107（1）对数据画折线图分析，以社会商品零售总额为y轴，年份为x轴。（2) 从图形可以看出大致的曲线增长模式，较符合的模型有二次曲线或指数曲线模型。（3）用进行二次曲线拟合，得到估计模型为：2577.2444.333.29tyttlnln303.690.0627tyt0.06273
7、03.69ttye（4）同样可以用指数曲线趋势外推法进行预测。对（3.4）式利用最小二乘法可得即 3. 生长曲线趋势外推法生长曲线趋势外推法 生长曲线趋势外推法有若干种模型，这里我们只介绍“龚珀兹曲线模型”和“皮尔曲线模型”。龚珀兹曲线预测模型龚珀兹曲线预测模型为： tbtyka对应于不同的log a与b的不同取值范围而具有间断点。皮尔曲线预测模型皮尔曲线预测模型为 1tbtLyae(二二) 趋势模型的选择趋势模型的选择图形识别法图形识别法：这种方法是通过绘制散点图来进行的，即将时间序列的数据绘制成以时间t为横轴，时序观察值为纵轴的图形，观察并将其变化曲线与各类函数曲线模型的图形进行比较，以便
8、选择较为合适的模型。差分法差分法：利用差分法把数据修匀，使非平稳序列达到平稳序列。 1tttyyy1122ttttttyyyyyy一阶向后差分可表示为：二阶向后差分可表示为：表 差分法识别标准差分特性使用模型一阶差分相等或大致相等一次线性模型二阶差分相等或大致相等二次线性模型三阶差分相等或大致相等三次线性模型一阶差分比率相等或大致相等指数曲线模型一阶差分的一阶比率相等或大致相等修正指数曲线模型（三）曲线的拟合优度分析 实际的预测对象往往无法通过图形直观确认某种模型，而是与几种模型接近。这时，一般先初选几个模型，待对模型的拟合优度分析后再确定究竟用哪一种模型。 评判拟合优度的好坏一般使用标准误差
9、标准误差来作为优度好坏的指标：2()yySEn 如例1，采用二次多项式曲线外推的标准误差为151.7，而采用指数曲线外推的标准误差为175.37，故二次曲线模型拟合的效果更好。二、时间序列预测方法二、时间序列预测方法a、时间序列的概念 某一变量或指标的数值或观测值，按其出现时间的先后次序，且间隔时间相同而排列的一列数nxxxx,321，称为时间序列。 b、时间序列的特征时间序列可划分为四种变化特征： （1）趋势性趋势性。某个变量由于受到某些因素持续同性质（或同向）的影响，其时间序列表现为持续的上升或下降的总变化趋势，其间变动幅度可能有时不等。 因而，这种总变动趋势可能是线性的，也可能是非线性的
10、。如我国国民收入的时间序列，具有上升趋势性。 （2）季节性季节性。时间序列以一年为周期随着自然季节的推移而呈现变化，在各年的一定季节出现高峰值，而在另外一定季节出现低谷植；但是各个高峰值与低谷值不一定相等。（3）周期性周期性。上述季节性变动是一种典型的周期性特征，它是以一年为周期发生周期性变化；此外，周期性还可能是以数年、月、日或数十年、月、日为周期而呈现变化。（4）不规则性不规则性。不规则性变动可分为突然性和随机性变动。突然性变动是由于目前难以预料的作用因素而引起的，其规律性或其概率性目前尚难以认识和推测。而随机性变动，即为概率性变动，是可以利用概率统计方法寻求概率分布规律或随机模型，来进行
11、描述的变动。或者说，一个时间序列的未来值，若能用一个经过历史数据验证的概率分布加以推测，则称它为随机性时间序列。 任何一个时间序列，可能同时具有以上几个特征，也可能是上述特征中某几个特征的组合。（一）移动平均法（一）移动平均法 对时间序列未来值的预测，只能顾及到它的长期趋势性和周期性，对不规则的扰动应该消除。因此，最简单的预测方法是将时间序列各数据予以算术平均或几何平均，作为未来时点的预测值。这个方法太过粗糙。在某种情况下，有时可采用加权算术平均法，但对各数值的权数的合理确定，比较困难，往往带主观性。上述平均法的实质是数据的过份修匀。为了消除时间序列的扰动，修匀是必要的，因此提出了移动平均法或
12、滑动平均法。 1。移动平均法的基本公式。移动平均法的基本公式 移动平均方法是收集一组观察值，计算这组观察值的均值，利用这一均值作为下一期的预测值。在移动平均值的计算中包括的过去观察值的实际个数，必须一开始就明确规定。每出现一个新观察值，就要从移动平均中减去一个最早观察值，再加上一个最新观察值，计算移动平均值，这一新的移动平均值就作为下一期的预测值。ttM则在第 时点的移动平均值 为ixiN设 为时间序列中时点 的观测值，其样本数为；n每次移动地求算术平均值所采用的观测值个数为；itntintttttxnxxxxnM11211)(1tMt式中 第时点的移动平均值，也可当作第1t1ty 时点的预测
13、值 ，即ttMy11ttMy，或由（1）式可导出：)(1)(1121nttntnttttxxnxxxxnM即得 )(11nttttxxnMM(1)由上式可见，在计算各时点的移动平均值过程中，若已算得1tMtM，则用（2）式较易于迭代计算出 两种极端的情况，在移动平均值的计算中包括的过去观察值的实际个数N=1，这时利用最新的观察值作为下一期的预测值；N=n，这时利用全部n个观察值的算术平均值作为预测值。当数据的随机因素较大时，宜选用较大的N，这样有利于较大限度地平滑由随机性所带来的严重偏差；反之，当数据的随机因素较小时，宜选用较小的N，这有利于跟踪数据的变化，并且预测值滞后的期数也少。2。均方差
14、（。均方差（MSE）检验）检验 Nn 1ntM极端情况是， 时只得一个平均值， 时n平均求出的预测值才较合理，可以采用MSE检验。方法是按下式计算不同 值时均方差MSE：txn数列与原 数列相同。为了判断用哪一个值做移动211)()(1MSEttNntnMxnN从移动平均法的上述计算过程可知，其实质是对时间序列加以修匀，以消除不规则变动和随机扰动；若感到一tMtM次移动平均所得数列还不够修匀，可以对n（ 取值相同）数列再进行一次移动平均，即二次移动平均，这样或许更能显示时列的长期趋势性。但是，为了预测时间序列的长期趋势性，二次移动平均法又不如下面介绍的二次指数平滑法。因此，一次移动平一次移动平
15、均法的适用条件是时间序列比较平稳，用于作最近期均法的适用条件是时间序列比较平稳，用于作最近期的短期预测的短期预测。 对时间序列进行一次 、二次移动平均，具有线性趋势的时间序列，其线性趋势预测模型为：TbayttTtttba ,式中T自t时点起向前预测的时点数；待定系数； ttttttMMMMMa 2)().(12tttMMnb nMMtt, 分别表示一次、二次平均移动值和每次移动个数（二）指数平滑法（二）指数平滑法 指数平滑法也是对时间序列进行修匀，不过其特点是注重近期数据，认为时列中近期数据对未来值的影响比远期数据的这种影响更大。因此，指数平滑法将对指数平滑法将对时列中的各个数据进行加权处理
16、，愈近的数据，其权数时列中的各个数据进行加权处理，愈近的数据，其权数应愈大应愈大。 指数平滑法分为一次、二次、三次。1. 一次指数平滑法一次指数平滑法(1)一次指数平滑数列的构成一次指数平滑数列的构成txxxx,321设时间序列为，仿照移动平均法，将tMtS换为，得ntttntntntttttntttttxnSxnxnxxxxxnxnxxxxnS111)(11)(111321121假设时间序列是较平稳的，或者忽略误差，可令 nttxS1(即均值=某个数据)，则上式可写成 ,11111111ttttttSnxnSnSxnS最终获得构造一次指数平滑数列的递推公式为：ana,1a令介于1与0之间，称
17、为平滑系数。1)1 (tttSaaxS10 xS 最简便且常用的方法是，令。tS0S式中迭代计算时的初始值的确定，即即: (t+1)时刻的预测值时刻的预测值=t时刻值时刻值+(t)时刻预测值的修正（见时刻预测值的修正（见p30）将上式式递推展开可得(2)平滑系数a讨论011221221211)1 ()1 ()1 ()1 ()1 ()1 ()1 ()1 ()1 (SaxaaxaaxaaaxSaaxaaxSaaxaaxSaaxStttttttttttttttxtx式递减，即的权数不断减小，最新近值的权数为10 aitaa)1 ( 因，则随幂次增加，将按指数形a，最大， 1tx)1 (aa的权数为，
18、较小； ； 愈远古的数据，其权数愈小。所有权数之和为1，即1)1 ()1 (11tntnaaa这样的“加权修匀”能够体现，新近的数据对未来（预测）值的影响较大，愈远古的数据，这种影响将愈小。当0a 时，将出现021SSSSttttx各时点的观测值不能施加影响，平滑后数列为一常数0S，即经受了严重修匀。 0S0S这表明定出之值以后，各个时点的平滑值皆等，1attxS 当时，得，ttStx任何修匀。即可认为时点的即为，也即为1t时点的预测值。tS它表明，平滑后数列就是原来的时间序列，没有经受当a值取得较大时，修匀程度将较小，平滑后的数列值 tS能够比较快地反映出原时间序列的实际变化，因此适宜于变化
19、较大的、或趋势性较强的时间序列。 当a值取得较小时，修匀程度将较大，适宜于变化较小的、或接近平稳的时间序列，使各数据的权数比较接近。（3）预测及检验从以上讨论可见，一次指数平滑法最适宜用于较平稳的时间序列，作短期的预测，即可令第t时点的 tS值作为第 t+1时点的预测值 1tyttSy1，即由于指数平滑系数a值的选取，可以多方案，一般采用原则上合理的多个a值试算的办法，分别计算其均方差MSE，如上节所述；或者分别计算其平均绝对误差MAD，以MSE 或MAD最小者为最好的a值。至于此种预测有效与否， 则预测有效。2te 则可用 检验其误差值数列是否具有随机性；若是，te各时点平滑预测值y与实际值
20、x的误差值为：tttttyxSxe1平均绝对误差MAD为 NtteN1|1MAD2. 二次指数平滑法二次指数平滑法二次指数平滑法是以相同的平滑系数a ，对一次指数tS 指数平滑数列。tS平滑数列再进行一次指数平滑，构成时间序列的二次(1)二次指数平滑数列的构成初始值 100 xSS ，则,)1 (1tttSaaxS1)1 ( tttSaSaS更能将其不规则或周期变动加以清除，长期趋势性更能显示可见，二次指数平滑数列 tS 对原时间序列经过两次修匀，出来。如同一次指数平滑法一样，合理的a值的确定，亦应选取原则上较合理的多个a值分别计算，构成不同a值的数列tStS 和，则根据均方差MSE最小原则确
21、定一个较合理的a值。(2)线性趋势预测模型 对时间序列进行一次 、二次指数平滑，有利于更加显示数列的长期趋势，因而二次指数平滑法较适用于具有线性趋势的时间序列，其线性趋势预测模型为：TbayttTtttba ,式中T自t时点起向前预测的时点数；待定系数； ttttttSSSSSa 2)().(1tttSSaab 预测模型有效性检验方法，与上述一次指数平滑法预测有效性检验原理相同。 逐时点算出预测值ty ，则各时点的误差为tttyxetete对 数列进行自相关检验，如前所述，若数列为随机性，则预测模型有效。3. 布朗二次多项式（三次）指数平滑法布朗二次多项式（三次）指数平滑法当时间序列呈现非线性
22、趋势时，可用三次指数平滑法。(1)三次指数平滑数列的构成设时间序列为txxx,21；同样令1000 xSSS 且取同一个平滑系数a ，则按下式逐步计算；111)1 ()1 ()1 ( tttttttttSaSaSSaSaSSaaxS同样可按预测均方差MSE或MAD最小原则选定一个a值。(2)二次抛物线型预测模型tStS tS 以选定的较好的一个a值的计算结果 、 和数列为准，对时间序列末期t的数据按下式计算模型系数：ttttSSSa 33)34()810()56()1 (22ttttSaSaSaaab )2()1 (222ttttSSSaac 则预测模型为： 2TcTbaytttTt式中T自t
23、时点起向前预测的时点期数。预测数学模型的有效性检测的方法同上，即先计算预测偏差tekr 数列及其自相关系数 ，再按Nrk96. 1|检验，或进行2检验。4. 温特线性和季节性指数平滑法温特线性和季节性指数平滑法 温特线性和季节性指数平滑法利用三个方程式，其中每一个方程式都用于平滑模型的三个组成部分（平稳的、趋势的和季节性的），且都含有一个有关的参数。 温特法的基础方程式：111ttttt LxSSbI01 111ttttbSSb011ttt LtxIIS01其中，L为季节的长度；I为季节修正系数。t mttt L mFSbm I m为预测超前期数。 使用此方法时一个重要问题是如何确定、和的值，
24、以使均方差达到最小。通常确定、和的最佳方法是反复试验法。三、灰色预测模型三、灰色预测模型 白色系统白色系统如果一个系统中具有充足的信息量，其发如果一个系统中具有充足的信息量，其发展变化的规律明显、定量描述方便、结构与参数具体；展变化的规律明显、定量描述方便、结构与参数具体；黑色系统黑色系统如果一个系统的内部特性全部是未知的；如果一个系统的内部特性全部是未知的；灰色系统灰色系统(Grey System)介于白色系统和黑色系统介于白色系统和黑色系统之间，即系统内部信息和特性是部分已知的，另一部分是之间，即系统内部信息和特性是部分已知的，另一部分是未知的未知的.区别白色系统与灰色系统的重要标志是系统
25、内各因素之间是否具有确定的关系； 灰色系统分析方法主要是根据具体灰色系统的行为特征数据，充分利用数量不多的数据和信息寻求相关因素自身与各因素之间的数学关系，即建立相应的数学模型。(一一)、灰色生成数列、灰色生成数列 对灰数的处理主要是利用数据处理方法去寻求数据间的内在规律，通过对已知数据列中的数据进行处理而产生新的数据列，以此来研究寻找数据的规律性，这种方法称为数据的生成。 数据的生成方式有多种，常用的方法有累加生成、累减生成和加权累加生成等。), 2 , 1()()(1)0()1(nkixkxki1. 累加生成设原始数列为)(,),2(),1 ()0()0()0()0(nxxxx，令)()1
26、(kx)0(x则称为数列的- 次累加生成，数列)(,),2(),1 ()1()1()1()1(nxxxx)0(x称为数列的- 次累加生成数列。类似地有) 1, 2 , 1()()(1)1()(rnkixkxkirr)(,),2(),1 ()()()()(nxxxxrrrr)0(x称之为的r- 次累加生成。记)0(x，称之为的r- 次累加生成数列。2. 累减生成) 1()(,),2(),1 ()()()()(rnxxxxrrrrnkkxkxxrrr, 3 , 2) 1()()()()1(如果数据列为一般地，对于r次累加生成数列则称)(rx为数列的r-次累减生成。，令nkkxkxkx, 3 , 2
27、),1()()()1()1()0(则称为数列的1- 次累减生成。)()0(kx)1(x)(,),2(),1 ()1()1()1()1(nxxxx3. 均值生成)(,),(),1(,),2(),1 ()0()0()0()0()0()0(nxkxkxxxx设原始数列) 1()0(kx)() 0(kx)0(x则称与为数列的邻值，) 1()0(kx)()0(kx为后邻值，为前邻值.) 1()1 ()()()0()0()0(kxkxkz 1 , 0对于常数，则称的邻值生成数（或生成值）。)0(x为由数列的邻值在生成系数（权）下) 1(5 . 0)(5 . 0)()0()0()0(kxkxkz) 1()1
28、 () 1()()0()0()0(kxkxkz) 1(5 . 0) 1(5 . 0)()0()0()0(kxkxkz)(,),2(),1 ()0()0()0()0(nzzzz5 . 0特别地，当生成系数时，则称为邻均值生成数，即等权邻值生成数。类似地，可以定义非邻值生成数和而数列称为均值生成数列。(二)、GM（1，1）模型 灰色模型是利用离散随机数经过生成变为随机性被显著削弱而且较有规律的生成数，建立起的微分方程形式的模型，这样便于对其变化过程进行研究和描述。 灰色预测模型称为GM模型，G为grey的第一个字母，M为model的第一个字母。 GM（1，1）表示一阶的，一个变量的微分方程型预测模
29、型。GM（1，1）是一阶单序列的线性动态模型，主要用于时间序列预测。1. GM（1，1）建模）建模 )0(xn设有数列共有个观察值)(,2),1 ()0(0)0(nxxx）（）（)0(x)1(x对作累加生成，得到新的数列，其元素nimxixim, 2 , 1)()(1)0()1(有： )2() 1 ()2() 1 ()2() 1 () 1 ()0()1()0()0()1()0()1(xxxxxxx)() 1()() 3()2() 3()2() 1 () 3()0()1()1()0()1()0()0()0()1(nxnxnxxxxxxx对数列)1(x，可建立预测模型的白化形式方程， uaxdtd
30、x)1()1(式中：ua,为待估计参数。分别称为发展灰数和内生控制灰数。设a 为待估计参数向量，则uaa 按最小二乘法求解，有：nyBBBaTT1)(式中： 1)() 1(211)3()2(211)2() 1 (21)1()1()1()1()1()1(nxnxxxxxBTnnxxx)(,),3(),2()0()0()0(y预测模型为：a GM将代入 ，并解微分方程，有uaa （1，1）2. 模型检验模型检验 灰色预测模型检验有残差检验、关联度检验和后验差检验。（1）残差检验 残差检验分二种，一是绝对误差，二是相对误差。检验步骤如下：第一步计算)()1(ix按所建预测模型计算有：5 , 4 ,
31、3 , 2 , 1 , 0) 1()1(iix)() 1() 1() 1 () 1()1()1()0()0()1(ixixixaueauxixia列模型计算值。计算公式为：)1( x)()0(ix第二步对累减还原计算。即原始数) 1 () 1 (), 3 , 2 , 1() 1()()()1()0()1()1()0(xxniixixix第三步计算绝对误差和相对误差。), 2 , 1(%100)(/ )()(:), 2 , 1()()()(:)0()0()0()0()0()0(niixiiniixixi相对误差绝对误差（2）关联度检验)0(x)0( x第一步计算原始数列的模型计算值。)0(x)0
32、( x第二步计算与的绝对误差), 2 , 1(| )()(|)(0)0(niixixi）（)()0(ix)()0(ix代入、数据得：| )()(|)()0()0(ixixi第三步计算最小差与最大差)(Mini最小差为：最大差为：)(Miax 第四步计算关联系数)(i), 2 , 1()(Max)()(Max)(Min)(niiiiii)(i式中：第i个数据的关联系数； 取定的最大差百分比，一般取0.5，第五步计算关联度niin1)(11)0(x)0( x式中：数列对的关联度。n样本个数。(3)后验差检验后验差检验过程如下：a. 计算原始数列的均值)0(xniixnx1)0()0()(1)0(x
33、0Sb. 计算原始数列的均方差1200nSS根据经验，当根据经验，当=0.5时，关联度大于时，关联度大于0.6便满意了。便满意了。式中：nixixS12)0()0(20)()0()0(c. 计算残差的均值niin1)0()0()(11Sd. 求残差的均方差1211nSS式中：niiS12)0()0(21)(01SSc ce. 计算方差比f. 计算小误差概率p6745. 0|)(|0)0()0(Sipg. 检验根据经验，一般精度等级的划分如下表。通过以上检验，如果相关误差、关联度、小误差概率型进行预测，否则应进行残差修正。pc和方差比都在允许范围之内时，则可用所建模表 预测精度等级划分p值c值预
34、测精度等级0.950.800.700.65勉强合格0.700.65不 合 格3. 预测预测GM(1,1)模型经以上检验合格后可用于预测，其预测公式为：) 1( )()()1()0(ixixix)()0(ix式中： i时期预测值。)()1(ix) 1( ix，生成数列预测值，按 计算。 ) 1()1(ix对于数列预测，要建立多个预测模型，得到多组预测值，然后进行分析，从中确定出一个合适的预测模型，以取定一组合适的预测值。 对于一组数列，要建立多个预测模型，是通过对原始数列进行不同的取舍，形成新的数列，即对数列中的数据用不同的组合方式和取舍方式派生出新的数列，对原始数列和派生出来的新数据都建立预测
35、模型，这样就对一个数列建立了多个预测模型。)8(,),3(),2(),1 ()0()0(0)0()0(xxxxx）（例如有下述原始数列：)0(x对中的数据可用如下取舍：)5(),4(),3(),2(),1 ()0()0()0()0()0()0(1xxxxxx)6(),5(),4(),3(),2()0()0()0()0()0()0(2xxxxxx)7(),6(),5(),4(),3()0()0()0()0()0()0(3xxxxxx)8(),7(),6(),5(),4()0()0()0()0()0()0(4xxxxxx，这样就形成了四个新数列：)0(4)0(3)0(2)0(1,xxxx再加上原始
36、数列，就可建立五个GM（1，1）模型。(三三) 、GM（1，1）残差模型）残差模型则可以用GM（1，1）残差模型进行修正。同时，也可以用GM（1，1）残差模型来提高原GM（1，1）模型的精度。如果按原始数列)0(x建立的GM（1，1）模型检验不合格，aueauxixai) 1 (1)0(1）（）（)(,),2(),1 ()1()1()1()1(nxxxx)0(x如有原始数列，并已建立GM（1，1）模型)1(x)1( x由该GM（1，1）模型可得生成数列的模拟值)1(x)1( x)0(记生成数列与其模拟值之差为，则有)()()()1()1()0(jxjxjj)0(x式中：开始进行残差修正的原始数
37、列的数据序号；nttj, 1,如果取，则残差数列为)0()( jj第个生成数据与其模拟值的偏差。)(,),1(),()0()0()0()0(ntt则有t 112ttnn为了表示方便，取、，)(,),2(),1 ()0()0()0()0(n其生成数列)1(为。)(,),2(),1 ()1()1()1()1(n其中： njjjj,3 ,2)() 1()()0()1()1()1 ()2(对）（1建立GM（1，1）模型有： aueaujja)1 () 1()0()1(对上式求导数得jaeauaj)1 ()() 1()0()0(GM（1，1）模型相加，)0(x将 与原始数列) 1()1(j)0(x的残差
38、修正GM（1，1）模型。则得jaiaeauatiaueauxix)1 ()() 1 () 1()0()0()1(titiiti0)(ti式中：为修正参数。四、灰色预测的分类及预测方法四、灰色预测的分类及预测方法灰色预测分为五类：灰色预测分为五类：数列预测：对系统行为特征指标观测值所形成的序列的灰色预测称数列预测。如国民生产总值预测等。灾变预测：对超出某一界限的异常值出现时间的预测称灾变预测。季节灾变预测：对系统行为特征指标异常值，出现在一年中某一特定时区的灰色预测称为季节灾变预测，实际上是一种特定时区的灾变预测。系统综合预测：是对系统行为特征指标建立一组相互关联的灰色预测模型，在预测系统整体变化的同时，预测系统各个环节变化的方法，属于对系统的综合研究，因之称为系统综合预测。拓扑预测：是对一段时间内系统行为特征指标数据波形的预测。拓扑预测与数列预测的区别是，前者预测的是变化波形的近似值，并不是波形本身，而后者是预测波形本身。（略）（略）五、微分方程预测方法 （略）（见论文）（见论文）
