1、1牛顿法牛顿法牛顿法的局部收敛性牛顿法的局部收敛性牛顿法的大范围收敛性牛顿法的大范围收敛性简化牛顿法和牛顿下山法简化牛顿法和牛顿下山法不用导数求根不用导数求根非线性方程组非线性方程组电子工程应用电子工程应用第三章第三章 非线性方程求根非线性方程求根2牛顿法的几何意义：牛顿法的几何意义：000()()()0f xfxxxx0y = f(x)x1x2x*0100()()f xxxfx1()()kkkkf xxxfx 000( )()()()f xf xfxxx解方程解方程 f (x) = 0( )( )( )f xxxfx 33.3.2 牛顿法的局部收敛性牛顿法的局部收敛性1(),(0,1,2,)
2、()kkkkf xxxkfx 2( )( )( )( )f x fxxfx 22( )( )( )( )( )( )( )fxfxxfxf xfxfx (1) 当当 x*是方程的单根时，可得是方程的单根时，可得( *)0 x ( *)( *)0( *)fxxfx ( *)0,( *)0f xfx二阶局部收敛二阶局部收敛4*12*()1()lim2!2()kkkexfxefx (2) 当当x*是方程的是方程的m 重根时，可得重根时，可得3.3.2 牛顿法的局部收敛性牛顿法的局部收敛性 mf xxxg x*( ) ( )( )( )f xxxfx *0g x *0gx *1*mmmxxg xxm
3、xxg xxxgx *xxg xxmg xxxgx *()xx (2)m 001 )(,)(.)( )(*)(*)(*xfxfxfxfmm5*()xx *( )()()limxxxxxxx *11lim()1kkkexme 一阶局部收敛一阶局部收敛3.3.2 牛顿法的局部收敛性牛顿法的局部收敛性111m *limxxxxg xxxmg xxxgxxx *lim 1xxg xmg xxxgx63.3.2 牛顿法的局部收敛性牛顿法的局部收敛性牛顿法求牛顿法求重根重根只是只是线性收敛线性收敛则则 若用此迭代格式求解，具有若用此迭代格式求解，具有 2阶阶 收敛速度收敛速度（但需要知道根的重数但需要知道
4、根的重数m）)( )()(xfxfmxx 若取迭代函数为若取迭代函数为0 )( *x 7牛顿法牛顿法牛顿法的局部收敛性牛顿法的局部收敛性牛顿法的大范围收敛性牛顿法的大范围收敛性简化牛顿法和牛顿下山法简化牛顿法和牛顿下山法不用导数求根不用导数求根非线性方程组非线性方程组电子工程应用电子工程应用第三章第三章 非线性方程求根非线性方程求根83.3.3 牛顿法的大范围收敛性牛顿法的大范围收敛性定理定理 3.7 设设 f (x) 在在区间区间a,b 上存在二阶连续导数，上存在二阶连续导数，且满足条件：且满足条件： 1) f (a) f (b) 0; 2) x a, b 时，时， f (x) 0； 3)
5、当当 x a, b 时，时， 保号；保号； ( )fx则区间则区间a,b 上上存在唯一根。存在唯一根。对任意初值对任意初值 x0a,b ，由牛顿迭代公式产生的序由牛顿迭代公式产生的序列列 xk 二阶收敛二阶收敛.4). 0)()(,000 xfxfbax且且设设9条件条件1）保证方程在）保证方程在a,b 区间上存在根。区间上存在根。条件条件2）保证方程在）保证方程在a,b 区间上存在唯一根。区间上存在唯一根。条件条件3）则保证曲线的凹凸性不变，即不存在拐点。）则保证曲线的凹凸性不变，即不存在拐点。1(),(0,1,2,)()kkkkf xxxkfx ; 0)(, 0)(, 0)(, 0)()1
6、( xfxfbfaf;)(,)(,)(,)()(00002 xfxfbfaf;)(,)(,)(,)()(00003 xfxfbfaf.)(,)(,)(,)()(00004 xfxfbfaf3.3.3 牛顿法的大范围收敛性牛顿法的大范围收敛性增凸增凸减凸减凸增凹增凹减凹减凹条件条件4）保证了）保证了 a,b10ab0 x1x00 )()(xfxf*xab0 x1x00 )()(xfxf*xab0 x1x( )0( )0fxfx *xab0 x1x00 )()(xfxf*x0()0f x 0()0f x 0()0f x 0()0f x 11证明：设第一种情形证明：设第一种情形; 0)(, 0)(,
7、 0)(, 0)()1( xfxfbfaf3.3.3 牛顿法的大范围收敛性牛顿法的大范围收敛性由于由于f(x)在区间在区间a,b上单调增加，且由条件上单调增加，且由条件(4) 知，知， f(x0) 0)的迭代公式，并的迭代公式，并分析算法的收敛性，计算分析算法的收敛性，计算115。解：解：xc x2 c = 0令令 f (x) = x2 c , 则则xxf2)( 牛顿迭代法求解牛顿迭代法求解 x2 c = 0 的计算格式的计算格式212kkkkxcxxx 112kkkcxxx 分析该迭代格式的收敛性。分析该迭代格式的收敛性。3.3.3 牛顿法的大范围收敛性牛顿法的大范围收敛性14条件条件1）
8、f (0+) 0, 满足；满足；条件条件2） x (0, +) 时，时， f (x) 0 ,满足满足；条件条件3） x (0, +) 时，时， f(x)= 2 0 ,满足满足；条件条件4）计算计算115，若取初值，若取初值 x0 = 12，迭代，迭代 4次，可得结次，可得结果。果。若取若取x0 (c, +) ，则满足，则满足000 )()(xfxf3.3.3 牛顿法的大范围收敛性牛顿法的大范围收敛性实际上，只要实际上，只要x00，迭代法都收敛，迭代法都收敛。15fi=inline(x+115/x)/2);x0=12;er=1;k=0;while er0. 5e-7; x=fi(x0) er=a
9、bs(x-x0); x0=x;k=k+1;endk=4, x=10.7238053.3.3 牛顿法的大范围收敛性牛顿法的大范围收敛性16牛顿迭代公式牛顿迭代公式牛顿迭代格式的局部收敛性牛顿迭代格式的局部收敛性牛顿迭代格式的大范围收敛性牛顿迭代格式的大范围收敛性简化牛顿法和牛顿下山法简化牛顿法和牛顿下山法不用导数求根不用导数求根非线性方程组非线性方程组电子工程应用电子工程应用第三章第三章 非线性方程求根非线性方程求根173.3.4 简化简化牛顿法牛顿法和牛顿下山法和牛顿下山法牛顿法每迭代一次，要计算导数值，影响计算效率牛顿法每迭代一次，要计算导数值，影响计算效率1(),(1,2,)()kkkkf
10、 xxxkfx 为避免计算重复计算导数值，可取其为一为避免计算重复计算导数值，可取其为一定值定值，如，如kkkf xxxfx10()() 称为称为简化牛顿法简化牛顿法简化牛顿法简化牛顿法183.3.4 简化简化牛顿法牛顿法和牛顿下山法和牛顿下山法x0y = f(x)x1x2x*0( )( )()f xxxfx 迭代函数：迭代函数：推广的简化牛顿法：推广的简化牛顿法：把把f(xk)取为任意的常数取为任意的常数 1/C (C0)，迭代函数，迭代函数( )( )xxCf x 193.3.4 简化简化牛顿法牛顿法和牛顿下山法和牛顿下山法牛顿法的收敛性依赖于初值的选取。如果初值偏离所牛顿法的收敛性依赖于
11、初值的选取。如果初值偏离所求的根求的根 x*较远，则牛顿法可能发散。较远，则牛顿法可能发散。为了防止迭代发散，对迭代过程附加一项要求，即：为了防止迭代发散，对迭代过程附加一项要求，即：kkf xf x1()() 满足此要求的算法称为满足此要求的算法称为下山法下山法将将下山法下山法与与牛顿法牛顿法结合起来使用（下山法保证函数值结合起来使用（下山法保证函数值稳定下降，牛顿法加快收敛速度）稳定下降，牛顿法加快收敛速度）牛顿下山法牛顿下山法 牛顿下山法牛顿下山法202）与前一步的近似值）与前一步的近似值 xk 适当加权平均适当加权平均1(),(0,1,.)()kkkkf xxxkfx 其中，其中，（0
12、 0.00005 x=x1-f(x1)*(x1-x0)/(f(x1)-f(x0) er=abs(x-x1); x0=x1;x1=x;k=k+1;endk = 4, x = 0.46557割线法（弦截法）割线法（弦截法）k012345xk0.4 0.60.45745 0.46460 0.465580.46557试位法试位法28在给定含有根的区间在给定含有根的区间 a, b （假设假设 f(a) f(b) 0），定），定义下一个点为义下一个点为( )( )( )( )bf aaf bcf af b 因为点因为点 和和 在在x轴的两侧，所以轴的两侧，所以 c点点一定在一定在a, b中中根据根据 或者
13、或者 选择选择 a, c 或者或者 c, b作为新的有根区间作为新的有根区间( ,( )a f a( ,( )b f b( ) ( )0f a f c ( ) ( )0f c f b 试位法试位法 给定区间给定区间 a, b，使，使 f(a)*f(b) 0 for i = 1, 2, 3, . if f(c)=0 stop end if f(a)*f(c)eps & iid 时场指数衰减时场指数衰减 633.6 电子工程应用（电子工程应用（TM表面波截止波数表面波截止波数）,sincos,0zddex yAk xBk xxd,aak xk xzex yCeDedx 通解通解上式的解，无论上式的
14、解，无论 kd和和ka是实数还是虚数都是对的，但是实数还是虚数都是对的，但由于前页截止波数的选择确定，因此得出两者都是实由于前页截止波数的选择确定，因此得出两者都是实数。数。643.6 电子工程应用（电子工程应用（TM表面波截止波数表面波截止波数）, ,00zEx y zx, ,zEx y zx , ,zEx y z, ,yHx y z边界条件：边界条件：连续连续 x=d,sincos, 0zddex yAk xBk xxd0B ,aak xk xzex yCeDedx 0C sinak ddAk dDercosak dddaADk dekk653.6 电子工程应用（电子工程应用（TM表面波截
15、止波数表面波截止波数）对于非零解，上页最后两方程的行列式必须为零，得对于非零解，上页最后两方程的行列式必须为零，得rtanddakk dk222r0dkk2220akk介质介质空气空气222r01dakkk构成了一组联立超越方程，对于给定的构成了一组联立超越方程，对于给定的k0和和r可利用非线性方程求根的方法解出传播常数可利用非线性方程求根的方法解出传播常数kd和和ka。 66小结小结非线性方程求根的牛顿法、局部收敛性、大范非线性方程求根的牛顿法、局部收敛性、大范围收敛性围收敛性割线法、简化牛顿法、牛顿下山法割线法、简化牛顿法、牛顿下山法牛顿法的收敛阶牛顿法的收敛阶解非线性方程组的牛顿法解非线性方程组的牛顿法电子工程应用电子工程应用 练习：习题三：练习：习题三：8（1）、）、12（自愿做，自愿交，不交练习者不扣作业分）（自愿做，自愿交，不交练习者不扣作业分）第三章 “计算TM表面波截止波数” zd电介质0r0接地板参考文献：D. M. Pozar, 微波工程（第三版），3.6节，电子工业出版社，2006。课程设计2参考电子科技大学学报投稿格式 1. 题目和摘要（中英文） 2. 正文： a 引言; b 原理； c 数值算例； d 结论。 3. 附件：程序 第八周周三上课时交打印版和电子版（发邮件：。每章约一个设计题目，每人总共做2个设计题目。 格式要求格式要求
