1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 高考达标检测（二十二） 平面向量的数量积及应用 一、选择题 1 (2018 江西八校联考 )已知两个非零向量 a， b 满足 a( a b) 0，且 2|a| |b|，则 a， b ( ) A 30 B 60 C 120 D 150 解析：选 B 由题知 a2 a b，而 cos a， b a b|a| b| |a|22|a|212，所以 a， b 60. 2.如图，在圆 C 中，点 A， B 在圆上，则 AB AC 的值 ( ) A只与圆 C 的半径有关 B既与圆 C 的半径有关，又与弦 AB 的长度有关 C只与弦 AB 的长度有关 D是与圆 C 的半径和弦
2、 AB 的长度均无关的定值 解析：选 C 如图，过圆心 C 作 CD AB，垂足为 D， 则 AB AC | AB | AC | cos CAB 12| AB |2. AB AC 的值只与弦 AB 的长度有关 3已知圆 O： x2 y2 4 上的三点 A， B， C，且 OA BC ，则 AC BA ( ) A 6 B 2 3 C 6 D 2 3 解析：选 C 如图， OA BC ， 四边形 OACB 为平行四边形， 则 | OA | |OB | | OC | | BC | 2. 四边形 OACB 为菱形，且 AOB 120 ， 则 AC BA OB ( OA OB ) OB OA |OB |
3、2 22 ? ? 12 4 6. 4在 ABC 中， AB 3， AC 2， BC 10，则 BA AC 的值为 ( ) A 32 B 23 C. 23 D. 32 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析：选 A 在 ABC 中，由余弦定理得 cos A AC2 AB2 BC22 AC AB 22 32 10 2223 14， 所以 BA AC | BA | AC |cos( A) | BA | AC | cos A 32 14 32. 5 (2017 浙江高考 )如图，已知平面四边形 ABCD， AB BC， AB BC AD 2， CD 3， AC 与 BD 交于点 O.记 I1 OA O
4、B ， I2 OB OC ，I3 OC OD ，则 ( ) A I1I3，作 AG BD 于 G，又 AB AD， OB OC OD ，即 I1I3， I30， nm. 从而 DBC45 ，又 BCO 45 ， BOC 为锐角 从而 AOB 为钝角故 I10. 又 OA1)， OC 2 OA ( 21)， 从而 I3 OC OD 1 2 OA OB 1 2I1， =【 ;精品教育资源文库 】 = 又 1 21， I10， I30， I3I1， I3I1I2. 6已知菱形 ABCD 的边长为 6， ABD 30 ，点 E， F 分别在边 BC， DC 上， BC 2BE，CD CF .若 AE
5、BF 9，则 的值为 ( ) A 2 B 3 C 4 D 5 解析：选 B 依题意得 AE AB BE 12 BC BA ， BF BC 1 BA ， 因此 AE BF ? ?12 BC BA ? ?BC 1 BA 12 BC 2 1 BA 2 ? ?12 1BC BA ， 于是有 ? ?12 1 6 2 ? ?12 1 6 2 cos 60 9，由此解得 3. 7 (2018 石家庄模拟 )已知向量 a， b， c 共面，且均为单位向量， a b 0，则 |a b c|的取值范围是 ( ) A 2 1， 2 1 B 1， 2 C 2， 3 D 2 1,1 解析：选 A 因为 a b 0，所以
6、 |a b|2 a2 2a b b2 2， 所以 |a b| 2，所以 |a b c|2 a2 b2 c2 2a b 2(a b) c 3 2(a b) c. 当 c 与 (a b)同向时， (a b) c 最大， |a b c|2 最小，此时 (a b) c |ab|c| cos 0 2， |a b c|2 3 2 2，所以 |a b c|min 2 1. 当 c与 (a b)反向时， (a b) c最小， |a b c|2最大，此时 (a b) c |a b|c|cos 2， |a b c|2 3 2 2，所以 |a b c|max 2 1. 所以 |a b c|的取值范围为 2 1， 2
7、 1 8 (2018 银川调研 )已知 AB AC ， | AB | 1t， | AC | t，若点 P 是 ABC 所在平面内的一点，且 AP AB | AB | 4 AC | AC |，则 PB PC 的最大值等于 ( ) A 13 B 15 C 19 D 21 解析：选 A 建立如图所示的平面直角坐标系， =【 ;精品教育资源文库 】 = 则 B? ?1t， 0 ， C(0， t)， AB ? ?1t， 0 ， AC (0， t)， AP AB | AB | 4 AC | AC | t? ?1t， 0 4t(0， t) (1,4)， P(1,4)， PB PC ? ?1t 1， 4 (
8、1， t 4) 17 ? ?1t 4t 17 2 1t4 t13，当且仅当 t 12时，取 “ ” 故 PB PC 的最大值为 13. 二、填空题 9已知向量 a (1， x)， b (1， x 1)，若 (a 2b) a，则 |a 2b| _. 解析： a 2b ( 1,2 x)，且 (a 2b) a， (a 2b) a 1 x(2 x) x2 2x 1 0， x 1， a 2b ( 1,1)， |a 2b| 2. 答案： 2 10已知向量 ， 是平面内两个互相垂直的单位向量，若 (5 2 )(12 2 ) 0，则 | |的最大值是 _ 解析：因为 0， | | | | 1， 所以 (5 2
9、 )(12 2 ) 60 10 24 4 2 0， 即 2| |2 5 12 (5 12 ) ， 当 与 5 12 共线时， | |最大， 所以 4| |2 (5 12 )2 25| |2 120 144| |2 25 144 169， 所以 | | 132. 答案： 132 11已知 O 为 ABC 内一点， AOB 120 ， OA 1， OB 2，过点 O 作 OD AB 于点 D，E 为线段 OD 的中点，则 OE EA 的值为 _ 解析：如图， AOB 120 ， OA 1， OB 2， OD AB， E 为线段 OD的中点，则 OD AD 0， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所
10、以 OE EA OD 2 ( AE ) 12 OD AO AD 2 OD AO OD AD 4 OA OD 4 | OA | OD |cos AOD4 | OD |24 . 在 AOB 中，由余弦定理可得 AB 7， 因为 S AOB 12 AB OD 12OA OBsin 120 ， 即 12 7 OD 1212 32 ， 所以 OD 217 ，所以 OE EA 328. 答案： 328 12.如图，在梯形 ABCD 中， | DA | 2， CDA 3 ， DA 2 CB ， E 为AB 的中点， DP DC (0 1) 若 | DC | t(t 为大于零的常数 )，当 | PE |取得最
11、小值时，实数 _. 解析： DP DC ， PC (1 ) DC ， PE PC CB BE (1 ) DC 12 DA 14 DA 12 DC ? ?12 DC 34 DA ， DC DA 2tcos 3 t， DC 2 t2， DA 2 4， PE 2 ? ?12 2t2 94 32? ?12 t ? ? ?12 t 34 2 2716， 当 ? ?12 t 34，即 12 34t时， PE 2取得最小值 2716. | PE |的最小值为 3 34 ，此时 12 34t. 答案： 12 34t =【 ;精品教育资源文库 】 = 三、解答题 13已知 a (3， 1)， a b 5， c
12、xa (1 x)b. (1)若 a c，求实数 x 的值； (2)若 |b| 5，求 |c|的最小值 解： (1) a (3， 1)， |a| 10， 又 a b 5， c xa (1 x)b，且 a c， a c a( xa (1 x)b) 0， 即 x|a|2 (1 x)a b 10x 5(1 x) 0， 解得 x 13. (2)由 c xa (1 x)b，得 |c|2 xa (1 x)b2 x2|a|2 2x(1 x)a b (1 x)2|b|2 10x2 10x(1 x) 5(1 x)2 5(5x2 4x 1) 25? ?x 25 2 1. 当 x 25时， |c|2min 1，则 |
13、c|的最小值为 1. 14已知向量 m ? ?3sin x4， 1 ， n ? ?cosx4， cos2x4 . (1)若 mn 1，求 cos? ?23 x 的值； (2)记 f(x) mn ，在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c，且满足 (2a c)cos B bcos C，求函数 f(A)的取值范围 解： mn 3sinx4cosx4 cos2x4 32 sinx2 12cosx2 12 sin? ?x2 6 12. (1) mn 1， sin? ?x2 6 12， cos? ?x 3 1 2sin2? ?x2 6 12， cos? ?23 x cos? ?x 3 12. (2) (2a c)cos B bcos C，由正弦定理得 (2sin A sin C)co
