1、考点规范练52抛物线基础巩固1.以抛物线y2=8x上的任意一点为圆心作圆与直线x=-2相切,这些圆必过一定点,则这一定点的坐标是()A.(0,2)B.(2,0)C.(4,0)D.(0,4)2.(2021贵州铜仁模拟)抛物线y=ax2(a0)的准线方程是y-2=0,则a的值是()A.18B.-18C.8D.-83.(2021广西柳铁一中月考)抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,准线为l,点P为抛物线上一点,PAl,垂足为A,若直线AF的斜率为-3,|PF|=4,则抛物线的方程为()A.y2=4xB.y2=43xC.y2=8xD.y2=83x4.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线与
2、抛物线交于A,B两点,若|AB|=6,则线段AB的中点M的横坐标为()A.2B.4C.5D.65.设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,准线为l,点A为抛物线C上第一象限内的点,B为l上一点,满足AF=12FB,则直线AB的斜率为()A.24B.13C.3D.226.已知等边三角形AOB(O为坐标原点)的三个顶点在抛物线C:y2=2px(p0)上,且AOB的面积为93,则p=()A.3B.3C.32D.3327.已知直线y=k(x+2)(k0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为抛物线C的焦点,若|FA|=2|FB|,则点A到抛物线的准线的距离为()A.6B.5C.4D.38.过
3、抛物线C:y2=4x焦点F的直线l交C于点A,B,线段AB中点M的纵坐标为1,则直线AB的斜率k的值为;线段AB的长度为.9.已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点,斜率为22的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x10)的焦点为F,点M为抛物线C上一点,|MF|=8,且OFM=23(O为坐标原点).(1)求抛物线C的方程;(2)过点F的直线l与抛物线C交于A,B两点,求AOB面积的最小值.能力提升11.设抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F,A(x1,2),B(x2,8)是C上两点,且x2x10,若|BF|=3|AF|,则x1+x2=()A.32B.6C.62D.812.如
4、图所示,点F是抛物线y2=4x的焦点,点A,B分别在抛物线y2=4x及圆x2+y2-2x-8=0的实线部分上运动,且AB总是平行于x轴,则FAB的周长的取值范围是.13.已知抛物线C:y2=2px(0p0,则x1+x2=3,因此|AB|=x1+x2+2=5.9.解(1)由题意得直线AB的方程为y=22x-p2,与y2=2px联立,消去y有4x2-5px+p2=0,所以x1+x2=5p4.由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=5p4+p=9,所以p=4,从而该抛物线的方程为y2=8x.(2)由(1)得4x2-5px+p2=0,即x2-5x+4=0,则x1=1,x2=4,于是y1=-22,y2=
5、42,从而A(1,-22),B(4,42).设C(x3,y3),则OC=(x3,y3)=(1,-22)+(4,42)=(4+1,42-22).又y32=8x3,所以22(2-1)2=8(4+1),整理得(2-1)2=4+1,解得=0或=2.10.解(1)抛物线C:y2=2px(p0)的焦点Fp2,0,准线方程为x=-p2,过点M作准线的垂线,垂足为N,过点M作x轴的垂线,垂足为D,如图所示,依题意得|MF|=|MN|=p+|MF|cos60,即8=p+4,解得p=4,抛物线C的方程为y2=8x.(2)焦点F(2,0),由题意知直线l不垂直于y轴,设直线l的方程为x=ty+2,由x=ty+2,y
6、2=8x,消去x得y2-8ty-16=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则有y1+y2=8t,y1y2=-16,|AB|=1+t2|y1-y2|,而坐标原点到直线l的距离d=21+t2,因此,SAOB=12d|AB|=|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=64t2+648,当且仅当t=0时取“=”,所以AOB面积的最小值为8.11.C解析3|AF|=|BF|,根据抛物线的定义,可得32+p2=8+p2,解得p=2,抛物线方程为x2=4y,将y1=2,y2=8代入方程,得x1=22,x2=42,x1+x2=62.故选C.12.(6,8)解析抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准
7、线方程为l:x=-1.由抛物线的定义可得|AF|=xA+1,又圆x2+y2-2x-8=0可化为(x-1)2+y2=9,其圆心为F(1,0),半径为r=3,故FAB的周长为|AF|+|AB|+|BF|=(xA+1)+(xB-xA)+3=4+xB.由抛物线y2=4x及圆x2+y2-2x-8=0,可得交点的横坐标为2,即xB(2,4),故FAB的周长取值范围是(6,8).13.解(1)联立方程(x-5)2+y2=16,y2=2px,得x2+(2p-10)x+9=0,抛物线C与圆M有且只有两个公共点,则=(2p-10)2-36=0,解得p=2或p=8,又0p0,则x1+x2=4(k2+1)k2,x1x
8、2=4.由题知2kRQ=kAQ+kBQ,22m-2=2-y1m-x1+2-y2m-x2=(m-x2)2-k(x1-2)+(m-x1)2-k(x2-2)(m-x1)(m-x2)=2kx1x2-(km+2k+2)(x1+x2)+4m(k+1)x1x2-m(x1+x2)+m2=4mk2-4km-8k2-8k-8k2(m-2)2-4m,整理得(m2-4)k-2(m+2)=0.上式对任意k成立,m2-4=0,m+2=0,解得m=-2.故所求定点为Q(-2,2).14.9解析由题意,抛物线y2=8x的焦点F(2,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),根据抛物线的定义,可得|AF|=x1+2=6,可得x1=4,可得y1=42.不妨设点A位于第一象限,可得A(4,42),所以kAF=22,所以直线AB的方程为y=22(x-2),联立方程组y=22(x-2),y2=8x,整理得x2-5x+4=0,可得x1+x2=5,由抛物线的定义,可得|AB|=x1+x2+p=5+4=9.7
