1、高二上学期数学竞赛试卷数学试卷第一卷（40分）一 选择题（共8小题，每小题5分）1.若向量与向量互相垂直，则的值为（ ）A1B2C3D42.已知为圆上一动点，则点到直线的距离的最大值是（ ）ABCD3.在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，若，则用基底表示向量为（ ）A BCD4.已知椭圆上关于原点对称的两点为A，B，点M为椭圆C上异于A，B的一点，直线AM和直线BM的斜率之积为，则椭圆C的离心率为（ ）A. B. C. D.5.已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则的方程为ABCD6.如图，正方体的棱长为1，是底面的中心，则到平面的距离为（ ）A B C D7.如图，过抛物线
2、的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若点F是AC的中点，且，则线段AB的长为（ ） A 5 B.6 C D 8.设分别是双曲线C：的左右焦点，点P在双曲线C的右支上，且，则（ ）A 4 B 6 C D 第二卷（80分）二、填空题：（共6小题，每小题5分）9.两平行直线与间的距离为3，则_.10.已知双曲线两渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为2，则此双曲线的标准方程 .11.若直线的一方向向量与平面的一个法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为_12.已知椭圆的左、右两焦点，为椭圆上一点，则= . 13.已知抛物线的焦点为F，抛物线C上一点A满足，则以点A为圆心，AF为半径的圆截轴
3、所得弦长为_14.若实数满足，则的取值范围为_. 三、解答题：（共5小题，每小题10分）15.已知直线（1）求证：无论为何实数，直线恒过一定点；（2）若直线过点，且与轴负半轴、轴负半轴围成三角形面积最小，求直线的方程16.如图，在四棱锥中，平面，(1)证明：；(2)求平面与平面夹角的正弦值；(3)设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30，求AE的长17.已知抛物线C：，直线l过抛物线焦点F，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点M的纵坐标为1.（1）求直线l的方程；（2）求（O为坐标原点）的面积.18.已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点，点在双曲线上.（1）求双曲线的方程；（2）求证：0；19.本题满分12分）已知点A(-1,0)，F(1,0)，动点P满足（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点，且斜率为的直线被曲线截得的弦为，若点在以为直径的圆上，求的值
