1、山西省太原市2018-2019学年高二上学期期末考试数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题）1.双曲线的实轴长为（ ）A. 2B. 4C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意，由双曲线的方程求出a的值，即可得双曲线与x轴的交点，由实轴的定义计算可得答案【详解】根据题意，双曲线，其中，其焦点在x轴上，则该双曲线与x轴的交点为与，则实轴长；故选：D【点睛】本题考查双曲线的标准方程以及双曲线实轴的定义，属于基础题2.命题：“，”的否定是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】因为 的否定是所以命题：“”的否定是,选C3.曲线在处的切线的斜率等于（ ）A. eB. C. 1D
2、. 2【答案】D【解析】【分析】求函数的导数，结合函数导数的几何意义求出对应的导数即可【详解】函数的导数为，则在处的导数，即切线斜率，故选：D【点睛】本题主要考查导数的几何意义，求出函数的导数是解决本题的关键4.设，则“”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：因为，所以“lx2”是“lx3”的充分而不必要条件，选A考点：充要关系5.抛物线的焦点到准线的距离为（ ）A. B. 1C. 2D. 4【答案】C【解析】试题分析：抛物线x24y中，焦点为，准线为，焦点到准线的距离为2考点：抛物线方程及性质6.对任意实
3、数，则方程所表示的曲线不可能是（ ）A. 椭圆B. 双曲线C. 抛物线D. 圆【答案】C【解析】思路分析：用Ax2+By2=c所表示的圆锥曲线，对于k=0,1及k0且k1，或k0，分别讨论可知：方程x2+ky2=1不可能表示抛物线7.函数的单调递减区间是（ ）A. B. C. ，D. 【答案】D【解析】【分析】求导，令导数小于零，解此不等式即可求得函数的单调递减区间【详解】令 解得，函数的单调递减区间是故选：D【点睛】此题是个基础题考查学生利用导数研究函数的单调性8.已知命题“，”为真命题，则实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】命题“，”为真命题等价于在上
4、有解，构造函数求最大值代入即可【详解】命题“，”为真命题等价于在上有解，令，则等价于，故选：D【点睛】本题考查了存在量词和特称命题，属中档题9.函数的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求函数的导数，研究函数的单调性和极值，进行判断即可【详解】函数的定义域为，函数的导数，由得得或舍，此时函数为增函数，由得得，此时，函数为减函数，即当时，函数取得极小值，且极小值为，则对应的图象为A，故选：A【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数单调性和导数之间的关系，研究函数的单调性是解决本题的关键10.若函数在区间单调递增，则k的取值范围是（ ）A. B. C. D.
5、 【答案】B【解析】由函数在区间单调递增可得：在区间恒成立，故11.已知双曲线C与椭圆E：有共同的焦点，它们的离心率之和为，则双曲线C的标准方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由椭圆方程求出双曲线的焦点坐标，及椭圆的离心率，结合题意进一步求出双曲线的离心率，从而得到双曲线的实半轴长，再结合隐含条件求得双曲线的虚半轴长得答案【详解】由椭圆，得，则，双曲线与椭圆的焦点坐标为，椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为设双曲线的实半轴长为m，则，得，则虚半轴长，双曲线的方程是故选：C【点睛】本题考查双曲线方程的求法，考查了椭圆与双曲线的简单性质，是中档题12.函数的定义域为R，对任
6、意，则的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】构造函数，利用导数研究函数的单调性即可得到结论【详解】设，则，对任意，对任意，即函数单调递增，函数单调递增，即为：由得， 即的解集为，故选：B【点睛】本题主要考查不等式的求解，利用条件构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键二、填空题（本大题共4小题）13.椭圆的焦距是_【答案】6【解析】【分析】根据题意，由椭圆的标准方程分析a、b的值，结合椭圆的几何性质求出c的值，由椭圆焦距的定义分析可得答案【详解】根据题意，椭圆中，则，则该椭圆的焦距；故答案为：6【点睛】本题考查椭圆的标准方程和简单几何性质，注意求出c的值，属
7、于基础题14.命题“如果，那么且”的逆否命题是_【答案】如果 或 ，则 【解析】【分析】由四种命题之间的关系，即可写出结果.【详解】命题“如果，那么且”的逆否命题是“如果 或 ，则 ”.故答案为：如果 或 ，则 【点睛】本题主要考查四种命题之间的关系，熟记概念即可，属于基础题型.15.曲线在点处的切线方程为_【答案】y=2x2【解析】分析：求导，可得斜率，进而得出切线的点斜式方程.详解：由，得则曲线在点处的切线的斜率为，则所求切线方程为，即.点睛：求曲线在某点处的切线方程的步骤：求出函数在该点处的导数值即为切线斜率；写出切线的点斜式方程；化简整理.16.已知双曲线E：的右顶点为A，抛物线C：的
8、焦点为若在E的渐近线上存在点P，使得，则双曲线E的离心率的取值范围是_【答案】【解析】【分析】求出双曲线的右顶点和渐近线方程，抛物线的焦点坐标，可设，以及向量的垂直的条件：数量积为0，再由二次方程有实根的条件：判别式大于等于0，化简整理，结合离心率公式即可得到所求范围【详解】双曲线E：的右顶点为，抛物线C：的焦点为，双曲线的渐近线方程为，可设，即有，可得，即为，化为，由题意可得，即有，即，则由，可得故答案为：【点睛】对于双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出，代入公式；只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式
9、(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围).三、解答题（本大题共7小题）17.已知命题p：曲线与x轴相交于不同的两点；命题q：椭圆的焦点在y轴上判断命题p的否定的真假；若“p且q”是假命题，“p或q“是真命题，求实数m的取值范围【答案】（1）为假；（2）.【解析】【分析】（1）根据判别式显然成立，即可判断出结果；（2）先求出为真时，实数m的取值范围，再由“且”是假命题，“或“是真命题，判断出、的真假，进而可得出结果.【详解】（1）由可得显然成立，故命题为真，为假；（2）由已知得，为真时，所以为假时，或因为“且”是假命题，“或“是真命题，由(1)知
10、为真，所以真假，所以【点睛】本题主要考查复合命题，由命题的真假求参数，属于基础题型.18.已知抛物线C：经过点求抛物线C的方程；若A，B为抛物线C上不同的两点，且AB的中点坐标为，求直线AB的方程【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）将点代入，即可求出结果；先设点坐标分别为，结合抛物线方程，作差求出直线AB的斜率，进而可求出结果.【详解】（1）由题知抛物线经过点代入，解得，故抛物线方程为；（2）设点坐标分别为，由为抛物线上的不同两点，故有，由得，整理得，又的中点坐标为，则，代入得，直线过点，直线的方程为，即.【点睛】本题主要考查抛物线方程，以及中点弦的问题，求中点弦所在直线方程，常用点
11、差法结合中点坐标求出斜率，进而可得出结果.19.若是函数的极值点求a的值；若时，成立，求的最大值【答案】(1)(2)4【解析】【分析】求解导函数，结合导函数与极值的关系求解实数a的值即可；由题意首先讨论函数的单调性，然后结合函数在关键点处的函数值确定实数a的取值范围即可【详解】，由已知，得，经检验当时，满足题意，故由可知，当时，递增；当时，递减；当时，递增；因此，极大值为，极小值为，又由得或，由得或，故的最大值为4【点睛】这个题目考查了导数在研究函数的极值和单调性中的应用，极值点即导函数的零点，但是必须是变号零点，即在零点两侧正负相反；极值即将极值点代入原函数取得的函数值，注意分清楚这些概念，
12、再者对函数求导后如果出现二次，则极值点就是导函数的两个根，可以结合韦达定理应用解答。20.已知椭圆C：的左右焦点分别为，焦距为2，过点作直线与椭圆相交于A，B两点，连接，且的周长为求椭圆C的标准方程；若直线AB的斜率为1，且，求的值【答案】（1）；（2）或3.【解析】【分析】（1）由焦距为2，求出；再由的周长为，求出，进而即可求出结果；（2）先由题意得到直线的方程为：，联立直线与椭圆方程，求出坐标，即可得出结果.【详解】（1）由题意得，又因为，故可得，从而椭圆的标准方程为（2）由题意可得直线的方程为：，联立，可得，从而，或者，由题意，当坐标分别为，时，故；当坐标分别为，时，故，综上，或3.【点
13、睛】本题主要考查椭圆的标准方程，以及直线与椭圆交点的坐标问题，只需联立直线与椭圆方程求解即可，属于常考题型.21.已知椭圆C：的左右焦点分别为，焦距为2，过点作直线与椭圆相交于A，B两点，连接，且的周长为求椭圆C的标准方程若，求直线AB的方程【答案】(1) (2)【解析】【分析】由焦距为2，的周长为可得，联立解出即可得出；设直线AB的方程为：，与椭圆方程联立，化为：，由，可得，与根与系数的关系联立即可得出【详解】焦距为2，的周长为，解得，椭圆C的标准方程为：设直线AB的方程为：，联立，化为：，联立：，解得：直线AB的方程为：【点睛】本题考查了椭圆的对于标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的
14、关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题22.已知函数当时，求函数的单调区间；若，求证：当时，【答案】(1)在递减，在递增(2)见证明【解析】【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；问题转化为证明，令，根据函数的单调性证明即可【详解】由，由，解得：，由，解得：，故在递减，在递增，证明：要证明，即证，令，则，令，则，故即在递增，又，当时，递减，当时，递增，故，故，即，故【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，转化思想，是一道常规题利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单
15、调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.23.已知函数当时，求函数的单调区间；若对任意恒成立，求a的取值范围【答案】（1）函数的单调增区间为，单调减区间为；（2）【解析】【分析】当时，求函数的单调区间；求的导数，利用导数研究函数在的单调性，然后讨论a的取值，从而确定的最值，即可确定实数a的取值范围【详解】由，则由，得；由，得，所以函数的单调增区间为，单调减区间为；由，则当时，对，有，所以函数在区间上单调递增，又，即对恒成立当时，由，单调递增区间为，单调递减区间为，若对任意恒成立，只需，令，即在区间上单调递减，又，故在上恒成立，故当时，满足的a不存在综上所述，a的取值范围是【点睛】本题以函数为载体，主要考查导数的几何意义，考查导数在研究函数的单调性和最值中的应用，考查恒成立问题的解决方法对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数。
