1、1/29第七节第七节 线性微分方程的解的结构线性微分方程的解的结构一、一、线性齐次微分方程的解的结构线性齐次微分方程的解的结构二、二、线性非齐次微分方程的解的结构线性非齐次微分方程的解的结构三、降阶法和常数变易法三、降阶法和常数变易法三、小结三、小结2/29)()(2211xyCxyCy yxQyxPy)()(定理定理1 1,)1()()(21的两个解的两个解是方程是方程与与如果函数如果函数xyxy的的也也是是那那末末)1()()(2211xyCxyCy ).,(21是常数是常数CC证证 2211yCyC)(2211yCyCxP )(2211yCyCxQ )()(1111yxQyxPyC )(
2、)(2222yxQyxPyC 0 ,)1()()(21的两个解的两个解是方程是方程与与如果函数如果函数xyxy叠加原理叠加原理0一定是通解一定是通解(1)解解,一、一、 二阶线性齐次方程解的结构二阶线性齐次方程解的结构3/29线性无关线性无关定义定义nyyy,21设设02211 nnykykyk线性相关线性相关. .否则称否则称线性无关线性无关. .如如),(sin,cos122 xxx，),(,2 xeeexxx，线性相关线性相关有恒等式有恒等式取取, 1, 1321 kkk0sincos122 xx恒等式成立恒等式成立如果存在如果存在n个不全为零的常数个不全为零的常数,使得当使得当x在该区
3、间内在该区间内那末称这那末称这n个函数在区间个函数在区间I内内为定义在区间为定义在区间I内的内的n个函数个函数.4/29特别地特别地如如, 0 yy,cos1xy xyytan12 且且.sincos21xCxCy 12( )( )yxyxI两两个个函函数数与与在在 上上的的线线性性( () )关关也也可可无无相相如如此此定定义义：定理定理2 2的两个的两个是方程是方程与与如果函数如果函数)1()()(21xyxy)()(2211xyCxyCy )1(0)()( yxQyxPy通解通解,常常数数 求求只要求它的两个线性无关的特解只要求它的两个线性无关的特解.,sin2xy 12( )( )(
4、)y xyx 常常数数. .线性无关线性无关的特解的特解,那末那末就是就是(1)的的齐次齐次线性方程的通解线性方程的通解,通解通解.事实上，由一个非零特解可以构造出另一个与之线性无关的特解！事实上，由一个非零特解可以构造出另一个与之线性无关的特解！课本定理课本定理10.7.55/29推论推论是是n 阶齐次阶齐次线性方程线性方程0)()()(1)1(1)( yxPyxPyxPynnnn的的n 个线性无关的解个线性无关的解, 那么那么, 此方程的通解为此方程的通解为),()()(2211xyCxyCxyCynn 其中其中nCCC,21为任意常数为任意常数.定理定理2可推广到可推广到n 阶齐次线性方
5、程，即阶齐次线性方程，即)(),(),(21xyxyxyn如果函数如果函数6/29二、二、二阶线性非齐次方程的解的结构二阶线性非齐次方程的解的结构定理定理3 3 yxQyxPy)()( y设设 的一个特解的一个特解, yYy那么那么 为了求为了求非齐次线性方程的一个特解非齐次线性方程的一个特解和对应齐次线性方程和对应齐次线性方程只要求得只要求得:的通解的通解.)1(0)()( yxQyxPy)(xf(2)非齐次非齐次线性方程的通解线性方程的通解, Y 是与是与(2)对应的齐次方程对应的齐次方程(1)的通解的通解, 是二阶非齐次线性微分方程是二阶非齐次线性微分方程(2)的的通解通解. 是二阶非齐
6、次线性微分方程是二阶非齐次线性微分方程7/292xyy 方程方程已知已知xCxCYsincos21 0 yy的通解的通解.又容易验证又容易验证22 xy是所给方程的一个特解是所给方程的一个特解.是非齐次方程的通解是非齐次方程的通解. yYy如如是二阶非齐次线性方程是二阶非齐次线性方程xCxCsincos21 22 x是对应齐次方程是对应齐次方程8/29解的叠加原理解的叠加原理定理定理4 4是是几几个个函函数数的的右右端端设设非非齐齐次次方方程程)()2(xf yxQyxPy)()(如如分别是分别是与与而而 21yy)()()(1xfyxQyxPy )()()(2xfyxQyxPy 21yy)2
7、()()()(xfyxQyxPy )(xf )(1xf)(2xf之和之和,的特解的特解,那么那么就是原方程的特解就是原方程的特解.定理定理3 3和和定理定理4 4也可推广到也可推广到n 阶非齐次线性方程阶非齐次线性方程.9/29 求解求解xexyy 解解 yy的通解是的通解是xCxCYsincos21 再考虑两个方程再考虑两个方程, xyy xey212 ,1xy 分别是原方程的特解分别是原方程的特解.所以原方程的通解为所以原方程的通解为 y例例xeyy xCxCsincos21 0 x xe21 yY10/29 思考题思考题xexyxyy 232213,3, 3已已知知66)22()2()2
8、(22 xyxyxyxx都是微分方程都是微分方程:求此方程的求此方程的通解通解.的解的解,高阶线性微分方程高阶线性微分方程11/29证证齐次齐次方程的特解方程的特解.非齐次非齐次线性方程的两个特解之差线性方程的两个特解之差是对应是对应结论结论111( )( )( ),yp x yq x yf x)1(222( )( )( ),yp x yq x yf x)2(得得)2()1( 121212()( )()( )()0yyp xyyq xyy所以所以21yy 非齐次非齐次线性方程线性方程是是设设21, yy则则是是齐次齐次方程的解方程的解.高阶线性微分方程高阶线性微分方程( )( )( ),yp
9、x yq x yf x的解的解,12/29原方程的通解为原方程的通解为3221 xeCxC yYy或或22213xeCxCyx 或或xxexeCxCy 22213,212xyy xeyy 23xex2xex ,2因而因而,齐次齐次线性方程的通解线性方程的通解xeCxCY221 解解xexyxyy 232213,3, 3已已知知66)22()2()2(22 xyxyxyxx都是微分方程都是微分方程:求此方程的求此方程的通解通解.的解的解,常数常数 线性无关线性无关.所以所以,高阶线性微分方程高阶线性微分方程13/29三、降阶法与常数变易法三、降阶法与常数变易法1.1.齐次线性方程求线性无关特解齐
10、次线性方程求线性无关特解-降阶法降阶法的的一一个个非非零零特特解解，是是方方程程设设)1(1y12)(yxuy 令令代入代入(1)式式, 得得, 0)()()(2(111111 uyxQyxPyuyxPyuy,uv 令令则有则有, 0)(2(111 vyxPyvy, 0)(2(111 uyxPyuy即即 yxQyxPy)()(0(1)14/29解得解得,1)(21 dxxPeyvdxeyudxxP )(211,1)(2112dxeyyydxxP 刘维尔公式刘维尔公式齐次方程通解为齐次方程通解为.1)(211211dxeyyCyCydxxP 0)(2(111 vyxPyvy降阶法降阶法的一阶方程
11、的一阶方程 v课本定理课本定理10.7.515/292.2.非齐次线性方程通解求法非齐次线性方程通解求法-常数变易法常数变易法设对应齐次方程通解为设对应齐次方程通解为2211yCyCy (3)设非齐次方程通解为设非齐次方程通解为2211)()(yxcyxcy 22112211)()()()(yxcyxcyxcyxcy 设设0)()(2211 yxcyxc22112211)()()()(yxcyxcyxcyxcy (4)16/29得得代入方程代入方程将将),2(,yyy )()()()()()()()()(222211112211xfyxQyxPyxcyxQyxPyxcyxcyxc )()()(
12、2211xfyxcyxc (5)(4),(5)联立方程组联立方程组 )()()(0)()(22112211xfyxcyxcyxcyxc, 0)(2121 yyyyxw系数行列式系数行列式17/29,)()()(21xwxfyxc ,)()()(12xwxfyxc 积分可得积分可得,)()()(211 dxxwxfyCxc,)()()(122 dxxwxfyCxc非齐次方程通解为非齐次方程通解为.)()()()(12212211 dxxwxfyydxxwxfyyyCyCy18/29.1111的通解的通解求方程求方程 xyxyxxy解解, 01111 xxx对应齐方一特解为对应齐方一特解为,1xe
13、y 由刘维尔公式由刘维尔公式 dxeeeydxxxxx1221,x 对应齐方通解为对应齐方通解为.21xeCxCY 例例19/29,)()(21xexcxxcy 设原方程的通解为设原方程的通解为应满足方程组应满足方程组，)()(21xcxc 1)()(0)()(2121xxcexcxcexcxxx解得解得 xxexcxc)(1)(2122)(Cexexcxx ，11)(Cxxc 原方程的通解为原方程的通解为. 1221 xxeCxCyx返回返回20/29线性相关与线性无关线性相关与线性无关的概念的概念线性微分方程的线性微分方程的概念概念小结小结线性微分方程线性微分方程解的结构解的结构齐齐次次通
14、通解解两两个个线线性性无无关关的的解解的的线线性性组组合合非非齐齐次次通通解解齐齐次次通通解解非非齐齐次次的的一一个个特特解解解的叠加原理解的叠加原理降阶法和常数变易法降阶法和常数变易法求线性无关的特解和非齐次通解求线性无关的特解和非齐次通解21/29第八节第八节 常系数齐次线性微分方程的解法常系数齐次线性微分方程的解法一、二阶常系数线性齐次微分方程一、二阶常系数线性齐次微分方程二、高阶常系数线性齐次微分方程二、高阶常系数线性齐次微分方程三、小结三、小结四、作业四、作业22/29rxey 将其代入方程将其代入方程, 0)(2 rxeqprr, 0 rxe故有故有02 qprr2422, 1qp
15、pr 特征根特征根0 qyypy二阶二阶设解设解得得特征方程特征方程常系数常系数齐次齐次线性方程线性方程(characteristic equation)(characteristic root)其中其中r为待定常数为待定常数. 一、二阶常系数齐次线性方程解法23/29,2421qppr ,2422qppr ,11xrey ,22xrey 两个两个 特解特解 y)0( 0 qyypy的通解的不同形式的通解的不同形式.有两个不相等的实根有两个不相等的实根特征根特征根r的不同情况决定了方程的不同情况决定了方程02 qprr特征方程特征方程xre12Cxre2 1C21yy常数常数线性无关的线性无关
16、的 得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为rxey 设解设解其中其中r为待定常数为待定常数. 24/29有两个相等的实根有两个相等的实根,11xrey ,221prr )0( 一特解为一特解为112().r xCC x e 代代入入到到，将将222yyy , 0)()2(1211 uqprrupru, 0 u,)(xxu ,12xrxey 2y常数常数 12yy0,ypyqy 化简得化简得.)(为为待待定定函函数数其其中中xu0 0 设设)(xu,1xre取取则则知知 yxre1xrxe1 1C2C得通解为得通解为25/29有一对共轭复根有一对共轭复根,1 ir ,2 ir ,)(xie xre
17、y22 )0( )(21211yyy xex cos )(21212yyiy xex sin )sincos(21xCxCeyx 0,21 qyypyyy为为方方程程为了得到实数形式的解为了得到实数形式的解,常数常数 21yy重新组合重新组合的两个线性无关的解的两个线性无关的解.xrey11 xie)( 得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为用欧拉用欧拉(Euler)公式公式:xixeixsincos 26/29称为称为由常系数齐次线性方程的特征方程的根由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法确定其通解的方法特征方程法特征方程法. .2120,rprqrr特特征征方方程程的的两两根根0
18、ypyqy微微分分方方程程的的通通解解12,rr两两个个不不等等实实根根12rr两两个个相相等等实实根根 1 2ir ，一一对对共共轭轭复复根根112()r xyCC x e1212r xr xyC eC e12(cossin)xyeCxCx 27/2940.yy求求方方程程的的通通解解例例解解 特征方程特征方程240rr120,4,rr 故所求通解为故所求通解为 y特征根特征根12CC04xxee 412.xCC e 28/29.044的通解的通解求方程求方程 yyy解解 特征方程特征方程0442 rr221 rr故所求通解为故所求通解为 y例例特征根特征根212().xCC x e 29/
19、29.052的通解的通解求方程求方程 yyy解解 特征方程特征方程0522 rr故所求通解为故所求通解为 y例例特征根特征根)2sin2cos(21xCxCex ir2121 ，30/29例例 解初值问题解初值问题 . 2, 4, 09241600 xxyyyyy解解 特征方程特征方程0924162 rr特征根特征根43 r所以方程的通解为所以方程的通解为41 CxexCy432)4( xexCCy4322433 4(二重根二重根)00 12 C特解特解.)4(43xexy 002xexCC4321)( y31/2901)1(1)( yPyPyPynnnn特征方程特征方程0111 nnnnPr
20、PrPr特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项rxkkexCxCC)(121 sin)(cos)(121121xxDxDDxxCxCCekkkkx 若是若是k重根重根r若是若是k重共轭重共轭复根复根 i 二、高阶常系数齐次线性方程解法32/29例例解解(5)(4)55150.yyyy求求方方程程的的通通解解特征方程特征方程543255150,rrrr1234,50,3,12 .rrrri故所求通解为故所求通解为特征根特征根012()xyCC x e22(3)(25)0.rrrr即即45(cos2sin2 )xeCxCx312345(cos2sin2 )xxCC xC eeCxCx
21、33xC e 02为为 重重根根33r 为为单单根根4,512ri为为共共轭轭复复根根33/29特征根特征根),( 11单根单根 r故所求通解故所求通解 xeCy1解解01222345 rrrrr特征方程特征方程0)1)(1(22 rr.022)4()5(的通解的通解求方程求方程 yyyyyy例例,)(32,共轭复根共轭复根二重二重ir 对应的特解对应的特解xey 1,cos2xy ,sin3xy ,cos4xxy xxysin5 xxCCcos)(32xxCCsin)(54 34/29(3) 根据特征根的不同情况根据特征根的不同情况,得到相应的通解得到相应的通解 (1) 写出相应的特征方程写出相应的特征方程(2) 求出特征根求出特征根二阶常系数齐次线性方程二阶常系数齐次线性方程02 qprr0 qyypy特征根的情况特征根的情况通解的表达式通解的表达式实根实根21rr xrxreCeCy2121 实根实根21rr xrexCCy2)(21复根复根)sincos(21xCxCeyx 求通解的步骤求通解的步骤: ir21，小结小结35/29四、作业四、作业
