1、12第八章第八章 非线性控制系统分析非线性控制系统分析 本章主要内容：本章主要内容：一、非线性控制系统概述一、非线性控制系统概述二、常见非线性特性及其对系统运动的影响二、常见非线性特性及其对系统运动的影响三、描述函数法三、描述函数法3本章要求本章要求 : :1 1、了解非线性系统的特点、了解非线性系统的特点2 2、了解常见非线性特性及其对系统运动的影响、了解常见非线性特性及其对系统运动的影响3 3、掌握研究非线性系统描述函数法、掌握研究非线性系统描述函数法第八章、非线性控制系统分析第八章、非线性控制系统分析 4本节主要内容：本节主要内容：1 1、研究非线性控制理论的意义、研究非线性控制理论的意
2、义2 2、非线性系统的特征、非线性系统的特征3 3、非线性系统的分析与设计方法、非线性系统的分析与设计方法一、非线性控制系统概述一、非线性控制系统概述 51 1、研究非线性控制理论的意义、研究非线性控制理论的意义 由于由于组成控制系统的各元件的动态和静态特性都存在着组成控制系统的各元件的动态和静态特性都存在着 不同程度的非线性不同程度的非线性，所以，所以, ,实际上，理想的线性系统并不存实际上，理想的线性系统并不存在。以随动系统为例，放大元件由于受电源电压或输出功在。以随动系统为例，放大元件由于受电源电压或输出功率的限制，在输入电压超过放大器的线性工作范围时，输率的限制，在输入电压超过放大器的
3、线性工作范围时，输出呈出呈饱和现象饱和现象，如下图，如下图(a)(a)所示；执行元件电动机，由于轴所示；执行元件电动机，由于轴上存在着摩擦力矩和负载力矩，只有在电枢电压达到一定上存在着摩擦力矩和负载力矩，只有在电枢电压达到一定数值后，电机才会转动，存在着数值后，电机才会转动，存在着死区死区，而当电枢电压超过，而当电枢电压超过一定数值时电机的转速将不再增加，出现一定数值时电机的转速将不再增加，出现饱和现象饱和现象，其特，其特征如下图所示征如下图所示 (b) (b) ；又如传动机构，受加工和装配精度的限；又如传动机构，受加工和装配精度的限制，换向时存在着制，换向时存在着间隙特性间隙特性，如下图所示
4、，如下图所示(c) (c) 。 一、非线性控制系统概述一、非线性控制系统概述( (1 1) ) 6一、非线性控制系统概述一、非线性控制系统概述( (2 2) ) 7一、非线性控制系统概述一、非线性控制系统概述( (3 3) ) 8一、非线性控制系统概述一、非线性控制系统概述( (4 4) ) 9 注意，注意，对于非线性程度比较严重，且系统工作范围对于非线性程度比较严重，且系统工作范围较大的非线性系统，较大的非线性系统，只有使用只有使用非线性的分析和设计方法非线性的分析和设计方法，才能得到较为正确的结果。才能得到较为正确的结果。 要对系统进行高性能和高精度的控制，必须针对非要对系统进行高性能和高
5、精度的控制，必须针对非线性系统的数学模型，采用非线性控制理论进行研究。线性系统的数学模型，采用非线性控制理论进行研究。此外，为了改善系统的性能，实现高质量的控制，还必此外，为了改善系统的性能，实现高质量的控制，还必须考虑须考虑非线性控制器的设计非线性控制器的设计。例如，为了获得最短时间。例如，为了获得最短时间控制，需对执行机构采用继电控制，使其始终工作在最控制，需对执行机构采用继电控制，使其始终工作在最大电压或最大功率下，充分发挥其调节能力；这了兼顾大电压或最大功率下，充分发挥其调节能力；这了兼顾系统的响应速率和稳态精度，需使用变增益控制器。系统的响应速率和稳态精度，需使用变增益控制器。 一、
6、非线性控制系统概述一、非线性控制系统概述( (5 5) ) 10 注意：注意：非线性特性千差万别，对于非线非线性特性千差万别，对于非线性系统，目前还没有统一的且普遍适用的性系统，目前还没有统一的且普遍适用的处理方法。线性系统是非线性系统的特例，处理方法。线性系统是非线性系统的特例，线性系统的分析和设计方法在非线性控制线性系统的分析和设计方法在非线性控制系统的研究中仍将发挥非常重要的作用系统的研究中仍将发挥非常重要的作用。 一、非线性控制系统概述一、非线性控制系统概述( (6 6) ) 11一、非线性控制系统概述一、非线性控制系统概述( (7 7) ) 12一、非线性控制系统概述一、非线性控制系
7、统概述( (8 8) ) 13一、非线性控制系统概述一、非线性控制系统概述( (9 9) ) 14 （2 2）可能存在自激振荡现象可能存在自激振荡现象 线性定常系统只有在临界稳定的情况下才能产生周期线性定常系统只有在临界稳定的情况下才能产生周期运动。考虑下图所示系统，设初始件运动。考虑下图所示系统，设初始件 ， ，系统自由运动方程为系统自由运动方程为系统自由运动系统自由运动 根据线性叠加原理，在系统运动过根据线性叠加原理，在系统运动过 程中，一旦有外扰动则使系统输出程中，一旦有外扰动则使系统输出 发生偏离，因而上述周期运动将不发生偏离，因而上述周期运动将不 能维持。所以线性系统在无外界周能维持
8、。所以线性系统在无外界周期变化信号作用时所具有的周期运动不是自激振荡。期变化信号作用时所具有的周期运动不是自激振荡。 一、非线性控制系统概述一、非线性控制系统概述( (1010) ) 0)0(xx0)0(xx02xxn )sin()sin()(002020tAxxarctgtxxtxnn15一、非线性控制系统概述一、非线性控制系统概述( (1111) ) 16 必须指出，长时间大幅度的振荡会造成机械磨损，增加必须指出，长时间大幅度的振荡会造成机械磨损，增加控制误差，因此多数情况下不希望系统有自振发生。但在控控制误差，因此多数情况下不希望系统有自振发生。但在控制中通过引入高频小幅度的颤振，可克服
9、间隙、死区等非线制中通过引入高频小幅度的颤振，可克服间隙、死区等非线性因素的不良有影响。而在振动试验中，还必须使系统产生性因素的不良有影响。而在振动试验中，还必须使系统产生稳定的周期运动。因此稳定的周期运动。因此研究自振的产生条件及抑制，确定自研究自振的产生条件及抑制，确定自振的频率和周期，是非线性系统分析的重要内容。振的频率和周期，是非线性系统分析的重要内容。（3 3）频率响应发生畸变）频率响应发生畸变 非线性系统的频率响应除了含有与输入同频率的正弦信非线性系统的频率响应除了含有与输入同频率的正弦信号分量（基频分量）外，还含有关于号分量（基频分量）外，还含有关于 的高次谐波分量，的高次谐波分
10、量，使输出波形发生非线性畸变。若系统含有多值非线性环节，使输出波形发生非线性畸变。若系统含有多值非线性环节，输出的各次谐波分量的幅值还可能发生跃变。输出的各次谐波分量的幅值还可能发生跃变。一、非线性控制系统概述一、非线性控制系统概述( (1212) ) 173 3、非线性系统的分析与设计方法非线性系统的分析与设计方法 一般情况求在线性微分方程的解析解，只能采用工程上一般情况求在线性微分方程的解析解，只能采用工程上适用的近似方法。本章介绍以下三种方法：适用的近似方法。本章介绍以下三种方法：（1 1）相平面法）相平面法 相平面法是推广应用时域分析法的一种图解分析方法。相平面法是推广应用时域分析法的
11、一种图解分析方法。该方法通过在相平面上绘制相轨迹曲线，确定非线性微分方该方法通过在相平面上绘制相轨迹曲线，确定非线性微分方程在不同初始条件下解的运动形式。程在不同初始条件下解的运动形式。相平面法仅适用于一阶相平面法仅适用于一阶和二阶系统。和二阶系统。（2 2）描述函数法描述函数法 描述函数法是基于频域分析法和非线性特性谐波线性化描述函数法是基于频域分析法和非线性特性谐波线性化的一种图解分析方法。的一种图解分析方法。 一、非线性控制系统概述一、非线性控制系统概述( (1313) ) 18 描述函数法对于满足结构要求的一类非线性系统，通过描述函数法对于满足结构要求的一类非线性系统，通过谐波线性化，
12、将非线性特性近似表示为复变增益环节，然后谐波线性化，将非线性特性近似表示为复变增益环节，然后推广应用频率法，推广应用频率法，分析非线性系统的稳定性或自激振荡分析非线性系统的稳定性或自激振荡。（3 3）逆系统法）逆系统法 逆系统法是运用内环非线性反馈控制，构成伪线性系统，逆系统法是运用内环非线性反馈控制，构成伪线性系统，并以此为基础，设计外环控制网络。该方法应用数学工具并以此为基础，设计外环控制网络。该方法应用数学工具直接研究非线性控制问题，不必求解非线性系统的运动方直接研究非线性控制问题，不必求解非线性系统的运动方程，是非线性系统控制研究的发展方向。程，是非线性系统控制研究的发展方向。 一、非
13、线性控制系统概述一、非线性控制系统概述( (1414) ) 19 1 1、非线性特性的等效增益非线性特性的等效增益 定义非线性环节输出定义非线性环节输出y 和输入和输入x 的比值为等效增益的比值为等效增益应当指出，比例环节的增益为常值，输出和输入呈线性关系，应当指出，比例环节的增益为常值，输出和输入呈线性关系，而上式所示非线性环节的等效增益为变增益，因而可将非线而上式所示非线性环节的等效增益为变增益，因而可将非线性特性视为变增益比例环节。当然，比例环节是变增益比例性特性视为变增益比例环节。当然，比例环节是变增益比例环节的特例。环节的特例。 二、常见非线性特性及其对系统运动的影响二、常见非线性特
14、性及其对系统运动的影响( (1 1) ) xxfxyk)(20二、常见非线性特性及其对系统运动的影响二、常见非线性特性及其对系统运动的影响( (2 2) ) 21二、常见非线性特性及其对系统运动的影响二、常见非线性特性及其对系统运动的影响( (3 3) ) 22二、常见非线性特性及其对系统运动的影响二、常见非线性特性及其对系统运动的影响( (4 4) ) 23 4 4、间隙特性间隙特性 齿轮、蜗轮轴的加工及装齿轮、蜗轮轴的加工及装配误差或磁滞效应是形成间隙配误差或磁滞效应是形成间隙特性的主要原因。特性的主要原因。如下图所示。如下图所示。间隙特性为非单值函数。间隙特性为非单值函数。二、常见非线性
15、特性及其对系统运动的影响二、常见非线性特性及其对系统运动的影响( (5 5) ) 24 5 5、摩擦特性摩擦特性 摩擦特性是机械传动机构中普遍摩擦特性是机械传动机构中普遍存在的非线性特性。摩擦力阻挠系统存在的非线性特性。摩擦力阻挠系统的运动，即表现为与物体运动方向相的运动，即表现为与物体运动方向相反的制动力。摩擦力一般表示为三种反的制动力。摩擦力一般表示为三种形式的组合，如图右所示。形式的组合，如图右所示。F F1 1是物体是物体开始运动所需克服的静摩擦力；开始运动所需克服的静摩擦力； F F2 2为为动摩擦力动摩擦力; ;第三种摩擦力为粘性摩擦第三种摩擦力为粘性摩擦力，与物体运动的滑动平面相
16、对速率力，与物体运动的滑动平面相对速率成正比。成正比。 二、常见非线性特性及其对系统运动的影响二、常见非线性特性及其对系统运动的影响( (6 6) ) 252 2、常见非线性因素对系统运动的影响常见非线性因素对系统运动的影响 为便于定性分析，采用图下所示的结构形式，图中为便于定性分析，采用图下所示的结构形式，图中K K为为非线性特性的等效增益，非线性特性的等效增益，G(s)G(s)为线性部分的传递函数，为线性部分的传递函数，KK为线性部分的开环根轨迹增益。当忽略或不考虑非线性为线性部分的开环根轨迹增益。当忽略或不考虑非线性因素，即因素，即K K为常数时，非线性系统变为线性系统，因此非为常数时，
17、非线性系统变为线性系统，因此非线性系统的分析可在线性系统分析的基础上加以推广。线性系统的分析可在线性系统分析的基础上加以推广。非线性因素对系统运动的影响通过增益的变化改变系统非线性因素对系统运动的影响通过增益的变化改变系统的闭环极点的位置，因而仍可采用根轨迹分析法。的闭环极点的位置，因而仍可采用根轨迹分析法。 二、常见非线性特性及其对系统运动的影响二、常见非线性特性及其对系统运动的影响( (7 7) ) 26二、常见非线性特性及其对系统运动的影响二、常见非线性特性及其对系统运动的影响( (8 8) ) 27二、常见非线性特性及其对系统运动的影响二、常见非线性特性及其对系统运动的影响( (111
18、1) ) 28（3 3）饱和特性饱和特性 饱和特性的等效增益曲线表明，饱和现象将使饱和特性的等效增益曲线表明，饱和现象将使系统的系统的开环增益在饱和区时下降开环增益在饱和区时下降。控制系统设计。控制系统设计时，为使功放元件得到充分利用，应注使功放级时，为使功放元件得到充分利用，应注使功放级首先进入饱和；为获得较好的动态性能，应通过首先进入饱和；为获得较好的动态性能，应通过合适选择线性区增益和饱和电压，使系统既能获合适选择线性区增益和饱和电压，使系统既能获得较小的超调量，又能保证较大的开环增益，减得较小的超调量，又能保证较大的开环增益，减小稳态误差。饱和区对系统闭环极点的分析过程小稳态误差。饱和
19、区对系统闭环极点的分析过程与继电特性类同。与继电特性类同。 二、常见非线性特性及其对系统运动的影响二、常见非线性特性及其对系统运动的影响( (1212) ) 29二、常见非线性特性及其对系统运动的影响二、常见非线性特性及其对系统运动的影响( (1313) ) 30（5 5）摩擦特性摩擦特性 摩擦对系统性能的影响最主要的是摩擦对系统性能的影响最主要的是造成系统低速运动的造成系统低速运动的不平滑性不平滑性，即当系统的输入轴作低速平稳运转时，输出轴的，即当系统的输入轴作低速平稳运转时，输出轴的旋转呈现跳跃式的变化。这种低速爬行现象是由静摩擦到动旋转呈现跳跃式的变化。这种低速爬行现象是由静摩擦到动摩擦
20、的跳变产生的。摩擦的跳变产生的。传动机构的结构图如下图所示传动机构的结构图如下图所示。 以上主要是通过等效以上主要是通过等效增益概念在一般意义上针增益概念在一般意义上针对特定的系统定性分析了对特定的系统定性分析了常见非线性因素对系统性常见非线性因素对系统性能的影响，能的影响，在其它情况下在其它情况下不一定适用，具体问题必不一定适用，具体问题必须具体分析。须具体分析。 二、常见非线性特性及其对系统运动的影响二、常见非线性特性及其对系统运动的影响( (1414) ) 31三、描述函数法三、描述函数法 描述函数法是描述函数法是达尼尔（达尼尔（P.J.Daniel）于于1940年年首先提出的，其首先提
21、出的，其基本思想是：当系统满足一定的基本思想是：当系统满足一定的假设条件时，系统中非线性环节在正弦信号作用假设条件时，系统中非线性环节在正弦信号作用下的输出可用一次谐波分量来近似，由此导出非下的输出可用一次谐波分量来近似，由此导出非线性环节的近似等效频率特性，即描述函数线性环节的近似等效频率特性，即描述函数。这这时非线性系统就近似等效为一个线性系统，并可时非线性系统就近似等效为一个线性系统，并可应用线性系统理论中的频率法对系统进行频域分应用线性系统理论中的频率法对系统进行频域分析。析。 描述函数法只能用来研究系统的描述函数法只能用来研究系统的频率响应特性频率响应特性，不能给出时间响应的确切信息
22、。不能给出时间响应的确切信息。 32三、描述函数法三、描述函数法（1 1）33三、描述函数法三、描述函数法（2 2）1010)sin()sincos()(nnnnnntnYAtnBtnAAty34三、描述函数法三、描述函数法（3 3）35三、描述函数法三、描述函数法（4）036三、描述函数法三、描述函数法（5 5）37三、描述函数法三、描述函数法（6）38三、描述函数法三、描述函数法（7 7）39三、描述函数法三、描述函数法（8 8）40由定积分公式得由定积分公式得则该非线性元件的描述函数为则该非线性元件的描述函数为 三、描述函数法三、描述函数法（9 9）33116322834424AAAAB
23、2116321)(AABAN41（2 2）非线性系统描述函数法分析的应用条件）非线性系统描述函数法分析的应用条件 1）非线性系统应简化个非线性环节和一个线性部分闭环连）非线性系统应简化个非线性环节和一个线性部分闭环连接的典型结构形式，如图所示。接的典型结构形式，如图所示。 三、描述函数法三、描述函数法（1010）42三、描述函数法三、描述函数法（1111）43三、描述函数法三、描述函数法（1212）44三、描述函数法三、描述函数法（1313）45三、描述函数法三、描述函数法（1414）)(ty46三、描述函数法三、描述函数法（1515）47死区饱和特性的描述函数为死区饱和特性的描述函数为 取取
24、 ，由上式得饱和特性的描述函数为，由上式得饱和特性的描述函数为 三、描述函数法三、描述函数法（1616） 2211arcsinarcsin2)(AAAaAaAAaKAN022( )arcsin1KaaaN AAAA，aA48三、描述函数法三、描述函数法（1717）49 输出输出 的数学表达式为的数学表达式为 三、描述函数法三、描述函数法（1818）)(ty, 0, 0)(Mtyttt2211050三、描述函数法三、描述函数法（1919）51死区滞环继电特性的描述函数为死区滞环继电特性的描述函数为 取取 ，得理想继电特性的描述函数为，得理想继电特性的描述函数为取取 ，得死区继电特性的描述函数为，
25、得死区继电特性的描述函数为 三、描述函数法三、描述函数法（2020）22222( )11(1)MmhhMhN AjmAAAA，hA0hAMAN4)(1m214)(AhAMAN52取取 ，得滞环继电特性的描述函数为，得滞环继电特性的描述函数为 书书中表中表81列出了一些典型非线性特性的描述函数，列出了一些典型非线性特性的描述函数，以供查用。以供查用。 三、描述函数法三、描述函数法（2121）1m22414)(AMhjAhAMAN533 3、非线性系统的简化非线性系统的简化 等效变换的原则是在等效变换的原则是在 条件下，根据非线性特条件下，根据非线性特性的串、并联，简化非线性部分为一个等效非线性环
26、节，然性的串、并联，简化非线性部分为一个等效非线性环节，然后简化线性部分。后简化线性部分。 （1 1）非线性特性的并联）非线性特性的并联 由描述函数定义，并联等效非线性特性的描述函数为由描述函数定义，并联等效非线性特性的描述函数为各非线性特性描述函数的代数和。见下图。各非线性特性描述函数的代数和。见下图。 三、描述函数法三、描述函数法（2222）0)(tr54（2 2）非线性特性的串联）非线性特性的串联 若两个非线性环节串联，可采用图解法简化。以死若两个非线性环节串联，可采用图解法简化。以死 区区特性和死区饱和特性串联简化为例。特性和死区饱和特性串联简化为例。 通常，先将两个非线性特性按下张图
27、（通常，先将两个非线性特性按下张图（a）、（）、（b）形）形式放置，就可以确定等效非线性的参数。式放置，就可以确定等效非线性的参数。 三、描述函数法三、描述函数法（2323）55三、描述函数法（三、描述函数法（23）56三、描述函数法三、描述函数法（2424）57 应该指出，两个非线性环节的串联，应该指出，两个非线性环节的串联，等效特等效特性还取决于其前后次序。调换次序则等效非线性性还取决于其前后次序。调换次序则等效非线性特性亦不同。特性亦不同。描述函数需按等效非线性环节的特描述函数需按等效非线性环节的特性计算。多个非线性特性串联，可按上述两个非性计算。多个非线性特性串联，可按上述两个非线性环
28、节串联简化方法，依由前向后顺序逐一加线性环节串联简化方法，依由前向后顺序逐一加以简化。以简化。（3 3）线性部分的等效变换）线性部分的等效变换 三、描述函数法三、描述函数法（2525）58三、描述函数法三、描述函数法（2626）59三、描述函数法三、描述函数法（2727）60三、描述函数法三、描述函数法（2828）61三、描述函数法三、描述函数法（2929）62三、描述函数法三、描述函数法（3030）63三、描述函数法三、描述函数法（3131）64三、描述函数法三、描述函数法（3232）65三、描述函数法三、描述函数法（3333）66三、描述函数法三、描述函数法（3434）67三、描述函数法三、描述函数法（3535）68三、描述函数法三、描述函数法（3636）69三、描述函数法三、描述函数法（3737）70三、描述函数法三、描述函数法（3838）71三、描述函数法三、描述函数法（3939）72三、描述函数法三、描述函数法（4040）
