1、=【 ;精品教育资源文 库 】 = 课时达标 第 49 讲 圆锥曲线的综合问题 解密考纲 圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，体现了函数与方程思想和数形结合的思想，常以求曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主在高考中进行考查其目标是考查学生几何问题代数化的应用、运算能力和分析解决问题的能力 1已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，焦距为 2，离心率为 12. (1)求椭圆 C 的方程； (2)设直线 l 经过点 M(0,1)，且与椭圆 C 交于 A， B 两点，若 AM 2MB ，求直线 l 的方程 解析 (1)设椭圆方程为 x2a2y2b2 1(ab0) 因为
2、 c 1， ca 12，所以 a 2， b 3， 所以椭圆方程为 x24y23 1. (2)由题得直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y kx 1， 则由? y kx 1，x24y23 1，得 (3 4k2)x2 8kx 8 0，且 0. 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则由 AM 2MB ，得 x1 2x2. 又? x1 x2 8k3 4k2，x1 x2 83 4k2，所以? x2 8k3 4k2， 2x22 83 4k2，消去 x2得 ? ?8k3 4k2 2 43 4k2，解得 k2 14， k 12， 所以直线 l 的方程为 y 12x 1， 即 x 2y 2 0
3、 或 x 2y 2 0. 2 (2017 全国卷 )在直线坐标系 xOy 中，曲线 y x2 mx 2 与 x 轴交于 A， B 两点，点 C 的坐标为 (0,1)当 m 变化时，解答下列问题： (1)能否出现 AC BC 的情况？说明 理由 (2)证明：过 A， B， C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值 解析 (1)不能出现 AC BC 的情况理由如下： 设 A(x1,0)， B(x2,0)，则 x1， x2满足 x2 mx 2 0， 所以 x1x2 2. =【 ;精品教育资源文 库 】 = 又点 C 的坐标为 (0,1)， 故 AC 的斜率与 BC 的斜率之积为 1x1 1x2 12
4、， 所以不能出现 AC BC 的情况 (2)证明： BC 的中点坐标为 ? ?x22， 12 ，可得 BC 的中垂线方程为 y 12 x2? ?x x22 . 由 (1)可得 x1 x2 m， 所以 AB 的中垂线方程为 x m2. 联立? x m2，y 12 x2? ?x x22 ，又 x22 mx2 2 0，可得? x m2，y 12.所以过 A， B， C 三点的圆的圆心坐标为 ? ? m2， 12 ，半径 r m2 92 . 所以圆在 y 轴上截得的弦长为 2 r2 ? ?m2 2 3. 故过 A， B， C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值 3已知椭圆 C： x2a2y2b2 1
5、(ab0)过点 ?1， 32 ，且长轴长等于 4. (1)求椭圆 C 的方程； (2)F1， F2是椭圆 C 的两个焦点，圆 O 是以 F1F2为直径的圆，直线 l： y kx m 与圆 O相切，并与椭圆 C 交于不同的两点 A， B，若 OA OB 32，求 k 的值 解析 (1)由题意椭圆的长轴长 2a 4，解得 a 2. 因为 点 ? ?1， 32 在椭圆上，所以 14 94b2 1，解得 b2 3， 所以椭圆 C 的方程为 x24y23 1. (2)由直线 l 与圆 O 相切，得 |m|1 k2 1，即 m2 1 k2. 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， =【 ;精品教育
6、资源文 库 】 = 由? x24y23 1，y kx m消去 y，整理得 (3 4k2)x2 8kmx 4m2 12 0. 由题意可知圆 O 在椭圆内，所以直线必与椭圆相交， 所以 x1 x2 8km3 4k2， x1 x2 4m2 123 4k2 ， y1 y2 (kx1 m)(kx2 m) k2x1 x2 km(x1 x2) m2 k2 4m2 123 4k2 km ? 8km3 4k2 m2 3m2 12k23 4k2 . 所以 x1x2 y1y2 4m2 123 4k2 3m2 12k23 4k2 7m2 12k2 123 4k2 . 因为 m2 1 k2， 所以 x1x2 y1y2
7、5 5k23 4k2 . 又因为 OA OB 32， 所以 5 5k23 4k2 32， 解得 k2 12， 所以 k 22 . 4如图，已知抛物线 C： y2 4x，过点 A(1,2)作抛物线 C 的弦 AP， AQ.若 AP AQ，证明：直线 PQ 过定点，并求出定点的坐标 证明 设直线 PQ 的方程为 x my n，点 P， Q 的坐标分别为 P(x1， y1)， Q(x2， y2)由? x my n，y2 4x， 得 y2 4my 4n 0， 由 0，得 m2 n0， y1 y2 4m， y1 y2 4n. AP AQ， AP AQ 0， (x1 1)(x2 1) (y1 2)(y2
8、2) 0. 又 x1 y214， x2y224， (y1 2)(y2 2)(y1 2)(y2 2) 16 0. (y1 2)(y2 2) 0 或 (y1 2)(y2 2) 16 0. n 2m 1 或 n 2m 5， 0 恒成立 ， n 2m 5. 直线 PQ 方程为 x 5 m(y 2)， =【 ;精品教育资源文 库 】 = 直线 PQ 过定点 (5， 2) 5已知点 A(x1， y1)， B(x2， y2)是抛物线 y2 4x 上相异两点，且满足 x1 x2 2. (1)若 AB 的中垂线经过点 P(0,2)，求直线 AB 的方程； (2)若 AB 的中垂线交 x 轴于点 M，求 AMB
9、的面积的最大值及此时直线 AB 的方程 解析 (1)根据题意，设 AB 的中点为 Q(1， t)， 则 kAB y2 y1x2 x1 y2 y1y224y214 2t. 由 P， Q 两点得线段 AB 的中垂线的斜率 k t 2， 由 (t 2) 2t 1，得 t 43. 直线 AB 的方程为 y 32x 16. (2)由 (1)知直线 AB 的方程为 y t 2t(x 1)，线段 AB 的中垂线方程为 y t t2(x1)，即 y t2(x 3)，所以中垂线交 x 轴于点 M(3,0)，点 M 到直线 AB 的距离 d t2 4t2 4t2 4. 由? y t 2t x ，y2 4x，得 4
10、x2 8x (t2 2)2 0， x1 x2 2， x1x2 t2 24 ， |AB| 1 4t2| x1 x2| t2 t2 ， S 12|AB| d 12 t2 2 t2 24 t2 t2 2t2 24 ? ?163 3 16 69 . 当 t2 43时， S 有最大值 16 69 ， 此时直线 AB 的方程为 3x 3y 1 0. 6 (2018 四川成都摸底测试 )在平面直角坐标系 xOy 中，已知 ABC 的两个顶点 A， B的坐标分别为 ( 1,0)， (1,0)，且 AC， BC 所在直线的斜率之积等于 2，记顶点 C 的轨迹为曲线 E. (1)求曲线 E 的方程； (2)设直线 y kx 2(0 k 2)与 y 轴相交于点 P，与曲线 E 相交于不同的两点 Q， R(点=【 ;精品教育资源文 库 】 = R 在点 P 和点 Q 之间 )，且 PQ PR ，求实数 的取值范围 解析 (1)设 C(x， y)由题意，可得 yx 1 yx 1 2(x1) ， 曲线 E 的方程为 x2 y22 1(x1) (2)设 R(x1， y1)， Q(x2， y2) 联立得? y kx 2，x2 y22 1，消去 y，可得 (2 k2)x2 4kx 2 0， 8k2 160， k22. 又 01) 联立 ，可得 2 8k22 k2. 21， 实数 的取值范围为 (1,3)
