1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 9 讲 对数与对数函数 考纲要求 考情分析 命题趋势 1.理解对数的概念及其运算性质 ， 知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用 2 理解对数函数的概念及其单调性 ， 掌握对数函数图象通过的特殊点 ， 会画底数为 2,10，12的对数函数的图象 3 体会对数函数是一类重要的函数模型 4 了解指数函数 y ax 与对数函数 ylogax 互为反函数 (a0， 且 a1). 2017 全国卷 ， 8 2017 北京卷， 8 2016 全国卷 ， 8 2016 浙江卷， 5 2015 四川卷， 4 1.对数式的化简与求值 ，
2、 考查对数的运算法则 2 对数函数图象与性质的应用 ， 多考查对数函数的定义域 、 值域 、 单调性 ， 难度不大 3 指数函数 、 对数函数的综合问题 ， 考查反函数的应用 ，与指数函数 、 对数函数有关的方程 、 不等式 、 恒成立问题 ， 综合性强 ， 难度稍大 . 分值： 5 7分 1 对数的概念 (1)对数的定义 如果 ax N(a0， 且 a1) ， 那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数 ， 记作 _x logaN_， 其中_a_叫做对数的底数 ， _N_叫做真数 (2)几种常见对数 对 数形式 特点 记法 一般对数 底数为 a(a0， 且 a1) _logaN_ 常用对数 底
3、数为 _10_ _lg_N_ 自然对数 底数为 _e_ _ln_N_ 2 对数的性质与运算法则 =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)对数的性质 alogaN _N_； logaaN _N_(a0， 且 a1) (2)对数的重要公式 换底公式： _logbN logaNlogab_(a， b 均大于零 ， 且不等于 1)； logab 1logba， 推广 logablog bcl ogcd _logad_. (3)对数的运算法则 如果 a0， 且 a1 ， M0， N0， 那么 loga(MN) _logaM logaN_； logaMN _logaM logaN_； logaMn _nl
4、ogaM_(n R)； logamMn _nmlogaM_(m， n R， 且 m0) 3 对数函数的图象与性质 a1 01 时 ， _y0_； 当 01 时 ， _y0_ 在 (0， ) 上是 _增函数 _ 在 (0， ) 上是 _减函数 _ y logax 的图象与 y log1ax(a0， 且 a1) 的图象关于 x 轴对称 4 指数函数与对数函数的关系 指数函数 y ax(a0， 且 a1) 与对数函数 _y logax(a0， 且 a1) _互为反函数 ， 它们的图象关于直线 _y x_对称 5 对数函数的图象与底数大小的比较 如图 ， 作直线 y 1， 则该直线与四个函数图象交点的
5、横坐标为相应的底数 =【 ;精品教育资源文库 】 = 故 0y1.故选 D 4 函数 y log0.5?4x 3?的定义域为 ( C ) A?x? x34 B?x? 340， a log2m， b log5m， 1a 1b 1log2m 1log5m logm2 logm5 logm10 2. m2 10， m 10. =【 ;精品教育资源文库 】 = 二 对数函数的图象及应用 在识别函数图象时 ， 要善于利用已知函数的性质 、 函数图象上的特殊点 (与坐标轴的交点 、 最高点 、 最低点等 )排除不符合要求的选项在研究方程的根时 ， 可把方程的根看作两个函数图象交点的横坐标 ， 通过研究两个
6、函数图象得出方程根的关系一些对数型方程 、 不等式问题常转化为相应的函数图象问题 ， 利用数形结合法求解 【例 2】 (1)函数 f(x) lg 1|x 1|的大致图象是 ( D ) (2)若 a 2x， b x， c log12x， 则 “ abc” 是 “ x1” 的 ( B ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 (3)若不等式 4x2 logax1” ?“ abc” ， 但 “ abc” ?/ “ x1” ， 即 “ abc” 是 “ x1”的必要不充分条件故选 B (3) 不等式 4x2 logaxbc B acb C cab D bac (2)函
7、数 f(x) loga(ax 3)在 1,3上单调递增 ， 则 a 的取值范围是 ( D ) A (1， ) B (0,1) C ? ?0， 13 D (3， ) 解析 (1)01， log213 log23ac.故选 D (2)由于 a0， 且 a1 ， u ax 3 为增函数 ， 若函数 f(x)为增函数 ， 则 f(x) logau必为增函数 ， 因此 a1.又 u ax 3 在 1,3上恒为正 ， a 30， 即 a3. 1 下列四个命题： ? x0 (0， ) ， ? ?12 x0log13x0； =【 ;精品教育资源文库 】 = ? x (0， ) ， ? ?12 xlog12x；
8、 ? x ? ?0， 13 ， ? ?12 x0 时 ， 4(a 1)2 12(a2 1)0 ， 解得 2 a0， 若 |f(x)| ax， 则 a 的取值范围是 _2,0_. 解析 |f(x)|? x2 2x， x0 ，ln?x 1?， x0， 由 |f(x)| ax， 分两种情况： 由? x0 ，x2 2x ax 恒成立 ， 可得 a x 2 恒成立 ， 则 a( x 2)max， 即 a 2； 由? x0，ln?x 1? ax 恒成立 ， 并根据函数图象可知 a0. 综合 (1)(2)， 得 2 a0. 易错点 忽视对数的真数大于零 =【 ;精品教育资源文库 】 = 错因分析：解决对数问
9、题时 ， 忽视对数的真数大于零造成错解 【例 1】 函数 y log12(2x2 3x 1)的递减区间为 ( ) A (1， ) B ? ? ， 34 C ? ?12， D ? ?34， 解析 由 2x2 3x 10， 得 x1 或 x1或 x0， 得 x4.因此 ， 函数 f(x) ln(x2 2x 8)的定义域是 ( ， 2) (4， ) 又因为函数 y x2 2x 8 在 (4， ) 上单调递增 ， 由复合函数的单调性知 ， f(x) ln(x2 2x 8)的单调递增区间是 (4， ) 故选 D 课时达标 第 9 讲 解密考纲 本考点主要考查对数的运算 、 对数函数的图象与性质 、 简单
10、复合函数的单调性等 ， 通常以选择题 、 填空题的形式呈现 ， 题目难度中等或中等偏上 一 、 选择题 1 函数 y lg?x 1?x 1 的定义域是 ( C ) A ( 1， ) B 1， ) C ( 1,1) (1， ) D 1,1) (1， ) 解析 要使 lg?x 1?x 1 有意义 ， 需满足 x 10 且 x 10 ， 得 x 1 且 x1. 2 若 02xlg x B 2xlg x x C 2x xlg x D lg x x2x 解析 01,0 xlg x故选 C =【 ;精品教育资源文库 】 = 3 函数 f(x) log12(x2 4)的单调递增区间是 ( D ) A (0，
11、 ) B ( ， 0) C (2， ) D ( ， 2) 解析 函数 y f(x)的定义域为 ( ， 2) (2， ) ， 因为函数 y f(x)是由 ylog12t 与 t g(x) x2 4 复合而成 ， 又 y log12t 在 (0， ) 上单调递减 ， g(x)在 ( ， 2)上单调递减 ， 所以函数 y f(x)在 ( ， 2)上单调递增故选 D 4 函数 y lg|x 1|的图象是 ( A ) 解析 因为 y lg|x 1|? lg?x 1?， x1，lg?1 x?， x15， ab0，又 c log2790，2 x， x0 ， 则 f(f( 4) f?log216 _8_. 解
12、析 f(f( 4) f(24) log416 2， log2160， 且 a1) (1)求 f(x)的定义域； (2)判断 f(x)的奇偶性并予以证明； (3)当 a1 时 ， 求 f(x)0 的解集 解析 (1)要使函数 f(x)有意义 ， 则? x 10，1 x0， 解得 11 时 ， f(x)在定义域 ( 1,1)内是增函数 ， 所以 f(x)0?x 11 x1， 解得 00 的解集是 (0,1) 11 (2018 云南玉溪一中期中 )函数 f(x) loga(2x2 x)(a 0， 且 a1) (1)若当 x ? ?0， 12 时 ， 都有 f(x) 0 恒成立 ， 求 a 的取值范围；
