1、A ( )A t ()A tt MNO()( )(2.1)AA ttA t 时，( ),()A tOM A ttON 则()( )A ttA tMN 叫做矢性函数的增量增量。( )A t 记作( )A t 设有起点在原点的矢性函数，(0)ttt 性变量在其定义域内从变到对应的矢量分别为当数()( )AA ttA ttt 在时，0t 00()( )limlim(2.2)ttdAAA ttA tdttt 若对应于t 的增量A 与t 之比( )A t 则称此极限为矢性函数在点处的导数导数（简( )A t 矢性函数的导数矢性函数的导数内有定义，( )A t 定义设矢性函数在点的某个邻域tt 并设也在此
2、邻域内，其极限存在，( )A t dAdt 称导矢导矢），记作或， 即( )( )( )( )xyzA tA t iA t jA t k 且函数在点可导，( ),( ),( )xyzA tA tA t0000limlimlimlimyzxttttAAAdAAijkdttttt 即( )( )( )( )xyzA tA t iA t jA t k ( )A t 若由下列坐标式给出：则有yzxdAdAdAijkdtdtdt 求矢性函数的导数求矢性函数的导数转化为求三个数性函数的导数转化为求三个数性函数的导数( )cossinraiajb k 求导矢( )r 解：( )( cos )(sin )()
3、raiajbk sincosaiajb k 例1已知圆柱螺旋线的矢量方程为1( )cossin( )sincoseijeij 试证明：111( )( ),( )( ), ( )( )eeeeee 证：1( )(cos )(sin)sincos( )eijije 1( )( )cos ( sin)sincos0ee1( )( sin)(cos )cossin( )eijije 1( )( )ee证毕( )e 1( )e xyO引入圆函数，( )( )raeb k 其导矢为1( )( )raebk ( )e 为一单位矢量，故其矢端曲线为一单位圆，( )e 因此又叫圆函数；1( )e 也为单位矢量，
4、同样的，其矢端曲线也是一单位圆。圆柱螺旋线的方程可写成( )A t At A ( )A t ()A tt MNOlA At ( )A t ( )A t ()A tt MNOl如图，为的矢端曲线( )A t 0t 当时，0t 当时，、导矢的几何意义、导矢的几何意义At 是在的割线上的一个矢量。系指向对应值增大的一方；A 但此时指向对应减少的一方At 从而仍指向对应值增大的一方。A 其指向与一致A 其指向与相反在时，由于割线绕点转动，0t 0( )limtAA tt 当其不为零时，是在点处的切线上，以点的切线为其极限位置，At 矢量，此时，在割线上的且其极限位置也在它的切线上，即导矢方向恒指向对应
5、增大的一方。且其导矢在几何上，为一矢端曲线的切向量导矢在几何上，为一矢端曲线的切向量指向对应增大的一方指向对应增大的一方（）微分的概念与几何意义( )()(2.4)dAA t dtdtt (0)dA dt OML( )A t ( )A t设有矢性函数，称( )A t 为矢性函数在处的微分微分。( )A t由于微分是导矢与增量dA t 0dt ( )A t 当时，与的方向一致；0dt ( )A t 当时，与的方向相反。其指向：3、矢性函数的微分、矢性函数的微分的乘积， 则它是一个矢量， 而且与( )A t 导矢一样，( )A t 也在点处与的矢端曲线相切。(0)dA dt 微分的坐标表示式微分的
6、坐标表示式( )( )( )( )xyzdAA t dtA t dtiA t dt jA t dtk 或(2.5)xyzdAdA idA jdA k 例.设( )cossinraibj 求：及dr dr 解：( cos )(sin )drd aid bj sincos(sincos)ad ibdjaibj d 222222(sin)( cos)sincosdradbdabd （2）的几何意义）的几何意义drds 如果将矢性函数看作其( )( )( )( )xyzA tA t iA t jA t k rxiy jzk 这里，( ),( ),( )xyzxA tyA tzA t(2.6)drdxi
7、dy jdzk 其模222(2.7)drdxdydz ( , , )M x y z终点的矢径函数则（2.5）式可写为222dsdxdydz 符号的取法：以点M为界 M0ds 0ds 另一方面，则在上任一点处，弧长的微分是当ds位于s增大一方时，取正号；当ds位于s减小一方时，取负号。0M Ls（规定了正方向）上，0M作为计算弧长的起点，并以之正向作为增大的方向，若在有向曲线取定一点由此知(2.8)drds 即矢性函数的微分的模，drdrdrdsdsdsds 得1(2.9)drdrdsds 结合导矢的几何意义知：例10 例4，例5微分的绝对值。等于（其矢端曲线）弧从而由drds 端曲线的）弧长的
8、导数在几何上为一切线方切线方向单位矢量向单位矢量，方向恒指向增大的一方。矢性函数对（其矢、矢性函数的导数公式、矢性函数的导数公式(1)0dCdt ，（常常矢矢）为为（k为常数）为常数）设矢性函数及数性函数( ),( )AA tBB t(2)()dddABABdtdtdt(3)()ddAkAkdtdt ( )uu t 在的某个范围内可导，该范围内成立则下列公式在(4)()ddudAuAAudtdtdt 特例：22ddAAAdtdt (6)()ddBdAABABdtdtdt (7)dAdA dudtdu dt 证明方法与微积分中数性函数的公式类似(5)()ddBdAA BABdtdtdt 复合函数
9、求导公式：若 ，则( ),( )AA u uu t两端对求导（左端用公式（）的特例），得0(2.10)dAAdt 证明：必要性0dAAdt 若，则有0dAAdt 20dAdt 即常数，所以常数22AA A例.矢性函数的模不变的充要条件是( )A t 22AA A 设常数.则有常数充分性证毕.此例可简单地叙述特别，对单位矢量0( )A t 有00(2.10)dAAdt 如，例中的圆函数，有11( )( )( )( )eeee ( )A t 定长矢量与其导矢互相垂直定长矢量与其导矢互相垂直例.导矢的物理意义设质点在空间运动，( )rr t 这个函数的矢端曲线就是质点的运动轨迹.OM( )r t x
10、yzL 0Ms如图的函数关系为其矢径与时间为了说明的物理意义，drdt drdrdsdtdsdt式中的几何意义是：drds 0M时位于点处，其间在上所经过的路程为，的矢径为路程的函数，数，而成为时间的一个复合函数。导公式有假设质点在时刻经过一段时间后到达点这样，点而又是时间的函( )rr t 从而可以将看作是通过中间变量由复合函数的求在点处的一个切向单位矢量， 指向增大的一方。 因此它表示在点处质点运动的方向， 现以表之。drvdt (2.12)drvvdt 而式中的是路程对时间的变化率。所以它表示在点处质点运动的速度大小，如以表之，则dsdtv若定义二阶导矢，则为质点运动的加速度矢量加速度矢量。22()d rddrdtdtdt 22dvd rdtdt 由此可见，导矢表示质点运动的速度大小和方向，因而它就是质点运动的速度矢量速度矢量即v drdt 例.一质点以常角速度在圆周上运( )rae 22vra 其中为速度的模。vv 证明：1( )drdvaedtdt 22( )()()dvddaerdtdtdt 由于dvvadt 所以22vra 其中为角速度的模，已知其为常数ddt 加速度证毕.动，证明其加速度为
