1、正交试验设计正交试验设计 引言引言 试验设计是数理统计中的一个较大的分支，它的试验设计是数理统计中的一个较大的分支，它的内容十分丰富。我们简介正交试验设计。内容十分丰富。我们简介正交试验设计。 正交试验设计是利用正交试验设计是利用“正交表正交表”进行科学地安排与进行科学地安排与分析多因素试验的方法。其主要优点是能在很多试验分析多因素试验的方法。其主要优点是能在很多试验方案中挑选出代表性强的少数几个试验方案，并且通方案中挑选出代表性强的少数几个试验方案，并且通过这少数试验方案的试验结果的分析，推断出最优方过这少数试验方案的试验结果的分析，推断出最优方案，同时还可以作进一步的分析，得到比试验结果本
2、案，同时还可以作进一步的分析，得到比试验结果本身给出的还要多的有关各因素的信息。身给出的还要多的有关各因素的信息。SNLq 正交表是一种特别的表格，是正交设计的基本工具。正交表是一种特别的表格，是正交设计的基本工具。我们只介绍它的记号、特点和使用方法。我们只介绍它的记号、特点和使用方法。 正交表的记号及含义正交表的记号及含义记号及含义记号及含义 正交表的列数正交表的列数（最多能安排的因素个数，（最多能安排的因素个数，包括交互作用、误差等）包括交互作用、误差等）S正交表的行数正交表的行数（需要做的试验次数）（需要做的试验次数）N各因素的水平数各因素的水平数（各因素的水平数相等）各因素的水平数相等
3、）q正交表正交表的代号的代号L如如 782L表示表示 782L表示各因素的表示各因素的水平数水平数为为2，做做8次试验次试验，最多考虑，最多考虑7个个因素因素（含交互作用）的（含交互作用）的正正交表交表。 正交表的特点正交表的特点1、正交表中任意一列中，不同的数字出现的次数相等；、正交表中任意一列中，不同的数字出现的次数相等；表示：在试验安排中，所挑选出来的水平组合是均匀表示：在试验安排中，所挑选出来的水平组合是均匀 分布的（每个因素的各水平出现的次数相同）分布的（每个因素的各水平出现的次数相同） 均衡分散性均衡分散性2、正交表中任意两列，把同行的两个数字看成有序数、正交表中任意两列，把同行的
4、两个数字看成有序数 对时，所有可能的数对出现的次数相同。对时，所有可能的数对出现的次数相同。表示：任意两因素的各种水平的搭配在所选试验中出现表示：任意两因素的各种水平的搭配在所选试验中出现 的次数相等的次数相等 整齐可比性整齐可比性这是设计正交试验表的基本准则这是设计正交试验表的基本准则 正交试验设计的基本步骤正交试验设计的基本步骤1. 确定目标、选定因素（包括交互作用）、确定水平；确定目标、选定因素（包括交互作用）、确定水平；2. 选用合适的正交表；选用合适的正交表；3. 按选定的正交表设计表头，确定试验方案；按选定的正交表设计表头，确定试验方案；4. 组织实施试验；组织实施试验；5. 试验
5、结果分析。试验结果分析。 例例1 为了解决花菜留种问题，以进一步提高花菜种为了解决花菜留种问题，以进一步提高花菜种子的产量和质量，科技人员考察了浇水、施肥、病害防子的产量和质量，科技人员考察了浇水、施肥、病害防治和移入温室时间对花菜留种的影响，进行了四个因素治和移入温室时间对花菜留种的影响，进行了四个因素各两个水平的正交试验，各因素及其水平如下表：各两个水平的正交试验，各因素及其水平如下表：因素因素水平水平1水平水平2A：浇水次数：浇水次数 不干死为原则，整个不干死为原则，整个生长期只浇水生长期只浇水12次次根据生长需水量和自然根据生长需水量和自然条件浇水，但不过湿条件浇水，但不过湿B：喷药次
6、数：喷药次数 发现病害即喷药发现病害即喷药每半月喷一次每半月喷一次C：施肥次数：施肥次数 开花期施硫酸铵开花期施硫酸铵进室发根期、抽薹期、进室发根期、抽薹期、开花期和结果期各施肥开花期和结果期各施肥一次一次D：进室时间：进室时间 11月初月初11月月15日日解解 第一步：选择适当的正交表第一步：选择适当的正交表 这是一个四因素两水平的正交试验及分析问题，这是一个四因素两水平的正交试验及分析问题，因此要选择因此要选择2SNL型的表，且不考虑交互作用时，型的表，且不考虑交互作用时， 6S ， 782L仍然是满足条件的最小的正交表，仍然是满足条件的最小的正交表，所以选用正交表所以选用正交表 782L
7、注：也可由试验次数应满足的条件来选择正交表。注：也可由试验次数应满足的条件来选择正交表。 若考虑若考虑A与与B、A与与C的交互作用，则的交互作用，则 4S ，而，而 782L是满足条件的最小的正交表，是满足条件的最小的正交表，所以还可选用正交表所以还可选用正交表 782L第二步第二步 表头设计表头设计查交互作用表查交互作用表 表示位于第表示位于第二、第四列的两二、第四列的两因素的交互作用因素的交互作用要放于第六列。要放于第六列。如如 L8（27）的交互作用表）的交互作用表列号列号 1 2 3 4 5 6 7 1 （1） 3 2 5 4 7 6 2 （2） 1 6 7 4 5 3 （3） 7 6
8、 5 4 4 （4） 1 2 3 5 （5） 3 2 6 （6） 1 注意：主效应因素尽量不放交互列。如注意：主效应因素尽量不放交互列。如A、B因因素已放素已放C1、C2列，则列，则C 因素就不放因素就不放C3列。列。花菜留种的表头设计花菜留种的表头设计列号列号 1 2 3 4 5 6 7因子因子A BABCDA C考虑交互作用考虑交互作用A B和和A C，则例，则例1的表头可设计为的表头可设计为 注：第注：第6列为空白列，当随机误差列；也可把第列为空白列，当随机误差列；也可把第7列列作空白列。一般要求至少有一个空白列。作空白列。一般要求至少有一个空白列。按正交表按正交表 得试验方案：得试验方
9、案：782L 只需将各列中的数字只需将各列中的数字“1”、“2”分别理解为所填因素分别理解为所填因素在试验中的水平数，每一行就是一个试验方案。在试验中的水平数，每一行就是一个试验方案。第三步第三步 按所选定的正交试验方案组织试验，记录试验按所选定的正交试验方案组织试验，记录试验 结果；结果； 水 列平 号试验号ABAXB CAXCD产量12345671111111135021112222325312211224254122221142552121212200621221212507221122127582212112375 第四步第四步 分析正交试验结果分析正交试验结果方法方法1 直观分析（极
10、差分析）直观分析（极差分析） （1）计算极差，确定因素的主次顺序）计算极差，确定因素的主次顺序 第第j列的极差列的极差 maxminjijijiiRTT maxminjijijiiRTT或或 极差越大，说明这个因素的水平改变对试验结果的极差越大，说明这个因素的水平改变对试验结果的影响越大，极差最大的那个因素，就是最主要的因素。影响越大，极差最大的那个因素，就是最主要的因素。对例对例1来说，各因素的主次顺序为来说，各因素的主次顺序为 ABA CCDAB（2）确定最优方案）确定最优方案 如果不考虑交互作用，则根据各因素在各水平下的如果不考虑交互作用，则根据各因素在各水平下的总产量或平均产量的高低确
11、定最优方案；如果考虑交互总产量或平均产量的高低确定最优方案；如果考虑交互作用，则取各种搭配下产量的平均数，按优化标准确定作用，则取各种搭配下产量的平均数，按优化标准确定最优方案。最优方案。 本例中，不考虑交互作用，在方案本例中，不考虑交互作用，在方案A1B2C2D2最优，最优，但交互作用但交互作用A C是第三重要因素，所以需考虑是第三重要因素，所以需考虑A、C的搭的搭配对实验指标的影响，取配对实验指标的影响，取AiBj的各种搭配的平均数，结的各种搭配的平均数，结果是果是A1与与C1 搭配最好，故本问题的最优方案为搭配最好，故本问题的最优方案为A1B2C1D2。方法方法2 方差分析法方差分析法
12、基本思想与双因素方差分析方法一致：将总的基本思想与双因素方差分析方法一致：将总的离差平方和分解成各因素及各交互作用的离差平方离差平方和分解成各因素及各交互作用的离差平方和，构造和，构造F统计量，对各因素是否对试验指标具有统计量，对各因素是否对试验指标具有显著影响，作显著影响，作F检验。检验。引例引例112,sr rr1 2rrrr4381 如果有s 个因素，各因素分别有种水平，共有在每一种组合水平上都作一次试验，总共要作种组合水平1 2rrrr次试验。例如例如：有4个因素，每个因素有3种水平，总共要作 次试验。问题：问题：在减少试验次数的条件下，检验每个因素对试验结果的作用是否显著？1. 1.
13、 不考虑交互作用的正交设计不考虑交互作用的正交设计782L列号试验号12345671234567811112222112211221122221112121212121221211221122112212112L 正交表 8试验次数2水平数 7表中最多可安排的因素数正交表正交表493L列号试验号1234567891234111222333123123123123231312123312231例例1 1 为了考察影响某种化工产品转化率的因素，选择三个有关因素：反应温度（反应温度（A）、反应时间（）、反应时间（B）、用碱量（）、用碱量（C）每个因素取三种水平，列表如下： 水平因素123反应温度（A
14、）反应时间（B）用碱量 （C）180()C A285()C A390()C A190()B分2120()B分3150()B分15%()C26%()C37%()C例1对正交表的要求：对正交表的要求：（1）正交表中水平数S与每个因素水平数一致（2）正交表中因子数r大于或等于实际因素数（3）选用试验次数n较少的正交表 493L假设三个因素中的任意二个都没有交互作用。问：问：反应温度、反应时间和用碱量分别对转化率有无显著影响？=选用 将A,B,C三个因素放到表头“列号”的前三列，在表中的组合水平上作试验。，因为试验次数少一些。列号试验号 1 2 3 (A) (B) (C)组合水平试验值1 1 1 3
15、3 2 1 3 3 1 2 2 2 1 2 3 2 1 2 2 3 3 1 3 2 3 1 111A B C122A B C133A B C212A B C223A B C231A B C313A B C321A B C332A B C12345 67891Y2Y3Y4Y5Y6Y7Y8Y9Y假定因素A,B,C没有交互作用。设因素A在水平 因素B在水平123,a a a123,B B B效应效应表示一个因素在某种水平上与总体平均数的偏差。123,b b b123,A A A123,C C C123,c c c1111131333522357313791329,YabcYabcYabcYabcYa
16、bc21222Yabc42124Yabc62316Yabc83218Yabc上的效应分别为上的效应分别为因素C在水平上的效应分别为数学模型数学模型：111112122231333421245223562316731378321891329YabcYabcYabcYabcYabcYabcYabcYabcYabc1230aaa1230bbb1230ccc20,iN约束条件列号试验号 1 2 3 (A) (B) (C)组合水平试验值1 1 1 3 3 2 1 3 3 1 2 2 2 1 2 3 2 1 2 2 3 3 1 3 2 3 1 111A B C122A B C133A B C212A B
17、C223A B C231A B C313A B C321A B C332A B C12345 67891Y2Y3Y4Y5Y6Y7Y8Y9Y检验假设检验假设01123:0Haaa02123:0Hbbb03123:0Hccc记1123,AKYYY3789AKYYY111,3AAkK2456AKYYY221,3AAkK3313AAkK分别表示因素A在1,2,3水平上试验值123,AAAkkk的平均数。列号试验号 1 2 3 (A) (B) (C)组合水平试验值1 1 1 3 3 2 1 3 3 1 2 2 2 1 2 3 2 1 2 2 3 3 1 3 2 3 1 111A B C122A B C1
18、33A B C212A B C223A B C231A B C313A B C321A B C332A B C12345 67891Y2Y3Y4Y5Y6Y7Y8Y9Y令1147,BKYYY3369BKYYY2258BKYYY=因素B在1,2,3水平上试验值的平均数分别为111,3BBkK221,3BBkK3313BBkK=因素C在1,2,3水平上试验值的平均数分别为111,3CCkK3313CCkK221,3CCkK1168,CKYYY3357CKYYY令2249CKYYY试验号ACB转化率1234567891111222333231231231232313123154385349425762
19、64化工产品转化率的试验值化工产品转化率的试验值=试验值的平均值12341,48,61AAAkkk12347,55,48BBBkkk12345,57,48CCCkkk由转化率试验值,计算得1315438123AK123141,165,144BBBKKK123135,171,144CCCKkk3576264183AK2534942144AK试验值的平均值12341,48,61AAAkkk12347,55,48BBBkkk12345,57,48CCCkkk=因素A的极差为614120因素B的极差为55478因素C的极差为574512=因素A对转化率的影响最大 因素B对转化率的影响最小正交试验的方差
20、分析法正交试验的方差分析法设因素A在水平 因素B在水平123,a a a123,B B B123,b b b123,A A A123,C C C123,c c c上的效应分别为上的效应分别为因素C在水平上的效应分别为数学模型数学模型：1111131333522357313791329,YabcYabcYabcYabcYabc21222Yabc42124Yabc62316Yabc83218Yabc111112122231333421245223562316731378321891329YabcYabcYabcYabcYabcYabcYabcYabcYabc1230aaa1230bbb1230cc
21、c20,iN约束条件检验假设检验假设01123:0Haaa02123:0Hbbb03123:0Hccc记样本总平均9119iiYY总离差平方和921()TiiQYY12313AAAYkkk12313BBBkkk12313CCCkkk921()TiiQYY321111111() () () (2 )ABCABCiikYkYkYYkkkY622222224() () () (2 )ABCABCiikYkYkYYkkkY923333337() () () (2 )ABCABCiikYkYkYYkkkY2221233 ()()()AAAkYkYkY2221233 ()()()BBBkYkYkY2221
22、233 ()()()CCCkYkYkYEQTABCEQQQQQ2221233()()() AAAAQkYkYkY2221233()()() BBBBQkYkYkY2221233()()() CCCCQkYkYkY因素A引起的离差平方和因素B引起的离差平方和因素C引起的离差平方和误差平方和AQBQCQEQ记AQ的自由度为 2123()()()0;AAAkYkYkY同理，的自由度为 2，CQBQ910iiYY921TiiQYYAQ有一个约束条件的自由度为 2有一个约束条件TQ的自由度为 8ETABCQQQQQ8 2 2 2 = 2的自由度为定理定理2222(3),CABEQQQQ相互独立。（2）当
23、推论推论 当2,2 ,AAEFQQF2,2CCEFQQF2,2BBEFQQF 22(1)2EQ010203,HHH成立时， 2222222 ,2 ,2CABQQQ010203,HHH成立时，给定显著水平，H01的拒绝域为(2,2)AAEFQQFH02的拒绝域为(2,2)BBEFQQFH03的拒绝域为(2,2)CCEFQQF来源离差自由度均方来源F值AQA2BQB2CQC2误差QE2总和QT8方差分析表方差分析表22AASQ22BBSQ22CCSQ22EESQ22AAEFSS22BBEFSS22CCEFSS例例1 1 为了考察影响某种化工产品转化率的因素，选择三个有关因素：反应温度（反应温度（A
24、）、反应时间（）、反应时间（B）、用碱量（）、用碱量（C）每个因素取三种水平，列表如下： 水平因素123反应温度（A）反应时间（B）用碱量 （C）180()C A285()C A390()C A190()B分2120()B分3150()B分15%()C26%()C37%()C解解 计算 值的方差分析表如下,ABCFFF来源离差自由度均方来源值总和误差ABC261823411421822573099117F34.336.3313.009848给定=5%，查表得(2,2)19F19,19,19ABCFFF=反应温度对转化率有显著影响； 反应时间与用碱量对转化率无显著影响。2. 考虑交互作用的正交设
25、计考虑交互作用的正交设计现在考虑因素之间的交互作用。设有因素, ,A B C 因素A,B的交互作用记为 AB， 因素B,C的交互作用记为 BC，例例2 2某厂在梳棉机上纺粘绵混纺纱，要考察金属针布(A)、产量水平(B)、锡林速度(C)对棉结粒数有无显著作用。若每个因素数取二种水平，列表如下： 水平 因素12金属针布(A）日本的青岛的产量水平(B)6公斤8公斤锡林速度(C)238转/分320转/分考虑交互作用，选用正交表78(2 )L在正交表的表头上，二个因素的交互作用的位置根据它们所处的列号而定。列号1234567因素ABABCACBC在这个正交表中，按第1,2,4列的组合水平进行试验，得试验
26、结果。12345678111111111111111111111111222222222222222222222222ABCA BA CB C试验号试验值 水平1Y2Y3Y4Y5Y6Y7Y8Y28Y27Y26Y25Y24Y23Y22Y21Y正交表,ABCABBCACQ Q QQQQ，见下表。12345678111111111111111111111111222222222222222222222222ABCA BA CB C试验号试验值 水平1Y2Y3Y4Y5Y6Y7Y8Y28Y27Y26Y25Y24Y23Y22Y21Y1K2K1AK1BK1ABK1CK1ACK1BCK2AK2BK2ABK2C
27、K2ACK2BCKKWPUQAUBUABUCUACUBCUBCQACQCQABQBQAQ表中1123425678,AAKYYYYKYYYY1125623478,BBKYYYYKYYYY1135722468,CCKYYYYKYYYY1127823456,ABABKYYYYKYYYY1145822367,BCBCKYYYYKYYYY1136822457,ACACKYYYYKYYYY882111,8iiiiKYPKWY22221111() ,() ,44ABAiBiiiUKUK2211()4CCiiUK22221111() ,()44ABACABiACiiiUKUK2211()4BCBCiiUK,A
28、ABBCCQUPQUPQUP,ABABACACBCBCQUPQUPQUPTQWP的表达式中，系数,ABCABACBCUUUUUU的分母4是指在每一种水平上的试验次数，即为n/s。又ETABCABACBCQQQQQQQQ在二水平情形，计算 尚有简化,ABCABACBCQ Q QQQQ公式22121211() ,()AABBABQKKQKKnn2121()CCCQKKn22121211() ,()ABABACACABACQKKQKKnn2121()BCBCBCQKKn在不考虑交互作用情形也可用前三个简化公式。计算 的值可用下列方差分,ABCABACBCFFFFFF析表。均方分析表来源 离差 自由度
29、均方离差F值ABCA BA CB C误差总和BCQACQCQABQBQAQEQTQ1111111721AAsQ21CCsQ2/1ACACsQ2/1BCBCsQ2/1EEsQ22AAEFss22BCBCEFss22BBEFss22ABABEFss22CCEFss22ACACEFss21BBsQ21ABABsQ给定显著水平，可用此表中F值检验各因素和交互作用对试验结果影响是否显著。在例2中，经计算得下列方差分析表。来源离差自由度均方离差F值A BA CB C误差总和BAC78.125703.125253.1253.1253.1253.12528.12511071.8751111711 的离差平方和相对很少，这三项的作用很不显著。为了提高检验的效果，把,A A B B C,AABQ QBCQ并入 ,EQ并取 的自由度为4项自由度之和，得下表。EQ来源离差自由度均方离差 值A C误差总和BC78.125703.125253.12537.51071.87511471F78.125703.1259.375253.12527758.3给定=5%， 查表得 0.05(1,4)7.71F7.71,7.71,7.71BCACFFF=产量水平、锡林速度、金属针布与锡林速度的交互作用对棉结粒数有显著影响。Thank you
